Apa yang dimaksud dengan matriks
|
Pengertian Matrik dan Jenis – Jenis Matriks – Apa itu matriks? Matriks merupakan susunan sekelompok bilangan didalam suatu jajaran yang berbentuk persegi panjang dan diatur berdasarkan baris dan kolom yang kemudian diletakkan antara 2 tanda kurung. Untuk lebih jelasnya maka simaklah pembahasan kami mengenai Pengertian Matriks dan Jenis-Jenis Matriks Terlengkap dibawah ini. Show
 Pengertian MatriksMatriks merupakan susunan sekelompok bilangan didalam suatu jajaran yang berbentuk persegi panjang dan diatur berdasarkan baris dan kolom yang kemudian diletakkan antara 2 tanda kurung. Tanda kurung yang dipakai untuk mengapit susunan anggota matriks tersebut bisa berupa tanda kurung biasa atau kurung siku. Bilangan pada matriks disebut elemen atau unsur matriks. Kumpulan elemen atau unsur yang tersusun secara horizontal disebut baris, sementara kumpulan elemen atau unsur yang tersusun secara vertikal disebut dengan kolom. Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut dengan matriks m x n dan disebut sebagai matriks yang memiliki orde m x n. Selain itu, penulisan matriks menggunakan huruf kapital dan tebal. Dalam matematika, matriks merupakan susunan bilangan, simbol, atau disebut dengan ekspresi, yang disusun dalam baris & kolom sehingga membentuk bangun persegi. Sebagai contoh, dimensi matriks di bawah ini ialah 2 × 3, karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom. Jenis-jenis MatriksMatriks terbagi menjadi beberapa jenis, yaitu matriks persegi, matriks kolom, matriks baris, matriks transpose, matriks diagonal, matriks segitiga atas dan bawah, matriks nol, matriks simetri, dan matriks identitas. Berikut ini penjelasannya : Matriks persegi merupakan matriks yang memilki banyak baris & banyak kolom yang sama. Secara umum, matriks persegi berordo n x n. Contoh dari matriks persegi seperti berikut :
Matriks kolom merupakan matriks yang hanya satu kolom. Biasanya matriks kolom berordo m x 1. Contoh matriks kolom seperti berikut : Matriks baris merupakan matriks yang hanya memiliki satu baris. Biasanya matriks baris berordo 1 x n. Contoh matriks baris seperti berikut :
Matriks transpose Am x n yang dinotasikan dengan A’ merupakan matriks berordo n x m yang mana baris-barisnya ialah kolom-kolom matriks Am x n. Contoh matriks transpose, misalkan terdapat matriks A:
Matriks diagonal ini berasal dari matriks persegi. Matriks persegi disebut sebagai matriks diagonal apabila elemen-elemen (unsur) selain elemen diagonal utamanya ialah nol. Contoh matriks diagonal: Matriks segitiga atas & matriks segitiga bawah bisa berasal dari matriks persegi. Matriks persegi disebut matriks segitiga atas apabila seluruh elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Sebaliknya, apabila seluruh elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol, maka matriks persegi itu disebut dengan matriks segitiga bawah. Contoh Matriks Segitiga atas & Matriks Segitiga Bawah seperti berikut :
Salah satu jenis matriks adalah matriks identitas yang dapat mendefinisikan sebuah komponen vektor. KOMPAS.com - Dilansir dari Encyclopedia Britannica, matriks merupakan sekumpulan angka yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk susunan angka dalam bentuk persegi panjang. Matriks memiliki berbagai jenis yang perlu untuk diketahui. Jenis bentuk tersebut terdiri dari perbedaan baris dan kolom, maupun perbedaan elemen dari matriks itu sendiri. Dapatkah kalian menyebutkan apa saja jenis matriks dan contohnya? Simak pembahasan di bawah ini! Baca juga: Metode Determinan dan Inversi Matriks SPLTV