vPrakata Selamat, kalian telah naik ke kelas XI Bahasa. Tentunya hal ini menjadi kebanggaan tersendiri bagi kalian. Semoga kalian terpacu untuk berpikir lebih dewasa lagi. Meskipun sudah naik di kelas XI, kalian tidak boleh lupa. Ingat, tantangan yang akan kalian hadapi di kelas ini tidaklah ringan. Kalian harus betul-betul tetap semangat dalam menggapai apa yang kalian cita-citakan. Untuk itu, kalian harus terus rajin belajar, gigih, dan pantang menyerah. Buku ini akan membantu kalian dalam menggapai cita-cita. Buku ini disusun dengan urutan penyajian sedemikian rupa sehingga kalian akan merasa senang untuk mendalaminya. Dalam pembelajarannya, buku ini menuntut kalian untuk aktif dan bertindak sebagai subjek pembelajaran. Kalian dituntut untuk mengonstruksi, mengeksplorasi, dan menemukan sendiri konsep-konsep matematika sehingga kalian akan menjadi orang yang betul-betul kompeten secara matang, khususnya di bidang matematika. Di kelas XI Program Bahasa ini, kalian akan mempelajari materi- materi berikut: • Statistika • Peluang Penulis berharap semoga buku ini dapat membantu kalian dalam mempelajari konsep-konsep matematika. Akhirnya, semoga kalian berhasil dan sukses. Solo, Februari 2008 Penulisvi Diunduh dari BSE.Mahoni.comDaftar Isi Kata Sambutan ............................................................. iii Prakata ........................................................................... v Daftar Isi ........................................................................ viSemester 1Bab I Statistika A. Pengertian Dasar Statistika ............................................... 3 B. Ukuran Pemusatan Data ................................................... 8 C. Ukuran Letak Data ............................................................ 12 D. Statistik Lima Serangkai ................................................... 18 E. Ukuran Penyebaran Data .................................................. 19 F. Penyajian Data dalam Bentuk Diagram ............................ 22 G. Daftar Distribusi Frekuensi............................................... 34 H. Histogram, Poligon Frekuensi, dan Ogif .......................... 46 I. Statistik Deskriptif untuk Data Berkelompok ................... 50 J. Ukuran Penyebaran Data [Lanjutan] ................................ 63 K. Pemeriksaan Data Pencilan............................................... 71 Rangkuman .............................................................................. 73 Latihan Ulangan Harian I ........................................................ 76 Latihan Ulangan Umum Semester 1 ....................................... 79Semester 2Bab II Peluang A. Kaidah Pencacahan [Counting Rules] .............................. 87 B. Peluang Suatu Kejadian .................................................... 111 C. Peluang Kejadian Majemuk .............................................. 122 Rangkuman .............................................................................. 133 Latihan Ulangan Harian II ....................................................... 134 Latihan Ulangan Umum Semester 2 ....................................... 138 Daftar Pustaka ............................................................... 142 Glosarium ...................................................................... 144 Indeks Subjek ................................................................ 145 Kunci Soal-Soal Terpilih ............................................... 146Statistika 1IBab Statistika Sumber: www.solopos.com Motivasi Salah satu bagian dari matematika yang banyak digunakan oleh berbagai kalangan adalah statistika. Statistika merupakan suatu alat yang sangat penting, khususnya dalam memberikan landasan untuk pengambilan keputusan. Pemerintah yang merencanakan anggaran belanja, bursa efek, pengusaha yang ingin meningkatkan produksi, perusahaan asuransi yang membuat ramalan, dan para ahli yang bekerja di laboratorium merupakan sedikit contoh pemakai statistika di lapangan. Mereka mengambil keputusan berdasarkan analisis data statistik yang diperoleh dari lapangan. