A função do primeiro grau definida por f(x 6 4a x 10 é crescente quando)

Um dos primeiros assuntos que todo estudante aprende em Matemática no Ensino Médio é a função afim. E, como ela é a base para aprender os vários outros tipos de funções que vêm depois, é muito importante que você entenda bem esse tópico. Isso inclui entender a teoria e praticar com exercícios de fixação e problemas mais elaborados.

Se você nunca estudou a função afim, ou quer dar uma revisada nos conceitos, prepare-se. Nesse post, vamos retomar tudo o que você precisa saber sobre o assunto!

Função afim: definição

A função afim é toda função polinomial de primeiro grau, isto é, na qual o maior expoente é 1. Pode ser que você conheça a função afim simplesmente como função de primeiro grau.

Lei de formação da função afim

A lei de formação da função afim é expressa na seguinte fórmula:

Raiz da função afim

A raiz da função afim é o ponto em que ela atravessa o eixo x, isto é, o ponto em que y = 0. Isso quer dizer que, para descobrir a raiz de uma função afim, basta substituir o y por 0 na fórmula. Ao fazer isso, você tem:

f(x) = ax + b

0 = ax + b

ax = -b

x = -b/a

Dessa maneira, a raiz da função afim é o ponto -b/a no eixo x. As funções de 1º grau têm apenas uma raiz.

Gráfico da função afim

O gráfico da função afim é uma reta crescente ou decrescente. A reta somente não pode ser perpendicular aos eixos x ou y.

Como encontrar dois pontos no gráfico

Como o gráfico da função afim é uma reta, você só precisa de dois pontos para traçá-lo. O primeiro é o ponto da raiz, que você já viu. O segundo é o ponto em que a reta atravessa o eixo y, isto é, em que o x = 0. Nesse ponto, y = b.

f(x) = ax + b

y = a . 0 + b

y = b

Portanto, os dois pontos que você precisa para traçar a reta do gráfico são (-b/a, 0) e (0, b).

Coeficientes da função afim

A função afim tem dois coeficientes: angular e linear.

O coeficiente angular corresponde, na função, ao a. No gráfico, é a tangente do ângulo α (alfa), formado pela intersecção entre a reta da função e o eixo x. Enquanto isso, o coeficiente linear corresponde, na função, ao b. No gráfico, é o ponto de interseção entre a reta da função e o eixo y.

Função afim crescente e decrescente

Você pode determinar a direção da reta do gráfico da função a partir do coeficiente angular, que também é chamado de taxa de crescimento. Quando o coeficiente é maior do que zero, temos uma função afim crescente; quando é menor do que zero, temos uma função afim decrescente.

Tipos de função afim

Existem alguns tipos específicos de função afim, que recebem nomes diferentes. Estamos falando da função linear, identidade e constante. Vamos ver quais são as características de cada uma?

Linear

A função afim é linear quando b = 0, sendo que a ≠ 0. Nesses casos, o gráfico necessariamente passa pelo ponto (0,0). A fórmula da função afim constante também pode ser expressa assim:

Identidade

A função afim é identidade quando a = 1 e b = 0. Nesses casos, o gráfico necessariamente passa pelo ponto (0,0), e o ângulo α é de 45º. A fórmula da função afim identidade também pode ser expressa assim:

Constante

A função afim é constante quando a = 0. Nesses casos, o gráfico é paralelo ao eixo x. A fórmula da função afim constante também pode ser expressa assim:

Exercícios de função afim (com resolução)

Agora que você já conferiu os principais conceitos relacionados a função afim, teste seus conhecimentos com os exercícios abaixo!

Exercício 1

Se f(x) = 3x + 2, qual o valor de x para que f(x) = 5?

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

Resposta: b

f(x) = 3x + 2

5 = 3x + 2

3x = 5 – 2

3x = 3

x = 1

Exercício 2

Uma função é dada por f(x) = 3x – 6. A raiz dessa função é:

a. 0

b. 1

c. 2

d. 3

e. 4

Resposta: c

f(x) = 3x – 6

0 = 3x – 6

3x = 6

x = 2

Exercício 3

Considere a função f(x) = -2x + 1. Os valores de f(0), f(2), f(-1) e f(5), são, respectivamente:

a. 1, -3, 3, -9

b. -1, 3, -3, -9

c. 1, 5, 3, 11

d. -1, -5, -3, -11

e. 1, 2, 1, 5

Resposta: a

f(x) = -2x + 1

Se x = 0,

f(x) = -2 . 0 + 1

f(x) = 0 + 1

f(x) = 1

Se x = 2,

f(x) = -2 . 2 + 1

f(x) = -4 + 1

f(x) = -3

Se x = -1,

f(x) = -2 . -1 + 1

f(x) = 2 + 1

f(x) = 3

Se x = 5,

f(x) = -2 . 5 + 1

f(x) = -10 + 1

f(x) = -9

Exercício 4

Uma função do 1º grau é dada por f(x) = ax + b. Sabe-se que f(1) = 5 e f(-3) = -7. Essa função é:

a. f(x) = x + 5

b. f(x) = -3x -7

c. f(x) = -3x + 2

d. f(x) = 3x + 2

e. f(x) = x + 4

Resposta: d

f(1) = 5

a . 1 + b = 5

a + b = 5

f(-3) = -7

a . -3 + b = -7

-3a + b = -7

Montando o sistema

a + b = 5

3a – b = 7 (invertendo -3a + b = -7)

4a = 12

a = 3

Se a + b = 5, e a = 3, então:

3 + b = 5

b = 5 – 3 = 2

Assim, a função é:

f(x) = 3x + 2

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Depois desses exercícios, você já está pronto para encarar os problemas mais elaborados sobre função afim, como os que são propostos no Enem e nos vestibulares.

Lembre-se de que os conceitos que você viu aqui serão úteis para entender melhor as funções quadráticas (funções de 2º grau) e outros assuntos que estão relacionados. Por isso, não vale partir para o assunto seguinte sem, antes, tirar todas as suas dúvidas sobre função afim!

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Uma função do primeiro grau ou função afim é da seguinte forma:

Exemplos:

5) Se f (x ) = 5x -7, qual o valor de x para que f (x) = 43?

a) 10          b) -3          c) 8          d) 0           e) 1

Desta forma, a alternativa correta é a a.

6) Dada a função f(x) = -3x + 8, os valores de f (0),  f(-1) e f(1) são, respectivamente:

a) 1, -2 e 4              b) 0,1 e 2         c) 8, 11 e 5           d) 5, 8 e 11             e) 11, 5 e 8.

Desta forma, a alternativa correta é a c.

7) (Fuvest - SP) A função que representa o valor a ser pago após um desconto de 3% sobre o valor x de uma mercadoria é:

a) f(x) = x - 3            b) f(x ) = 0,97x            c)  f(x)=1,3x           d) f(x) = -3x         e) f(x)= 1,03x

Desta forma, a alternativa correta é a b.

8) ( PUC - RS ) Seja a função definida por  f(x)= 2x-3/5x. O elemento do domínio de f que tem -2/5 como imagem é:

a) 0           b) 2/5         c) -3          d) 3/4         e) 4/3

Desta forma, a alternativa correta é a d.

A função constante sempre associa cada elemento x a um mesmo elemento:

Vejamos a caracteristica do gráfico de uma função constante:

Como podemos perceber, o gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo x que intercepta o eixo y em c.

Exemplo: Construa o gráfico da função y = -3.

Escolheremos pontos aleatórios para x e, para qualquer um deles, a imagem será igual a -3.

A função identidade sempre associa cada elemento x ao próprio x:

O gráfico de uma função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do primeiro e do terceiro quadrantes:

A função linear possui a seguinte característica:

, 

Exemplo:

Para desenharmos o gráfico da função linear em questão, escolheremos alguns valores aleatórios para x e encontraremos os seus respectivos valores de y. Assim, determinaremos pares ordenados que são pontos da reta que representará a função.

Uma função afim sempre associa a cada elemento x o elemento ax+b:

, 

Exemplos:

1) y  =  4x + 5

2) y = x + 8

3) y = -3x

4) Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (1,2) e tem coeficiente angular igual a -3.

A equação procurada possui a seguinte característica:

Pelos dados do enunciado, temos a = -3.

A partir do ponto (1,2), temos  x = 1 e  y = 2, e os substituiremos na equação:

Então temos a equação da reta:

5) Cefet - MG 2002 - Sabendo-se que f (x) = ax + b, que  f ( -1 ) = 4 e que f ( 2 ) = 7, deduz-se que 

f ( 8 ) vale:

a) 0            b) 3               c) 13               d) 23               e) 33

Temos os seguintes dados:

     e       .