Matriks BarisMatriks baris merupakan matriks yang terdiri atas satu baris saja. Pada umumnya matriks baris memiliki ordo 1xn, dengan n adalah banyak kolom pada matriks. KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Contoh matriks baris Matriks KolomMatriks kolom merupakan matriks yang terdiri atas satu kolom saja. Pada umumnya matriks kolom memiliki ordo mx1, dengan m adalah banyak kolom pada matriks. KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Contoh matriks kolom Matriks Persegi PanjangMatriks persegi panjang merupakan matriks yang jumlah barisnya tidak sama dengan jumlah kolomnya. Matriks persegi panjang memiliki orde mxn. KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Contoh matriks persegi panjang Matriks PersegiMatriks persegi merupakan matriks yang jumlah barisnya sama dengan jumlah kolomya. Sehingga ordo dari matriks persegi adalah nxn. Baca juga: Matriks, Jawaban Soal TVRI 24 Agustus 2020 untuk SMA KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Contoh matriks persegi Matriks SegitigaMatriks segitiga merupakan matriks persegi yang memiliki elemen bernilai nol dengan pola segitiga di salah satu bagian kiri atau bagian kanan, dengan diagonalnya tidak termasuk pola segitiga tersebut. KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Contoh matriks segitiga Matriks DiagonalMatriks diagonal merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol, kecuali elemen pada diagonal matriks. KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Contoh matriks diagonal Matriks IdentitasMatriks identitas merupakan matriks diagonal yang memiliki elemen diagonalnya bernilai 1. KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Contoh matriks identitas Matriks NolMatriks nol merupakan matriks yang semua elemennya bernilai nol. Baca juga: Menentukan Matriks X, Jawaban Soal TVRI 24 Agustus 2020 untuk SMA
KOMPAS.com/RISYA FAUZIYYAH Contoh matriks nol Dapatkan update berita pilihan dan breaking news setiap hari dari Kompas.com. Mari bergabung di Grup Telegram "Kompas.com News Update", caranya klik link https://t.me/kompascomupdate, kemudian join. Anda harus install aplikasi Telegram terlebih dulu di ponsel.Baca berikutnya Dalam matematika, matriks adalah susunan[1] bilangan, simbol, atau ekspresi yang disusun dalam baris dan kolom sehingga membentuk suatu bangun persegi.[2][3] Sebagai contoh, matriks di bawah ini adalah matriks berukuran 2 × 3 (baca "dua kali tiga"): [ 1 9 − 13 20 5 − 6 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}} Setiap objek dalam matriks
A
{\displaystyle \mathbf {A} }
Jika dua matriks memiliki dimensi yang sama (masing-masing matriks memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama), kedua matriks tersebut dapat dijumlahkan maupun dikurangkan secara elemen demi elemen. Namun, berdasarkan aturan perkalian matriks, dua matriks hanya dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua (artinya, perkalian matriks
m
×
n
{\displaystyle m\times \mathbf {n} }
Matriks umumnya digunakan untuk merepresentasikan transformasi linear, yakni suatu generalisasi fungsi linear seperti
f
(
x
)
=
4
x
{\displaystyle f(x)=4x}