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat 1. membaca data dalam bentuk diagram garis, diagram batang daun, diagram kotak garis; 2. menyajikan data dalam bentuk diagram garis, diagram batang daun, diagram kotak garis; 3. membaca data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram; 4. menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dan histogram; 5. menafsirkan kecenderungan data dalam bentuk tabel dan diagram; 6. menentukan ukuran pemusatan data: rataan, median, dan modus; 7. menentukan ukuran letak data: kuartil dan desil; 8. menentukan ukuran penyebaran data: rentang, simpangan kuartil, dan simpangan baku; 9. memeriksa data yang tidak konsisten dalam kelompoknya; 10.memberikan tafsiran terhadap ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran.2 Mmt Aplikasi SMA 2 BhsPeta Konsep Statistika mempelajariMenyajikan Data Ukuran Menjadi Penyajian Data Pemeriksaan Data Data Statistik Deskriptif dalam Bentuk Pencilan membahas Diagram Pengertian Statistika, membahas Populasi dan Sampel, Daftar Distribusi Frekuensi Datum, dan Data Histogram, Poligon Pengumpulan Data Frekuensi, dan Ogif Mean, Median, dan Ukuran Pemusatan Modus untuk Data Ukuran Letak Tunggal Ukuran Penyebaran Data Statistik Lima Serangkai Jangkauan Data dan Jangkauan AntarkuartilKata Kunci • median • standar deviasi • modus • statistik• data • populasi • statistika• datum • sampel • stastistik lima serangkai• desil • simpangan rata- • varians• jangkauan• kuartil rata• meanStatistika 3 Kalian telah mempelajari beberapa konsep statistik di SMP, diantaranya pengertian populasi dan sampel, penyajian data statistikuntuk data tunggal dan data majemuk, serta pengenalan histogramdan poligon frekuensi. Materi-materi tersebut akan kita ulang danpelajari lebih mendalam, dilengkapi dengan sedikit penambahan,misalnya penyajian data dalam bentuk diagram batang daun dan dia-gram kotak garis, ukuran letak kumpulan data, yaitu desil sertapenafsiran ukuran pemusatan, ukuran letak dan ukuran penyebarankumpulan data. Untuk menyegarkan ingatan kalian tentang materi statistika,seperti yang telah kalian pelajari di SMP, coba jawablah soal-soalberikut.Uji Prasyarat Kerjakan di buku tugas1. Apa yang kalian ketahui tentang statistik, statistika, dan data?2. Apakah mean, median, dan modus itu?3. Misalkan diberikan data berikut. 2 anak memiliki nilai 7 5 anak memiliki nilai 8 7 anak memiliki nilai 8,5 8 anak memiliki nilai 9 5 anak memiliki nilai 10 Dari data tersebut, coba tentukan nilai mean, median, dan modusnya. Setelah mempelajari pokok bahasan ini, diharapkan siswamenguasai tujuan pembelajaran bab ini.A. Pengertian Dasar Statistika Coba kalian perhatikan perilaku para pelayan toko yang sehari-harinya melayani pembeli dan mencatat setiap transaksi yang terjadi.Demikian pula pada saat pelayan tersebut telah selesai dengantugasnya pada hari itu, dia akan merekap hasil penjualan yangdiperolehnya. Misalnya, hari ke-1, pelayan itu mampu mencatat hasilpenjualan senilai Rp500.000,00, hari ke-2 Rp550.000,00, hari ke-3Rp700.000,00, dan seterusnya. Pencatatan itu dilakukan setiap hari hingga pada akhir bulan diamampu memperoleh kumpulan angka-angka dalam bentuk nominalrupiah. Dari kumpulan angka-angka itu, pelayan toko dapatmengetahui penjualan terendah, penjualan tertinggi, atau rata-ratapenjualannya.4 Mmt Aplikasi SMA 2 Bhs1. Statistik dan StatistikaBerdasarkan uraian di atas, sebenar-nya pelayan toko itu telah menggunakanstatistika untuk menyusun, menge-lompokkan, dan menilai suatu kejadiandengan memerhatikan angka-angkayang dia catat. Dengan demikian, kitadapat mengartikan bahwa statistikadalah kumpulan informasi atauketerangan yang berupa angka-angkayang disusun, ditabulasi, dan dikelom-pok-kelompokkan sehingga dapat Sumber: Dokumen