Nesse caso temos o lançamento de dois dados. O espaço amostral será determinado pelo produto entre os eventos decorrentes de cada universo de resultados possíveis. No dado, o espaço amostral é composto de 6 eventos e como são dois dados temos que o espaço amostral terá 6 x 6 elementos, totalizando 36.
No lançamento dos dois dados as possibilidades de parceria entre as faces para que a soma seja 6, será:
[1 e 5], [5 e 1], [2 e 4], [4 e 2], [3 e 3].
No lançamento de dois dados a probabilidade de obtermos soma das faces voltadas para cima igual a 6 será de aproximadamente 13,9%.
Paulo Neto
Há mais de um mês
Essa pergunta já foi respondida!
Rafael Asth
Professor de Matemática e Física
Teste seus conhecimentos sobre probabilidade com questões divididas por nível de dificuldade, que são úteis para o ensino fundamental e médio.
Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar suas dúvidas.
Questões nível fácil
Questão 1
Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima?
Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances.
Um dado possui seis lados, logo, a quantidade de números que podem ficar voltados para cima é 6.
Há três possibilidades de termos um número ímpar: caso ocorra o número 1, 3 ou 5. Sendo assim, o número de casos favoráveis é igual a 3.
Calculamos então a probabilidade utilizando a seguinte fórmula:
Substituindo os números na fórmula acima, encontramos o resultado.
As chances de ocorrer um número ímpar são 3 em 6, que corresponde a 0,5 ou 50%.
Se lançarmos dois dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima?
Resposta correta: 0,1666 ou 16,66%.
1º passo: determinar o número de eventos possíveis.
Como são dois dados jogados, cada face de um dos dados tem a possibilidade de ter um dos seis lados do outro dado como par, ou seja, cada dado tem 6 combinações possíveis para cada um de seus 6 lados.
Sendo assim, o número de eventos possíveis é:
U = 6 x 6 = 36 possibilidades
2º passo: determinar o número de eventos favoráveis.
Se os dados possuem 6 lados com números de 1 a 6, logo, o número de possibilidades do evento é 6.
Evento A =
3º passo: aplicar os valores na fórmula de probabilidade.
Para termos o resultado em porcentagem basta apenas multiplicar o resultado por 100. Logo, a probabilidade de se obter dois números iguais voltados para cima é de 16,66%.
Questão 3
Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores diferentes: três bolas azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?
Resposta correta: 0,375 ou 37,5%.
A probabilidade é dada pela razão entre o número de possibilidades e de eventos favoráveis.
Se existem 8 bolas idênticas, esse é o número de possibilidades que vamos ter. Mas apenas 3 delas são azuis e, por isso, a chance de retirar uma bola azul é dada por.
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 37,5%.
Questão 4
Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas, que possui quatro naipes [copas, paus, ouros e espadas] sendo 1 ás em cada naipe?
Resposta correta: 7,7%
O evento de interesse é tirar um ás do baralho. Se há quatro naipes e cada naipe possui um ás, logo, o número de possibilidades de retirar um ás é igual a 4.
O número de casos possíveis corresponde ao número total de cartas, que é 52.
Substituindo na fórmula de probabilidade, temos:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 7,7%.
Questão 5
Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 2?
Resposta correta: 0,5 ou 50%.
A quantidade de número total que podem ser sorteados é 20.
A quantidade de números múltiplos de dois são:
A =
Substituindo os valores na fórmula de probabilidade, temos:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de sortear um número múltiplo de 2 é de 50%.
Para mais questões, veja também: Exercícios de Probabilidade [fáceis]
Questões nível médio
Questão 6
Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?
Resposta correta: 0,3125 ou 31,25%.
1º passo: determinar o número de possibilidades.
Há duas possibilidades existentes ao lançar uma moeda: cara ou coroa. Se há duas possibilidades de resultado e a moeda é lançada 5 vezes, o espaço amostral é:
2º passo: determinar o número de possibilidades de ocorrer o evento de interesse.
O evento coroa será chamado de O e o evento cara de C para facilitar a compreensão.
O evento de interesse é apenas cara [C] e em 5 lançamentos, as possibilidades de combinações para que o evento ocorra são:
- CCCOO
- OOCCC
- CCOOC
- COOCC
- CCOCO
- COCOC
- OCCOC
- OCOCC
- OCCCO
- COCCO
Sendo assim, existem 10 possibilidades de resultados com 3 caras.
3º passo: determinar a probabilidade de ocorrência.
Substituindo os valores na fórmula, temos que:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de "sair" cara 3 vezes é de 31,25%.
Veja também: Probabilidade Condicional
Questão 7
Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, qual a probabilidade de:
a] A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4. b] A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5. c] A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5.
d] A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.
Respostas corretas: a] 1/36, b] 11/36, c] 1/9 e d] 1/12.
Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:
Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis.
Tabela 1:
1 | [1,1] | [1,2] | [1,3] | [1,4] | [1,5] | [1,6] |
2 | [2,1] | [2,2] | [2,3] | [2,4] | [2,5] | [2,6] |
3 | [3,1] | [3,2] | [3,3] | [3,4] | [3,5] | [3,6] |
4 | [4,1] | [4,2] | [4,4] | [4,4] | [4,5] | [4,6] |
5 | [5,1] | [5,2] | [5,3] | [5,4] | [5,5] | [5,6] |
6 | [6,1] | [6,2] | [6,3] | [6,4] | [6,5] | [6,6] |
a] Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada [5,4]. Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.
b] Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: [1,5];[2,5];[3,5];[4,5];[5,1];[5,2];[5,3];[5,4];[5,5];[5,6];[6,5]. Assim, temos 11 casos favoráveis.
c] Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.