Aplikasi dari matriks ditemukan pada banyak bidang sains. Pada bidang-bidang fisika, contohnya mekanika klasik, mekanika kuantum, dan optika, matriks digunakan untuk mempelajari keadaan fisis, seperti pergerakan planet. Dalam bidang computer graphics, matriks digunakan untuk memanipulasi model 3D dan memproyeksikannya ke sebuah layar dua dimensi. Pada bidang teori probabilitas dan statistika, matriks stokastik digunakan untuk menjelaskan probabilitas keadaan; contohnya dalam algoritma PageRank dalam menentukan urutan halaman pada pencarian Google. Kalkulus matriks menggeneralisasi bentuk analitik klasik dari turunan dan eksponensial ke dimensi yang lebih tinggi. Matriks juga digunakan dalam bidang ekonomi untuk menjelaskan sistem dari relasi ekonomi. Matriks adalah susunan angka atau objek matematika lainnya yang disusun dalam bentuk baris dan kolom, dimana operasi seperti penjumlahan dan perkalian dapat didefinisikan. Umumnya, matriks di atas medan F {\displaystyle F} berisi elemen-elemen dari F {\displaystyle F} . Sebagian besar artikel ini berfokus pada matriks riil dan kompleks, yaitu matriks yang masing-masing elemennya berupa bilangan riil atau bilangan kompleks. Jenis elemen matriks yang umum akan dibahas di bawah. Sebagai contoh, ini adalah sebuah matriks riil: A = [ − 1.3 0.6 20.4 5.5 9.7 − 6.2 ] . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.} UkuranUkuran matriks ditentukan oleh jumlah baris dan kolom yang dikandungnya. Matriks dengan m {\displaystyle m} kolom dan n {\displaystyle n} baris disebut matriks m × n {\displaystyle m\times n} atau matriks "m kali n", dimana m {\displaystyle m} dan n {\displaystyle n} disebut dimensinya. Sebagai contoh, matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } di atas adalah matriks 3 × 2 {\displaystyle 3\times 2} . Matriks dengan satu baris disebut vektor baris, dan matriks dengan satu kolom disebut vektor kolom. Matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama disebut matriks persegi. Matriks dengan jumlah baris atau kolom yang tak terbatas (atau keduanya) disebut matriks tak terbatas. Dalam beberapa konteks, akan bermanfaat untuk mempertimbangkan sebuah matriks tanpa baris atau tanpa kolom, yang disebut matriks kosong.
Matriks pada umumnya ditulis dalam tanda kurung siku/kurung kurawal: A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) = ( a i j ) ∈ R m × n . {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}=\left(a_{ij}\right)\in \mathbb {R} ^{m\times n}.} Notasi simbolik untuk menyatakan suatu matriks sangat bervariasi, namun beberapa notasi lebih umum dipakai. Matriks biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf besar (seperti A {\displaystyle \mathbf {A} } pada contoh di atas). Sedangkan huruf kecil yang sesuai, dengan dua indeks subskrip, misal a 1 , 1 {\displaystyle a_{1,1}} , untuk menyebutkan elemen matriks tersebut. Selain menggunakan huruf besar untuk melambangkan matriks, banyak penulis menggunakan gaya tipografi khusus, yang biasanya dicetak tebal tegak, untuk lebih membedakan matriks dari objek matematika lainnya. Notasi alternatif melibatkan penggunaan double-underline (garis bawah ganda) dengan nama variabel, dengan atau tanpa gaya cetak tebal (contohnya A _ _ {\displaystyle {\underline {\underline {A}}}} ).Elemen baris ke- i {\displaystyle i} dan kolom ke- j {\displaystyle j} dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } terkadang dirujuk sebagai elemen ke ( i , j ) {\displaystyle (i,\,j)} dari matriks, dan umumnya ditulis sebagai a i , j {\displaystyle a_{i,\,j}} atau a i j {\displaystyle a_{ij}} . Alternatif notasi yang lain adalah A [ i , j ] {\displaystyle A[i,j]} atau A i , j {\displaystyle A_{i,j}} . Sebagai contoh, elemen ke ( 1 , 3 ) {\displaystyle (1,3)} dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } berikut dapat ditulis sebagai a 1 , 3 {\displaystyle a_{1,\,3}} , a 13 {\displaystyle a_{13}} , A [ 1 , 3 ] {\displaystyle A[1,\,3]} maupun A 1 , 3 {\displaystyle A_{1,\,3}} . A = [ 4 − 7 5 0 − 2 0 11 8 19 1 − 3 12 