Penerbitmemberikan informasi yang berarti Gambar 1.1 Kasir melakukan kegiatan statistikmengenai suatu masalah atau gejala. Adapun ilmu tentang caramengumpulkan, menabulasi, mengelompokan informasi,menganalisis, dan mencari keterangan yang berarti tentanginformasi yang berupa angka-angka itu disebut statistika.2. Populasi dan Sampel Misalnya, seorang peneliti akan mengadakan penelitian tentang mata pelajaran yang paling disenangi oleh siswa-siswa SMA 10. Dalam penelitian itu, populasinya adalah seluruh siswa SMA 10, sedangkan sampel yang diteliti dapat diambil dari beberapa siswa kelas X, kelas XI, atau kelas XII yang dianggap dapat mewakili populasinya. Kesimpulan yang diperoleh dari sampel itu digeneralisasikan pada populasinya. Dari contoh tersebut dapat dikatakan bahwa populasi adalah keseluruhan objek yang akan diteliti, sedangkan sampel adalah sebagian atau keseluruhan populasi yang dianggap mewakili populasinya.3. Datum dan Data Perhatikan kembali perilaku pelayan toko di atas. Pelayan toko tersebut setiap harinya mencatat hasil rekap penjualan sehingga diperoleh angka-angka Rp500.000,00, Rp550.000,00, Rp700.000,00, dan seterusnya. Hasil rekap pada suatu hari yang dinyatakan dalam bentuk angka, misalnya Rp500.000,00 disebut datum, sedangkan kumpulan hasil rekap pada periode tertentu, misalnya selama satu bulan disebut data. Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa datum adalah keterangan yang diperoleh dari hasil pengamatan atau penelitian. Kumpulan da- tum-datum itu disebut data. Jadi, bentuk jamak dari datum disebut data. Data yang berupa bilangan disebut data kuantitatif, sedangkan data yang tidak berupa bilangan disebut data kualitatif, misalnya berupa lambang atau sifat. Data kuantitatif dibedakan menjadi dua macam.Statistika 5a. Data diskret [cacahan], yaitu data yang diperoleh dengan cara mencacah atau menghitungnya, misalnya, data tentang banyak anak dalam keluarga.b. Data kontinu [ukuran], yaitu data yang diperoleh dengan cara mengukur, misalnya data tentang luas tanah, data tentang berat badan, dan data tentang tinggi badan. Untuk matematika di SMA, statistika yang kita pelajariadalah statistika deskriptif, yaitu bagian dari statistika yangmempelajari cara mengumpulkan, mengolah, dan menyajikandata dalam bentuk diagram atau kurva. Adapun bagian daristatistika yang mempelajari cara-cara untuk menarik kesimpulandan membuat ramalan dinamakan statistika inferensial [infe-rential statistics] atau statistika induktif. Statistika inferensial tidakdipelajari di sini, tetapi akan dipelajari di tingkat yang lebih lanjut.Tugas Kreativitas Kerjakan di buku tugasDengan bahasamu sendiri, jelaskan apa yang dimaksud statistik,populasi, sampel, dan data. Masing-masing berikan contohnya.4. Pengumpulan Data Suatu data statistik dapat diperoleh di mana saja, bergantung pada maksud dan tujuan penelitian yang dilakukan. Hendaknya, data yang dikumpulkan adalah data yang akurat, terkini [up to date], komprehensif [menyeluruh], dan memiliki kaitan dengan persoalan yang diteliti. Untuk itu, seorang peneliti hendaknya memiliki perencanaan yang baik, agar memperoleh hasil seperti yang diharapkan. Jika seorang peneliti ingin mengumpulkan data yang diperlukan, ada beberapa cara yang dapat ditempuh untuk mendapatkannya, antara lain dengan wawancara, angket atau kuesioner, dan pengamatan atau observasi. a. Wawancara Wawancara adalah tanya jawab secara langsung dengan sumber data atau orang-orang yang dianggap mampu memberikan data yang diperlukan. b. Angket [Kuesioner] Angket adalah teknik pengumpulan data dengan memberikan pertanyaan-pertanyaan yang disusun dalam suatu daftar pertanyaan. Angket digunakan apabila orang yang akan dimintai keterangan jumlahnya cukup banyak dan tempat tinggalnya tersebar cukup berjauhan. c. Pengamatan [Observasi] Pengamatan adalah teknik pengumpulan data, dalam hal ini pencari data mengadakan pengamatan baik langsung maupun tak langsung