Desta forma, teremos um sistema:

Desta forma, a alternativa correta é a c.
6) Unifap - AP 2003 Um clube de mães decidiu confeccionar enfeites natalinos. O gasto  com material foi de R$72,00 e pretendem vender cada enfeite por R$8,00.

a) Determine a lei que fornece o ganho ou a perda como função do número de enfeites vendidos.

b) Qual o menor número de enfeites que precisam ser vendidos para recuperar  o valor gasto?

c) Faça um esboço do gráfico dessa função.

a) A lei de formação da função que fornece o ganho ou a perda de enfeites vendidos será dada por:

, onde x é a quantidade de enfeites vendidos.

b) 

O menor número de enfeites que precisam ser vendidos para recuperar o valor gasto é 9.

c) Esboço do gráfico da função

Para x = 0, temos :

Temos o primeiro ponto da reta que representa a função:   (0; -72)

Para y = 0, temos:

Temos o segundo ponto da reta que representa a função: (9; 0)

Agora, esboçaremos o gráfico:

7) Fuvest - SP 2003 Seja f a função que associa, a cada número real x, o menor dos números x + 3 e 

-x + 5. Assim, o valor máximo de f ( x ) é:

a) 1             b) 2         c) 4              d) 6            e) 7

Procuraremos o valor máximo de f(x), encontrando o ponto onde estas retas se interceptam:

Para x = 1, temos: 

   ou 

Sendo assim, o valor máximo de f (x ) é 4.

Desta forma, a alternativa correta é a c.

8) Unicap - PE 2004 A função definida no conjunto dos reais, representada pelo gráfico na figura abaixo, é:

                                     

Pelo gráfico, temos que (0,2) e (-2,0) pertencem à função. Então, temos:

Desta forma, temos: .

Desta forma, a alternativa correta é a d.

9) FGV - SP Seja a função f de R em R, definida por f (x) = mx + t, representada pelo gráfico a seguir. Nestas condições:

                                                  

A partir do gráfico, temos que os pontos (-1;0) e (0;-2) pertencem à função:

   

Desta forma, a alternativa correta é a d.

10) ( Vunesp - SP ) Uma pessoa obesa, pesando em certo momento 156 kg, recolhe-se a um spa onde se anunciam perdas de peso de até 2,5 kg por  semana. Suponhamos que isso realmente ocorra. Nessas condições:

a) Encontre uma fórmula que expresse o peso mínimo, P, que uma pessoa poderá atingir após n semanas.

b) Calcule o número mínimo de semanas completas que a pessoa deverá permanecer no spa para sair de lá com menos de 120kg de lá com menos de 120 kg de peso.

Desta forma, a pessoa deverá permancer no spa por, pelo menos, 15 semanas.

11)  ( Vunesp - SP ) Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura fixa de 0°C.

Baseado nos dados do gráfico, determine:

a) A lei da função apresentada no gráfico;

Pelo gráfico, temos:

Para x = 0 e y = 0 ,   x = 40 e y = 50 :

b) A massa ( em gramas ) de 30 cm3 de álcool.

12) ( U.F. Viçosa - MG ) uma função é dada por f(x)= ax+b, em que a e b são números reais. Se  f(-1)=3 e f(1)=-1, determine o valor de f(3).

Temos :

13) (ENEM - 2018) Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical) e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x ( horizontal ).

A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no tanque e a distância percorrida pelo automóvel é:

a) y = -10x + 500                                       b) y = -x/10+50                          c) y =-x/10+500      

d) y = x/10+50                                            e) y = x/10+500

Pelo gráfico, temos:

   e   .

Como o gráfico é uma reta, temos:

Desta forma, a alternativa correta é a b.

14) ( Unicamp - 2016 ) Considere a função afim f(x) = ax + b definida para todo número real x, onde a e b são números reais. Sabendo que f(4) = 2, podemos afirmar que  f(f(3)+f(5)) é igual a : 

a) 5          b) 4          c) 3           d) 2

Desta forma, a alternativa correta é a d.

15) ( UCSal) Sejam f e g funções de R em R, sendo R o conjunto dos números reais, dadas por 

f(x)=2x-3 e  f(g(x)) = 4x +1. Nestas condições, g(-1) é igual a:

a) -5           b) -4           c) 0              d) 4          e) 5

   

 

Desta forma, a alternativa correta é a c.

Zero ou raiz de uma função afim é o número cuja imagem da função é nula:

Sendo assim, para determinarmos a raiz da função afim, basta igualarmos a equação a zero:

Exemplos:

1) Qual é o zero da função afim cujo gráfico é uma reta que passa pelos pontos (1,2) e (3,4)?

Como o enunciado nos diz, trata-se de uma função afim:

A partir dos pontos (1,2) e (3,4), temos:

Agora podemos encontrar o zero da função:

2) Uma função é dada por f ( x ) = x/2 - 8. A raiz dessa função é:

a) 0             b) 4         c) 16             d) -3            e) 4

A função afim é crescente quando o seu coeficiente angular a é positivo ( a > 0 ).