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}} Terkadang, elemen dari sebuah matriks dapat didefinisikan dengan menggunakan suatu rumus a i , j = f ( i , j ) {\displaystyle a_{i,j}=f(i,j)} . Sebagai contoh, setiap elemen dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } berikut didefinisikan sebagai a i , j = i − j {\displaystyle a_{i,j}=i-j} A = [ 0 − 1 − 2 − 3 1 0 − 1 − 2 2 1 0 − 1 ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}0&-1&-2&-3\\1&0&-1&-2\\2&1&0&-1\end{bmatrix}}} .Dalam kasus seperti ini, matriks tersebut juga dapat didefinisikan oleh rumus yang sama, dengan menggunakan kurung siku atau kurung kurawal ganda. Pada contoh di atas, matriks dapat didefinisikan sebagai A = [ i − j ] {\displaystyle \mathbf {A} =[i-j]} atau A = ( ( i − j ) ) {\displaystyle \mathbf {A} =((i-j))} . Simbol bintang (asterisk) terkadang digunakan untuk merujuk sebuah baris atau sebuah kolom pada matriks. Sebagai contoh, a i , ⋆ {\displaystyle a_{i,\star }} merujuk pada baris ke- i {\displaystyle i} dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } , dan a ⋆ , j {\displaystyle a_{\star ,j}} merujuk pada baris ke- j {\displaystyle j} dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } . Himpunan semua matriks m × n {\displaystyle m\times n} dilambangkan dengan M m × n {\displaystyle \mathbb {M} _{m\times n}} . Ada sejumlah operasi dasar yang dapat diterapkan untuk memodifikasi matriks. Operasi dasar pada matriks meliputi penambahan matriks, perkalian skalar, transposisi, perkalian matriks, operasi baris, dan submatriks. Penjumlahan dan pengurangan matriksPenjumlahan dan pengurangan matriks hanya dapat dilakukan apabila kedua matriks memiliki ukuran atau tipe yang sama. Elemen-elemen yang dijumlahkan atau dikurangi adalah elemen yang posisi atau letaknya sama. a i j ± b i j = c i j {\displaystyle a_{ij}\pm b_{ij}=c_{ij}\!}atau dalam representasi dekoratifnya [ 3 4 6 5 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}{3}&{4}\\{6}&{5}\\\end{bmatrix}}\!} [ ( a 11 ± b 11 ) ( a 12 ± b 12 ) ( a 13 ± b 13 ) ( a 21 ± b 21 ) ( a 22 ± b 22 ) ( a 23 ± b 23 ) ] = [ c 11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}(a_{11}\pm b_{11})&(a_{12}\pm b_{12})&(a_{13}\pm b_{13})\\(a_{21}\pm b_{21})&(a_{22}\pm b_{22})&(a_{23}\pm b_{23})\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{13}\\c_{21}&c_{22}&c_{23}\\\end{bmatrix}}\!}Perkalian skalarMatriks dapat dikalikan dengan sebuah skalar. λ ⋅ A := ( λ ⋅ a i j ) i = 1 , … , m ; j = 1 , … , n {\displaystyle \lambda \cdot \mathbf {A} :=(\lambda \cdot a_{ij})_{i=1,\ldots ,m;\ j=1,\ldots ,n}}Contoh perhitungan: 5 ⋅ ( 1 − 3 2 1 2 7 ) = ( 5 ⋅ 1 5 ⋅ ( − 3 ) 5 ⋅ 2 5 ⋅ 1 5 ⋅ 2 5 ⋅ 7 ) = ( 5 − 15 10 5 10 35 ) {\displaystyle 5\cdot {\begin{pmatrix}1&-3&2\\1&2&7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\cdot 1&5\cdot (-3)&5\cdot 2\\5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&-15&10\\5&10&35\end{pmatrix}}}Perkalian matriksMatriks dapat dikalikan dengan cara tiap baris dikalikan dengan tiap kolom, lalu dijumlahkan pada baris yang sama. c i j = ∑ k = 1 m a i k ⋅ b k j {\displaystyle c_{ij}=\sum _{k=1}^{m}a_{ik}\cdot b_{kj}}Contoh perhitungan: ( 1 2 3 4 5 6 ) ⋅ ( 6 − 1 3 2 0 − 3 ) = ( 1 ⋅ 6 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 0 1 ⋅ ( − 1 ) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ ( − 3 ) 4 ⋅ 6 + 5 ⋅ 3 + 6 ⋅ 0 4 ⋅ ( − 1 ) + 5 ⋅ 2 + 6 ⋅ ( − 3 ) ) = ( 12 − 6 39 − 12 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}6&-1\\3&2\\0&-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 6+2\cdot 3+3\cdot 0&1\cdot (-1)+2\cdot 