terhadap objek. Pengamatan dibeda- kan menjadi tiga macam.6 Mmt Aplikasi SMA 2 Bhs1] Pengamatan langsung, yaitu Sumber: www.sabah.gov.com pengamatan yang dilakukan Gambar 1.2 Pengumpulan data melalui observasi secara langsung terhadap objek penelitian.2] Pengamatan tak langsung, yaitu pengamatan yang dilaku- kan terhadap objek penelitian menggunakan alat atau peran- tara, misalnya menggunakan mikroskop.3] Pengamatan partisipasif, yaitu pengamatan yang dilakukan dengan cara peneliti ikut terlibat dan melibatkan diri dalam situasi yang dilakukan oleh responden [objek peneli- tian]. Data yang diperoleh langsung dari penelitian ataupengukuran dan masih berwujud catatan yang belummengalami pengolahan ataupun penyusunan disebut datakasar [raw data]. Tahap berikutnya setelah data ituterkumpul adalah mengorganisir dan mengelompokkanfakta dari data tersebut sesuai dengan tujuan penelitian. Agarlebih mudah dianalisis, data tersebut disederhanakan terlebihdahulu, di antaranya dengan pembulatan.Info Math: Informasi Lebih Lanjut F. Galton statistika untuk penelitian ilmiah dipelopori oleh F. Galton pada tahun 1880. Untuk pertama kalinya, Galton menggunakan korelasi dalam penelitian biologi, namun pemakaian statistika untuk penelitian ilmiah pada saat itu dapat dikatakan tidak lazim. Bahkan, mereka menuai kecaman-kecaman yang amat pedas karena menggunakan statistika dalam berbagai penelitian, seperti yang dialami oleh Karl F. Galton Pearson pada akhir abad kesembilan belas.Sumber: www.york.ac.uk Mendekati pertengahan abad XX, tepatnya Pada mulanya, kata statistik dipergunakan antara tahun 1918–1935, pemakaian statistikaoleh Caesar Augustus pada zaman Romawi mengalami kemajuan sangat pesat. Hal iniuntuk memperoleh keterangan-keterangan dipelopori oleh R. Fisher yang memperkenalkanyang dibutuhkan seperti nama, jenis kelamin, analisis variansi dalam literatur statistika. Sejakumur, pekerjaan, dan jumlah keluarga itu, pemakaian statistika makin meluas daripenduduk negaranya. Keterangan-keterangan bidang biologi ke bidang-bidang pengetahuanitu dipergunakan untuk memperlancar lainnya. Carilah informasi tentang tokoh inipenarikan pajak dan memobilisasi rakyat jelata selengkapnya di perpustakaan atau internet.ke dalam angkatan perang. Penggunaan Sumber: www.myscienceblog.comStatistika 7Uji Kompetensi 1 Kerjakan di buku tugas1. Jelaskan maksud istilah-istilah berikut.a. Statistik dan statistikab. Populasi dan sampelc. Datum dan datad. Data diskret dan data kontinue. Statistika deskriptif dan statistika inferensialf. Wawancara dan angket [kuesioner]g. Observasih. Pengamatan partisipatif2. Pada penelitian berikut, tentukan sampel dan populasinya. Kemudian, jelaskancara pengambilan sampelnya.a. Dinas kesehatan meneliti satu kantong ”lumpur Lapindo” untuk mengetahuiada/tidaknya kandungan zat berbahaya.b. Pemerintah ingin mengetahui pendapatan rata-rata per tahun masyarakat diProvinsi X.c. Seorang dokter ingin mengetahui naik turunnya suhu badan pasien selamadua hari terakhir.d. Dinas peternakan ingin meneliti rata-rata jumlah ternak setiap desa diKecamatan A.e. Seorang siswa ingin mengetahui pertumbuhan 1.000 kecambah yang telahdiberi pupuk tertentu setiap 12 jam.3. Sebutkan data di bawah ini, termasuk data diskret atau kontinu.a. Data tinggi badan siswa kelas XI.b. Data jumlah jiwa dalam suatu keluarga.c. Data jumlah siswa yang mengikuti kegiatan olahraga di sekolah.d. Lama perjalanan seorang siswa menuju sekolahnya.4. Tentukan hasil pembulatan bilangan-bilangan berikut ini dengan ketelitian sampai2 tempat desimal [2 angka di belakang koma].a. 41,0001b. 2.821,3168c. 322,6677d. 453,736e. 996,907f. 28,6005. Salah satu cara untuk menyederhanakan data adalah dengan menuliskannya kebentuk baku, yaitu a × 10n, dengan 1 ] a ] 10, n bilangan bulat, dan n & 0.Dengan menyatakan dalam bentuk baku, sederhanakanlah data berikut [ketelitiansampai 2 tempat desimal].a. 599,328 d. 0,000373b. 632,732 e. 