Tabela 2:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:
d] Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade neste caso será dada por:
Veja também: Probabilidade
Questão 8
Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?
Resposta correta: 7,8%.
Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente.
No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:
onde:
n: número de vezes que ocorrerá a experiência k: número de vezes de acontecer um evento p: probabilidade do evento acontecer
q: probabilidade do evento não acontecer
Vamos agora substituir os valores para a situação indicada.
Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:
n = 7 k = 3
[em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis]
Substituindo os dados na fórmula:
Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%.
Questão 9
Um casal planeja ter cinco filhos e deseja saber a probabilidade de serem 3 meninos e 2 meninas. Calcule esta probabilidade.
Resposta: 31,25%
A probabilidade do evento A nascer menina é: P[A] = 1/2
A probabilidade do evento B nascer menino é: P[B] = 1/2
A ocorrência destes eventos é independente e uma das possibilidades seria:
A . A . B . B . B
Desta forma, em probabilidades
Ainda, é preciso verificar que os eventos podem ocorrer em diversas ordens. Para resolver calculamos uma permutação de 5 elementos, com 2 repetições de A e 3 repetições de B.
Repare que este é o mesmo resultado de realizarmos uma combinação:
A probabilidade final será calculada como:
Questão 10
Uma pesquisa realizada com 800 pessoas sobre a preferência pelos telejornais de uma cidade, evidenciou que 200 entrevistados assistem o apenas o telejornal A, 250 apenas o telejornal B e 50 assistem A e B. Das pessoas entrevistadas, qual a probabilidade de sortear ao acaso uma pessoa que assiste o telejornal A ou o telejornal B?
Resposta: 62,5%
Seja o evento A, sortear uma pessoa que assiste o telejornal A,
O evento B, sortear uma pessoa que assiste B,
A interseção são as pessoas que assistem os dois telejornais, 50 pessoas.
Desta forma, temos que
A probabilidade de sortear alguém que assista A ou O é de 62,5%.
Veja também: Análise Combinatória
Questões de probabilidade no Enem
Questão 11
[Enem/2012] O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.
As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:
a] 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas b] 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas c] 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas d] 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
e] 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
Alternativa correta: a] 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
1º passo: determinar o número total de possibilidades utilizando o princípio multiplicativo.
2º passo: interpretar o resultado.
Se cada aluno deve ter uma resposta e foram selecionados 280 alunos, entende-se que o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que a quantidade de respostas possíveis.
[Enem/2012] Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
Amarela | 4 | 0 |
Azul | 3 | 1 |
Branca | 2 | 2 |
Verde | 1 | 3 |
Vermelha | 0 | 4 |
Uma jogada consiste em:
- 1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2
- 2.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão
- 3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2
- 4.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?
a] Azul b] Amarela c] Branca d] Verde
e] Vermelha
Alternativa correta: e] Vermelha.
Analisando os dados da questão, temos:
- Como a urna 2 não tinha nenhuma bola amarela, se ele pegar uma amarela da urna 1 e colocar na urna 2, o máximo que terá de bolas amarelas é 1.
- Como tinha apenas uma bola azul na urna 2, se ele pegar mais uma bola azul, o máximo que terá de bolas azuis na urna é 2.
- Como tinha duas bolas brancas na urna 2, se ele adicionar mais uma dessa cor, o máximo de bolas brancas na urna será 3.
- Como já tinha 3 bolas verdes na urna 2, se ele pegar mais uma dessa cor, o máximo de bolas vermelhas na urna será 4.
- Já há quatro bolas vermelhas na urna 2 e nenhuma na urna 1. Logo, esse é o maior número de bolas dessa cor.
Pela análise de cada uma das cores, vimos que a maior probabilidade é de pegar uma bola vermelha, já que é a cor que está em maior quantidade.
Questão 13
[Enem/2013] Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
a] 1/2 b] 5/8 c] 1/4 d] 5/6
e] 5/14
Alternativa correta: a] 1/2.
1º passo: determinar o número de alunos que falam pelo menos uma língua.
2º passo: determinar o número de alunos que falam inglês e espanhol.
3º passo: calcular a probabilidade do aluno falar espanhol e não falar inglês.
Questão 14
[Enem/2013] Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.
O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
6 | 2,00 |
7 | 12,00 |
8 | 40,00 |
9 | 125,00 |
10 | 250,00 |
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
- Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos
- Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
- Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
- Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos
- Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:
a] Caio e Eduardo b] Arthur e Eduardo c] Bruno e Caio d] Arthur e Bruno
e] Douglas e Eduardo
Alternativa correta: a] Caio e Eduardo.
Nessa questão de análise combinatória, devemos utilizar a fórmula de combinação para interpretar os dados.
Como são sorteados apenas 6 números, então o valor de p é 6. O que vai variar para cada apostador é o número de elementos tomados [n].
Multiplicando o número de apostas pela quantidade de combinações, temos:
Arthur: 250 x C[6,6]
Bruno: 41 x C[7,6] + 4 x C[6,6]
Caio: 12 x C[8,6] + 10 x C[6,6]
Douglas: 4 x C[9,6]
Eduardo: 2 x C[10,6]
De acordo com as possibilidades de combinações, Caio e Eduardo são os apostadores com mais chances de serem premiados.
Vídeo sobre Probabilidade
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