2+3\cdot (-3)\\4\cdot 6+5\cdot 3+6\cdot 0&4\cdot (-1)+5\cdot 2+6\cdot (-3)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12&-6\\39&-12\end{pmatrix}}}Sifat-sifat matriks sebagai berikut: 1. A + B = B + A {\displaystyle A+B=B+A} 2. ( A + B ) + C = A + ( B + C ) {\displaystyle (A+B)+C=A+(B+C)} 3. k ( A B ) = ( k A ) B {\displaystyle k(AB)=(kA)B} 4. ( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (AB)C=A(BC)} 5. A ( B + C ) = A B + A C {\displaystyle A(B+C)=AB+AC} 6. ( A + B ) C = A C + B C {\displaystyle (A+B)C=AC+BC} 7. A B ≠ B A {\displaystyle AB\neq BA}Untuk pembuktian sifat yang pertama, yaitu sifat komutatif pada pertamabahan matriks, dapat dibuktikan dengan cara yang sederhana, kita asumsikan matriks A {\displaystyle A} dan B {\displaystyle B} secara berturut-turut sebagai A = [ a 11 a 12 … a 1 n a 21 ⋱ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ a n 1 … … a n n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&&a_{12}&&\dotsc &&a_{1n}\\a_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\a_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&a_{nn}\end{bmatrix}}} dan B = [ b 11 b 12 … b 1 n b 21 ⋱ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ b n 1 … … b n n ] {\displaystyle B={\begin{bmatrix}b_{11}&&b_{12}&&\dotsc &&b_{1n}\\b_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\b_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&b_{nn}\end{bmatrix}}} Hasil pertambahan dua matriks tersebut yaitu A + B = [ a 11 + b 11 a 12 + b 12 … a 1 n + b 1 n a 21 + b 21 ⋱ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ a n 1 + b n 1 … … a n n + b n n ] {\displaystyle A+B={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&&a_{12}+b_{12}&&\dotsc &&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\a_{n1}+b_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&a_{nn}+b_{nn}\end{bmatrix}}} Perhatikan bahwa, elemen-elemen pada hasil operasi pertamahan matriks tersebut tidak lain merupakan penjumlahan pada suatu bilangan dan berlaku sifat komutatif, a 11 + b 11 = b 11 + a 11 {\displaystyle a_{11}+b_{11}=b_{11}+a_{11}} , dengan demikian dapat dituliskan sebagai [ b 11 + a 11 b 12 + a 12 … b 1 n + a 1 n b 21 + a 21 ⋱ ⋯ ⋮ ⋮ ⋯ ⋱ ⋮ b n 1 + a n 1 … … b n n + a n n ] {\displaystyle \left[{\begin{matrix}b_{11}+a_{11}&&b_{12}+a_{12}&&\dotsc &&b_{1n}+a_{1n}\\b_{21}+a_{21}&&\ddots &&\cdots &&\vdots \\\vdots &&\cdots &&\ddots &&\vdots \\b_{n1}+a_{n1}&&\dotsc &&\dotsc &&b_{nn}+a_{nn}\end{matrix}}\right]} , bentuk di atas tidak lain adalah bentuk dari pertambahan B + A {\displaystyle B+A} . Dengan cara yang sama, yaitu dengan memperhatikan setiap elemen pada hasil operasi matriks, dapat dibuktikan juga untuk sifat-sifat yang lain.[5] Matriks dapat digunakan untuk menuliskan dan mengerjakan beberapa persamaan linear sekaligus secara lebih ringkas. Persamaan-persamaan ini disebut sebagai sistem persamaan linear. Sebagai contoh, misalkan A {\displaystyle \mathbf {A} } adalah matriks berukuran m × n {\displaystyle m\times n} , x {\displaystyle {\textbf {x}}} adalah suatu vektor kolom (yaitu, matriks n × 1 {\displaystyle n\times 1} ) dari n {\displaystyle n} variabel x 1 , x 2 , … , x n {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}} , dan b {\displaystyle {\textbf {b}}} adalah vektor m × 1 {\displaystyle m\times 1} , maka persamaan matriks A x = b {\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} } setara dengan sistem persamaan linear[6] a 1 , 1 x 1 + a 1 , 2 x 2 + ⋯ + a 1 , n x n = b 1 ⋮ a m , 1 x 1 + a m , 2 x 2 + ⋯ + a m , n x n = b m . {\displaystyle {\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}.