Exemplos:

a) f (x)  =  3x - 7    ( a = 3 > 0 )

b) y = x + 9   ( a = 1 > 0 )

A função afim é decrescente quando o seu coeficiente angular a é positivo ( a < 0 ).

Exemplos:

a) f (x ) = 6 -  2x    ( a = -2 < 0 )

b) y = -9x     ( a = -9 < 0 )

Exemplos:

1) Dadas as funções f ( x ) = -2x + 1 e  g  ( x ) = x/2, responda:

a) Em que pontos a reta que representa cada uma delas corta os eixos x e y?

b) A função f é crescente ou decrescente? E a função g?

c) Construa os gráficos das funções e confira neles as respostas anteriores.

a) Primeiramente vamos encontrar os pontos em que a reta de f corta os eixos x e y:

Corte no eixo x: para cortar o eixo x, y deve ser igual a zero.

A função f corta o eixo x no ponto (1/2;0).

Corte no eixo y:  para cortar o eixo y, x deve ser igual a zero.

A função f corta o eixo y no ponto (0;1).

 Agora vamos encontrar os pontos em que a reta de g corta os eixos x e y:

Corte no eixo x: para cortar o eixo x, y deve ser igual a zero.

A função g corta o eixo x no ponto (0;0).

Corte no eixo y: para cortar o eixo y, x deve ser igual a zero.

A função g corta o eixo y no ponto (0;0).

b) A função f é decrescente, pois temos :

A função g é crescente, pois temos:

c) Agora vamos esboçar os gráficos das funções:

O gráfico de uma função afim é uma reta.

O gráfico de uma função afim é uma reta crescente ( a > 0 ) ou uma reta decrescente ( a  < 0 ).

Para desenharmos o gráfico de uma função, podemos seguir alguns passos:

1) verificar se a função é uma reta crescente ( a > 0 ) ou decrescente ( a <  0 );

2) encontrar as raízes da função :

3) encontrar a interseção do gráfico da função com o eixo y, ou seja, o valor da função quando x = 0 ;

Exemplos:

1) Construa os gráficos das funções abaixo:

Primeiramente, vamos verificar se a função é crescente ou decrescente:

 -  função crescente

Agora, vamos calcular as raízes da função:

No ponto (-2,0) a reta intercepta o eixo x.

Agora, calcularemos o ponto no qual a reta intercepta o eixo y ( x = 0 ):

No ponto (0,2)a reta intercepta o eixo y.

Primeiramente, vamos verificar se a função é crescente ou decrescente:

 -  função decrescente

Agora, vamos calcular as raízes da função:

No ponto (-4/3,0) a reta intercepta o eixo x.

Agora, calcularemos o ponto no qual a reta intercepta o eixo y ( x = 0 ):

No ponto(0,-4) a reta intercepta o eixo y.

4.3. Estudo do sinal de uma função do primeiro grau

O estudo do sinal de uma função é feito para verificarmos onde a função é positiva

 ( f(x) > 0), negativa ( f(x) < 0 ) ou nula ( f (x) = 0 ).

Para tal, temos que, primeiramente, encontrar a raiz da função. Depois devemos verificar o crescimento da função.

Consideraremos dois casos:

Função crescente ( a > 0):

Função decrescente ( a < 0):

E, assim, fazermos o estudo do sinal da função.

Exemplos:

1) Faça o estudo do sinal das funções abaixo:

Primeiramente, encontraremos a raiz da função:

Agora, verificaremos se a função é crescente ou decrescente:

 -  Função crescente

Assim, temos:

Estudo do sinal da função:

f (x ) = 0 para x =- 4

f(x) > 0 para 

f(x)<0 para 

Primeiramente, encontraremos a raiz da função:

Agora, verificaremos se a função é crescente ou decrescente:

 -  Função decrescente

Assim, temos:

Estudo do sinal da função:

f (x ) = 0 para x = 5

f(x) > 0  para  

f(x)<0 para 

2) Para quais valores reais de x, a função f (x) = 2 -x/2 é negativa?

Primeiramente, vamos encontrar a raiz da função:

Agora verificaremos se a função é crescente ou decrescente:

 -  Função decrescente

Agora faremos o estudo do sinal da função:

Observemos que:

 para  .

Ou seja, a função é negativa para .

3) Para quais valores de x, a função  y = 2- 3x/4 é positiva?

Primeiramente, vamos encontrar a raiz da função:

Agora verificaremos se a função é crescente ou decrescente:

 - Função decrescente

Agora faremos o estudo de sinal da função:

Observemos que:

 para  .