0,000787c. 808,033 f. 0,0014198 Mmt Aplikasi SMA 2 BhsB. Ukuran Pemusatan Data Tes Mandiri Misalkan 8 siswa peserta tes Matematika yaitu, Andi, Budi, Cici, Kerjakan di buku tugasDita, Efa, Fita, Gani, dan Haris. Setelah diadakan tes dan nilainyadibulatkan diperoleh data nilai dari Andi hingga Hari adalah 8, 6, 7, Nilai rata-rata ujian4, 9, 4, 7, 7. Berapakah rata-rata nilai mereka, nilai manakah yang Matematika dari satumembagi data menjadi dua bagian yang sama [nilai tengah], yaitu kelas yang terdiri atas50% dari kelompok bawah dan 50% dari kelompok atas, serta nilai 43 siswa adalah 56.mana yang paling sering muncul dari hasil tes itu. Jika 3 siswa yang mendapat nilai 90 tidak Ketiga pertanyaan itu memberikan gambaran pemusatan dari dimasukkan maka nilainilai kedelapan siswa peserta tes Matematika di atas. Pertanyaan rata-ratanya menjadipertama berkaitan dengan nilai-nilai rata-rata, pertanyaan kedua ....berkaitan dengan nilai tengah, dan pertanyaan ketiga berkaitan dengan a. 55,15 d. 52,55nilai yang sering muncul. Nilai rata-rata disebut juga mean, nilai b. 54,35 e. 51,65tengah disebut juga median, dan nilai yang sering muncul disebut c. 53,45juga modus. Ketiganya merupakan ukuran pemusatan data atau Soal SPMB, Kemam-ukuran tendensi sentral. Pada subbab ini, kita akan belajar ukuran puan Dasar, 2003pemusatan data tunggal. Tugas1. Mean Berpikir Kritis Mean dari suatu data didefinisikan sebagai jumlah semua nilai datum dibagi dengan banyaknya datum. Dengan demikian, Kerjakan di buku tugas dalam notasi pembagian dapat ditulis Misalkan data x1, x2, x3, Mean = jumlah semua datum ... mempunyai mean banyaknya datum x . Jika data diubah menjadi [x1 – 1], [x2 – 1].Mean disebut juga rataan hitung atau rata-rata hitung dan [x3 – 1], ..., bagai- manakah nilai mean-sering disingkat rataan atau rata-rata saja. Misalnya, suatu data nya? Bagaimana mean- nya jika data diubahkuantitatif terdiri atas datum x1, x2, ..., xn, mean data tersebut menjadi 5x1, 5x2, 5x3,dapat dituliskan sebagai berikut. ...? x = x1 + x2 + ...+ xn ndengan x adalah mean [ x dibaca: x bar].Penjumlahan berulang x1 + x2 + ... + xn dapat dinyatakan dalamnotasi sigma berikut. n -x1 + x2 + ... + xn = xi i =1Keterangan: n- xi dibaca ”sigma xi untuk i = 1 sampai dengan n”.i =1Oleh karena itu, nilai mean di atas dapat ditulis n - -x = xi 1 n atau x = n i =1 xi i =1 nStatistika 9Contoh:1. Tentukan mean dari data: 3, 4, 3, 7, 8, 6, 6, 5. Penyelesaian: n8Mean: x = - xi - xi i=1 i=1 = n 8 3+4+3+7+8+6+6+5=8 42 = 8 = 5,252. Nilai mean [rata-rata] ujian sekelompok siswa yang berjumlah 30 orang adalah 60. Berapa nilai mean ujian tersebut jika seorang dari kelompok itu yang mendapat nilai 89 tidak dimasukkan dalam perhitungan?Penyelesaian:Nilai mean ujian dari 30 orang siswa adalah 60.Dengan demikian, diperolehx1 + x2 + ...+ x30 = 60 30‹ x1 + x2 + ... + x30 = 1.800Menurut soal, nilai 89 tidak diikutkan. Misalkan x30= 89. Nilai dari 29 siswa ituadalahx1 + x2 + ... + x29 = 1.800 – x30 = 1.800 – 89 = 1.711Jadi, nilai mean ujian dari 29 siswa tersebut adalah 1.711 = 59. 29 2. Median Median didefinisikan sebagai suatu nilai yang membagi suatu data yang telah diurutkan dari yang terkecil ke terbesar menjadi dua bagian sama banyak. Berdasarkan definisi tersebut, nilai median adalah a. nilai datum yang ada di tengah [jika ukuran datanya ganjil]; b. rataan dua nilai datum yang ada di tengah [jika ukuran datanya genap]. Misalnya, suatu data yang telah diurutkan dituliskan sebagai x1, x2, ..., xn, dengan x1 ] x2 ] x3 ... ] xn, nilai median dapat dirumuskan sebagai berikut.10 Mmt Aplikasi SMA 2 Bhsa. Jika n [ukuran data] ganjil, mediannya adalah datum yang Tes Mandiri berada di tengah atau datum ke- £ n +1¥ sehingga dapat Kerjakan di buku tugas ¤ 2¦ Misalnya x0 adalah ditulis rata-rata dari data x1, x2, ..., x10. Jika data median = x £² n + 1 ¥´ berubah mengikuti ¤ 2 ¦ pola:b. Jika n [ukuran data] genap, mediannya adalah rataan dari x1 + 2, x2 + 4, x3 + 6, 22 2 ke-²£ n ¥´ x4 +8, dan seterus- ¤ 2 ¦ 2dua datum yang berada di tengah, yaitu datum dan nya, nilai rata-rata data menjadi ....datum ke- £² n +1´¥ sehingga dapat ditulis a. x0 + 11 ¤ 2 ¦ b. x0 + 12 1 c. 2 x0 + 11 median = 1 ²£ x x²£ ´¥´. 