\end{aligned}}} Dengan menggunakan matriks, sistem ini dapat diselesaikan secara lebih ringkas daripada yang mungkin dilakukan dengan menuliskan semua persamaan secara terpisah. Pada kasus ketika n = m dan semua persamaan bersifat independen (tidak dapat dinyatakan menggunakan persamaan-persamaan yang lain), solusi dari sistem persamaan dapat dituliskan sebagai x = A − 1 b , {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} ,} dengan A − 1 {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}} merupakan matriks invers dari A {\displaystyle \mathbf {A} } . Namun jika A {\displaystyle \mathbf {A} } tidak memiliki invers, solusi dari sistem persamaan — jika ada — dapat ditemukan saat menggunakan invers umum.Vektor-vektor (berupa titik sudut pada gambar ini) hasil perkalian dengan matriks 2×2, analog dengan fungsi transformasi yang mengubah persegi satuan menjadi jajaran genjang. Matriks dan operasi perkaliannya memiliki sifat penting dalam transformasi linear, yang juga dikenal sebagai peta linear. Matriks (real) A {\displaystyle \mathbf {A} } berukuran m×n dapat dianggap sebagai suatu transformasi linear dari ruang dimensi-n ke ruang dimensi-m, dengan bahasa lain, R n → R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} . Transformasi ini memetakan setiap vektor x {\displaystyle {\textbf {x}}} dalam R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ke sebuah vektor Ax {\displaystyle {\textbf {Ax}}} yang terletak dalam R m {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}} . Sebaliknya setiap transformasi linear f : R n → R m {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}} dapat dianggap sebagai efek perkalian dengan suatu matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } berukuran m×n. Secara eksplisit, entri ke- ( i , j ) {\displaystyle (i,\,j)} dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } adalah koordinat ke-i dari hasil pemetaan f ( e j ) {\displaystyle f({\textbf {e}}_{j})} ; vektor e j = ( 0 , … , 0 , 1 , 0 , … , 0 ) {\displaystyle {\textbf {e}}_{j}=(0,\dots ,0,1,0,\dots ,0)} adalah vektor satuan dengan nilai 1 pada koordinat ke-j dan bernilai 0 di koordinat-koordinat yang lain. Dari hubungan ini, matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } adalah representasi (wakil) dari transformasi linear f {\displaystyle f} , dan disebut sebagai matriks transformasi dari f {\displaystyle f} . Sebagai contoh, matriks persegi berukuran 2×2 A = [ a c b d ] {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}} dapat dilihat sebagai fungsi yang mengubah persegi satuan menjadi suatu jajaran genjang dengan titik-titik sudut terletak di ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,\,0)} , ( a , b ) {\displaystyle (a,\,b)} , ( a + c , b + d ) {\displaystyle (a+c,\,b+d)} , dan ( c , d ) {\displaystyle (c,\,d)} . Jajar genjang yang digambarkan di sebelah kanan diperoleh masing-masing dari mengalikan A {\displaystyle \mathbf {A} } dengan vektor kolom [ 0 0 ] , [ 1 0 ] , [ 1 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}} , dan [ 0 1 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}} , secara berurutan. Vektor-vektor ini adalah lokasi titik-titik sudut dari persegi satuan.Tabel berikut menunjukkan beberapa jenis transformasi linear di R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} dan matriks 2×2 dan mewakilinya . Setiap transformasi memetakan daerah asli yang berwarna biru menjadi daerah berwarna hijau. Titik asal ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,\,0)} ditandai dengan titik berwarna hitam.
Karena korespodensi satu-satu antara matriks dan transformasi linear, operasi perkalian matriks berhubungan dengan operasi komposisi fungsi:[7] jika suatu matriks B {\displaystyle \mathbf {B} } berukuran k×m mewakili suatu transformasi linear g : R m → R k {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\rightarrow \mathbb {R} ^{k}} , maka komposisi fungsi g ∘ f {\displaystyle g\circ f} dapat diwakili oleh perkalian matriks B A {\displaystyle \mathbf {BA} } karena ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = g ( A x ) = B ( A x ) = ( B A ) x . {\displaystyle (g\circ f)(\mathbf {x} )=g(f(\mathbf {x} ))=g(\mathbf {Ax} )=\mathbf {B} (\mathbf {Ax} )=(\mathbf {BA} )x.} Persamaan yang terakhir adalah hasil dari sifat asosiatif perkalian matriks.Rank dari matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } adalah banyak maksimum dari vektor-vektor baris matriks yang saling bebas linear, dan nilainya sama dengan banyak maksimum vektor-vektor kolom yang saling bebas linear.[8] Nilai peringkat ini adalah dimensi dari citra transformasi linear yang diwakili oleh A {\displaystyle \mathbf {A} } .[9] Teorema rank–nolitas menyatakan bahwa dimensi kernel dari sebuah matriks jika ditambah dengan rank dari matriks tersebut, akan sama dengan banyak kolom dari matriks tersebut.[10] Matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama. Matriks berukuran n×n juga disebut sebagai matriks persegi berorde n. Dua matriks persegi dengan orde yang sama dapat ditambahkan maupun dikalikan. Entri-entri a i i {\displaystyle a_{ii}} membentuk diagonal utama dari matriks persegi. Mereka terletak pada garis khayal yang membentang dari sudut kiri atas ke sudut kanan bawah matriks. Bentuk-bentuk umumTerdapat banyak macam matriks persegi. Sebagian besar dari mereka didefinisikan dari nilai entri-entri pada matriks, sedangkan yang lain didefinisikan dari sifat yang mereka lakukan atau penuhi. Berikut adalah penjelasan beberapa macam matriks persegi. Matriks diagonal dan matriks segitiga
Jika semua entri matriks persegi A {\displaystyle \mathbf {A} } yang terletak di bawah diagonal utama bernilai nol, A {\displaystyle \mathbf {A} } disebut matriks segitiga atas. Demikian pula jika nilai semua entri A {\displaystyle \mathbf {A} } yang terletak di atas diagonal utama sama dengan nol, A {\displaystyle \mathbf {A} } disebut matriks segitiga bawah. Jika semua entri yang bukan diagonal utama adalah nol, A {\displaystyle \mathbf {A} } disebut matriks diagonal. Matriks identitas dan matriks skalarMatriks identitas I n {\displaystyle \mathbf {I} _{n}} berorde n adalah matriks berukuran n×n yang semua elemen diagonal utamanya bernilai 1 sedangkan elemen-elemen lain bernilai 0. Sebagai contoh, I 1 = [ 1 ] , I 2 = [ 1 0 0 1 ] , … , I n = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] {\displaystyle \mathbf {I} _{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ \mathbf {I} _{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}Matriks ini dinamakan identitas karena tidak mengubah matriks lain ketika dikalikan: A I n = I m A = A {\displaystyle \mathbf {AI} _{n}=\mathbf {I} _{m}\mathbf {A} =\mathbf {A} } untuk sembarang matriks A {\displaystyle \mathbf {A} } berukuran m×n. Matriks ini adalah bentuk khusus dari matriks diagonal. Matriks berupa kelipatan skalar dari matriks identitas disebut matriks skalar. Jika entri-entri matriks identitas diambil dari suatu medan, matriks skalar akan membentuk suatu grup terhadap perkalian matriks, dan isomorfik ke grup multiplikatif dari elemen-elemen tak nol dari medan tersebut.Matriks simetrik dan