1 2 ² ¤ ¦ d. 2 x0 + 12 ¤ n + n + 1¥´ 1 2 2 ¦ e. 2 x0 + 20 Perlu ditekankan di sini bahwa nilai median hanya dapat Soal UMPTN, Kemam-ditentukan pada data yang telah diurutkan. Jika masih belum puan Dasar, 1996urut maka perlu diurutkan terlebih dahulu. Proses menyusundata dengan mengurutkan data dari datum terkecil ke da-tum terbesar ini disebut juga dengan proses menyusunstatistik peringkatnya.Contoh:Tentukan median dari setiap data berikut.a. 3, 5, 4, 2, 6b. 14, 12, 10, 20, 8, 8, 6, 10Penyelesaian:a. Data ini belum terurut sehingga perlu diurutkan terlebih dahulu. Urutan data dari datum yang terkecil adalah 2, 3, 4, 5, 6. Ukuran data n = 5 [ganjil] sehingga median = x 5+1 = x3 = 4 2 Perhatikan posisi median data berikut. x1 x2 x3 x4 x5 2 3 4 56 median = x3 = 4Statistika 11b. Data belum terurut sehingga perlu diurutkan terlebih dahulu. Urutan data dari da- tum yang terkecil adalah 6, 8, 8, 10, 10, 12, 14, 20. Ukuran data n = 8 [genap] sehinggamedian = 1 ²²¤£ x 8 + x8 + ´¥ = 1 [ x4 + x5] = 1 [10 + 10] = 10. 2 2 1 ´¦ 2 2 2Perhatikan posisi median data berikut.x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x868 8 10 10 12 14 20 median = 1 [x4 + x5] = 10 2 3. Modus Modus adalah datum yang nilainya paling sering muncul atau datum yang frekuensinya [kekerapan atau keseringan munculnya] paling besar. Misalnya, dari data: 4, 3, 6, 6, 7, 8, 4, 2, 3, 7, 3, 5, 9, modusnya adalah 3 karena frekuensi nilai 3 paling besar di antara nilai-nilai yang lain. Data yang bermodus tunggal atau hanya mempunyai satu modus dinamakan data unimodal. Data yang mempunyai dua modus dinamakan data bimodal. Misalnya, data: 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, modusnya adalah 5 dan 7. Adapun data yang modusnya lebih dari dua dinamakan data multimodal [bermodus banyak]. Jika semua nilai datum mempunyai frekuensi sama besar, data tersebut dikatakan tidak mempunyai modus. Tugas Observasi Kerjakan di buku tugas Coba kalian cari data tentang jumlah anggota keluarga dan tingkat pendidikan [SD, SMP, SMA, Perguruan Tinggi] dengan salah satu cara berikut: a. wawancara, b. angket [kuesioner], atau c. observasi. Dari data yang kamu peroleh, tentukan nilai mean, median, dan modusnya. Apa arti angka-angka itu?12 Mmt Aplikasi SMA 2 BhsUji Kompetensi 2 Kerjakan di buku tugas1. Jelaskan pengertian istilah-istilah berikut.a. mean d. unimodalb. median e. bimodalc. modus f. multimodal2. Susunlah statistik peringkat dari setiap data berikut. Kemudian, tentukan mean,median, dan modusnya.a. 5, 2, 4, 3, 6 d. 5, 8, 7, 7, 8, 5, 8b. 3, 7, 2, 2, 4 e. 4, 8, 7, 7, 5, 7c. 7, 2, 5, 5, 5, 6 f. 6, 3, 5, 1, 2, 3, 43. Nilai rata-rata ulangan dari 20 siswa adalah 8,2. Jika nilai ulangan 15 siswa darikelas lain digabungkan dengan 20 siswa itu, rata-rata nilai ulangan dari 35 siswaitu menjadi 8,9. Tentukan rata-rata nilai ulangan dari 15 siswa yang baru bergabungtadi.4. Nilai mean ujian sekelompok siswa yang berjumlah 40 orang adalah 51. Jika seorangsiswa yang mendapat nilai 90 dikeluarkan dari kelompok ini, berapa nilai meanujian dari 39 siswa itu sekarang?5. Nilai mean ujian sekelompok siswa yang berjumlah 39 orang adalah 45. Jika nilaiseorang siswa lain digabungkan dengan kelompok tersebut, nilai mean dari 40 siswaitu menjadi 46. Tentukan nilai ujian siswa yang baru bergabung itu.Soal Terbuka Kerjakan di buku tugasNilai rata-rata ujian dari 35 siswa adalah 7,1. Jika nilai dari 2siswa lain tidak diikutsertakan dalam perhitungan maka nilairata-rata menjadi 7,0.a. Jika salah satu dari 2 siswa itu memiliki nilai 9, berapakah nilai siswa yang satunya lagi?b. Jika kedua siswa itu memiliki nilai yang sama, berapakah nilai masing-masing siswa?Tugas