variasinyaMatriks persegi A {\displaystyle \mathbf {A} } yang sama dengan hasil transpos-nya, yakni matriks yang memenuhi A = A T {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}} , disebut sebagai matriks simetrik. Sedangkan matriks persegi yang sama dengan negatif dari hasil transposnya, yakni A = − A T {\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}} , disebut matriks simetrik serong (skew symetric matrix). Pada matriks dengan entri-entri bilangan kompleks, konsep simetri sering digantikan dengan konsep matriks Hermite. Matriks ini adalah matriks yang memenuhi A = A ∗ {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{*}} , dengan asteris (tanda bintang) menyatakan transpos konjugat dari matriks. Berdasarkan teorema spektral, matriks simetrik real dan matriks Hermite kompleks memiliki basis eigen; artinya setiap vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor eigen. Pada kedua jenis matriks, semua nilai eigennya berupa bilangan real.[11] Teorema tersebut dapat diperumum untuk situasi matriks yang memiliki tak hingga banyak kolom dan baris. Matriks terbalikkan dan inversnyaMatriks persegi A {\displaystyle \mathbf {A} } disebut terbalikkan, nonsingular, atau invertibel, jika ada suatu matriks B {\displaystyle \mathbf {B} } yang memenuhi persamaan A B = B A = I n , {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} _{n},} dengan I n {\displaystyle \mathbf {I} _{n}} merupakan matriks identitas yang berukuran sama dengan A {\displaystyle \mathbf {A} } .[12][13] Jika matriks B {\displaystyle \mathbf {B} } ada, matriks ini unik dan disebut sebagai matriks invers dari A {\displaystyle \mathbf {A} } dan dinotasikan sebagai A − 1 {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}} .Terdapat banyak contoh penerapan dari matriks, baik dalam matematika maupun pada bidang-bidang ilmu lainnya. Sebagian dari mereka hanya menggunakannya untuk mendapatkan bentuk susunan bilangan-bilangan yang lebih ringkas. Sebagai contoh, dalam teori permainan dan ekonomi, matriks imbalan merangkum semua imbalan yang dapat diperoleh dua pemain, tergantung pada himpunan (hingga) pilihan alternatif yang dapat dipilih masing-masing pemain.[14] Proses penambangan teks dan proses mengompilasi tesaurus menggunakan matriks khusus seperti TF-IDF untuk mencatat frekuensi kemunculan kata-kata tertentu pada beberapa dokumen.[15] Matriks juga dapat digunakan untuk merepresentasikan bilangan kompleks, yakni lewat hubungan a + i b ↔ [ a − b b a ] , {\displaystyle a+ib\leftrightarrow {\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},} dengan a dan b keduanya berupa bilangan real non-negatif. Hubungan ini memberikan cara pandang untuk melihat operasi perkalian dan penjumlahan pada matriks maupun pada bilangan kompleks. Sebagai contoh, perkalian dengan suatu matriks rotasi 2×2 merepresentasikan suatu perkalian dengan bilangan kompleks dengan modulus 1. Hubungan yang mirip juga didapatkan untuk kuartenion[16]. Teknik-teknik enkripsi masa awal seperti sandi Hill juga menggunakan matriks. Malangnya, karena sifat kelinearan matriks, kode yang dihasilkan mudah diretas.[17] Grafika komputer menggunakan matriks untuk merepresentasikan dan mentransformasi objek-objek, contohnya ketika memproyeksikan benda 3D ke layar 2D.[18] Ilmu kimia menggunakan matriks dalam banyak cara, khususnya sejak teori kuantum digunakan untuk menjelaskan ikatan kimia dan spektroskopi. Beberapa contoh matriks yang dipakai adalah matriks overlap dan matriks Fock yang digunakan dalam persamaan Roothaan untuk mendapatkan orbital molekul dari metode Hartree-Fock.
|