Eksplorasi Kerjakan di buku tugasTelah kalian pelajari tentang mean, median, dan modus yangmerupakan ukuran pemusatan data. Apa yang kalian ketahuitentang ukuran pemusatan data? Ungkapkan dengan bahasamu.C. Ukuran Letak Data Pada subbab sebelumnya, ketika membahas median, kalian telahmengetahui apa yang dimaksud statistik peringkat. Kali ini, kita akanmemanfaatkan statistik peringkat ini untuk membahas tentang ukuranStatistika 13 letak data. Sebenarnya ukuran letak data dalam statistika sangat banyak. Namun, untuk saat ini, kita hanya akan membahas tentang kuartil dan desil saja. 1. Kuartil Kuartil adalah tiga nilai yang membagi data yang sudah diurutkan menjadi empat bagian yang sama banyak. Ketiga nilai itu adalah: a. median atau kuartil kedua [Q2], yaitu nilai yang membagi data yang sudah diurutkan dari terkecil ke terbesar menjadi dua bagian yang sama banyak. b. kuartil pertama atau kuartil bawah [Q1], yaitu nilai tengah dari semua data yang nilainya kurang dari kuartil kedua [Q2]. c. kuartil ketiga atau kuartil atas [Q3], yaitu nilai tengah dari semua data yang nilainya lebih besar dari kuartil kedua [Q2]. Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut. [Ingat, data sudah terurut sesuai statistik peringkatnya]. 1] Sampai dengan Q1, terdapat 25% data dari data keseluruhan. 2] Dari Q1 sampai Q2, terdapat 25% data dari data keseluruhan. 3] Dari Q2 sampai Q3, terdapat 25% data dari data keseluruhan. 4] Ada 25% data dari data keseluruhan data yang berada di atas Q3. x1 25% 25% 25% 25% xn Q1 Q2 Q3 Gambar 1.3 Posisi kuartilContoh:Susunlah statistik peringkatnya, kemudian tentukan nilai statistik minimum, kuartilbawah [Q1], median [Q2], kuartil atas [Q3], dan statistik maksimum dari data berikut.a. 3, 5, 1, 4, 2, 7, 9, 6, 6, 8, 7b. 2, 3, 3, 8, 8, 9, 7, 6, 5, 7, 7, 4Penyelesaian:a. Statistik peringkat data tersebut tampak pada diagram di bawah ini. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 1 2 34 56 6 7 78 9 Q1 Q2 Q2Dari bagan statistik peringkat di atas, dapat dilihat dengan jelas bahwakuartil bawah [Q1] = x3 = 3;kuartil tengah [Q2] = x6 = 6;kuartil atas [Q3] = x9 = 7.14 Mmt Aplikasi SMA 2 Bhs b. Statistik peringkat data tersebut tampak pada bagan berikut. x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8 x9 x10 x11 x12 2 3 34 56 7 7 78 8 9 Q1 Q2 Q3Dalam soal ini, banyaknya data adalah 12 [genap] sehingga nilai-nilai kuartilnyatidak tepat berada pada datum tertentu seperti digambarkan pada bagan di atas.Oleh karena itu, nilai kuartil bawah [Q1], median [Q2], dan kuartil atas [Q3] daridata di atas dapat dihitung sebagai rataan dua datum seperti berikut.Q1 = x3 + x4 = 3+ 4 = 3,5 [Q1 berada di antara x3 dan x4]. 2 2Q2 = x6 + x7 = 6+7 = 6,5 [Q2 berada di antara x6 dan x7]. 2 2Q3 = x9 + x10 = 7+8 = 7,5 [Q3 berada di antara x9 dan x10]. 2 2Untuk suatu data dengan ukuran cukup besar, nilai-nilaikuartil dapat ditentukan dengan pola interpolasi yang dirumuskansebagai berikut.Misalkan suatu data berukuran n dapat dituliskan sebagai Tes Mandirix1, x2, ..., xn. Nilai-nilai data tersebut sudah diurutkan dari datum Kerjakan di buku tugasyang paling kecil ke datum yang paling besar.a. Kuartil pertama [Q1] merupakan nilai yang membagi data Median dan kuartil atassehingga banyaknya data yang lebih kecil daripada Q1 adalah dari data pengamatan 9, 11, 7, 11, 13, 7, 12, 1 n dan banyaknya data yang lebih besar daripada Q1 adalah 13, 10, 6, 10 berturut- 4 turut adalah .... a. 9 dan 11 3 n. Dengan demikian, kuartil pertama [Q1] terletak pada 4 b. 9 dan 11 1urutan ke- 1 [n + 1]. 2 4 c. 10 dan 11 1b. Kuartil kedua [Q2] merupakan nilai yang membagi data 2sehingga banyaknya data yang lebih kecil daripada Q2 adalah d. 10 dan 12 e. 10 1 dan 12 2 2 n dan banyaknya data yang lebih besar daripada Q2 adalah 4 Soal SPMB, Kemam- puan Dasar, 2003 2 n. Oleh karena itu, kuartil kedua [Q2] merupakan nilai 4yang terletak pada urutan ke- 2 [n + 1]. 4c. Kuartil ketiga [Q3] merupakan nilai yang membagi datasehingga banyaknya data yang lebih kecil daripada Q3 adalah 3 n dan banyaknya data yang lebih besar daripada Q3 adalah 4 1 n. Dengan demikian, kuartil ketiga [Q3] merupakan nilai 4yang terletak pada urutan ke- 3 [n + 1]. 4Statistika 15 Oleh karena itu, secara umum untuk i = 1, 2, 3 dan n > 4 dapat dirumuskan bahwa letak kuartil ke-i [Qi] adalah Letak Qi = datum ke- i [ n + 1] 4 Untuk menentukan nilai kuartil ke-i, perhatikan nilai letak Qi. Misalnya, letak Qi = datum ke-3 maka nilai Qi = x3. Bagaimana jika nilai letak Qi = datum ke-3 1 ? Keadaan seperti ini menun- 2 jukkan bahwa Qi terletak di antara x3 dan x4. Oleh karenanya, 1 nilai Qi = x3 + 2 [x4 –x3]. Hal ini juga berlaku untuk letak Qi = datum ke-4 1 yang mempunyai nilai Qi = x4 + 1 [x5 – x4]. 4 4Contoh:Tentukan nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas dari data terurut berikut.a. 3 7 7 7 8 8 9 10 11 11 11b. 2 2 3 3 5 6 6 7 7 7 7 8 9c. 3 4 5 6 8 9 9 10 11 12Penyelesaian:a. Karena data tersebut sudah terurut naik, kita dapat menentukan nilai Q1, Q2, dan Q3 sebagai berikut [n = 11].• Letak Q1 = datum ke- 1[11 +1] = datum ke-3 4 Karena datum ke-3 adalah 7 maka Q1 = 7.• Letak Q2 = datum ke- 2[11 +1] = datum ke-6 4 Karena datum ke-6 adalah 8 maka Q2 = 8.• Letak Q3 = datum ke- 3[11 + 1] = datum ke-9 4 Karena datum ke-9 adalah 11 maka Q3 = 11.b. Data tersebut sudah terurut naik sehingga kita dapat menentukan nilai Q1, Q2, dan Q3 [n = 13].• Letak Q1 = datum ke- 1[13 + 1] = datum ke-3 1 4 2 Hal ini menunjukkan bahwa letak Q1 berada di antara datum ke-3 dan ke-4. Karena datum ke-3 [x3] = 3 dan datum ke-4 [x4] = 3 maka 11 Q1 = x3 + 2 [x4 – x3] = 3 + 2 [3 – 3] = 3.16 Mmt Aplikasi SMA 2 Bhs• Letak Q2 = datum ke- 2[13 + 1] = datum ke-7 4 Karena datum ke-7 = 6 maka Q2 = x7 = 6.• Letak Q3 = datum ke- 3[13 +1] = datum ke-10 1 4 2 Berarti, Q3 berada di antara datum ke-10 dan ke-11. Karena datum x10 = 7 dan x11= 7 maka 1 Q3 = x10 + 2 [x11 – x10] 1 = 7 + 2 [7 – 7] = 7c. Data di atas juga sudah terurut naik dengan n = 10 [genap].Letak Q1 = datum ke- 1[10 + 1] 4 = datum ke-2 3 4Hal ini berarti Q1 terletak di antara datum ke-2 dan ke-3.Karena x2 = 4 dan x3 = 5 maka 3Q1 = x2 + 4 [x3 – x2] 3 = 4 + 4 [5 – 4] = 4,75Dengan cara yang sama, akan diperoleh Q2 = 8,5 dan Q3 = 10,25. Coba kaliantunjukkan.2. Desil Diskusi Desil merupakan nilai-nilai yang membagi data yang sudah Informasi Lebih diurutkan menjadi sepuluh bagian yang sama banyak. Karena Lanjut desil membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama banyak, ada sembilan nilai desil, yaitu desil pertama [D1], desil kedua Apa yang kalian [D2], desil ketiga [D3], desil keempat [D4], desil kelima [D5], ketahui tentang desil keenam [D6], desil ketujuh [D7], desil kedelapan [D8], dan ukuran letak? Cari- desil kesembilan [D9]. lah informasi ten- tang ukuran letak ini. Misalkan ukuran datanya adalah n dengan x1, x2, ..., xn nilai- Apakah hanya kuar- nilai data yang sudah diurutkan dari yang terkecil sampai dengan til dan desil yang terbesar. Seperti pada pembahasan tentang kuartil, desil pertama merupakan ukuran letak? 1 [D1] merupakan nilai yang terletak pada urutan ke- 10 [n + 1], desil kedua [D2] merupakan nilai yang terletak pada urutanStatistika 17 ke- 2 [n + 1], dan seterusnya, hingga desil kesembilan [D9] 10 merupakan nilai yang terletak pada urutan ke- 9 [n + 1]. 10 Letak desil ke-i, i = 1, 2, ..., 9 dapat ditentukan sebagai berikut. Letak Di = datum ke- i [n + 1] Keterangan: 10 Di : desil ke-i i : 1, 2, ..., 9 n : ukuran data Untuk menentukan nilainya, dapat dilakukan seperti pada saat kalian mempelajari kuartil.Contoh:Tentukan desil pertama dan desil kelima, dari data berikut [n = 40].10 10 10 10 12 12 12 14 14 1516 17 18 20 20 20 20 20 21 2122 23 24 25 26 27 28 28 28 2830 30 32 34 36 36 36 38 40 40Penyelesaian:Karena data tersebut sudah terurut D1 dan D5 berturut-turut adalah sebagai berikut.Letak D1 = datum ke- 1 [40 + 1] 10= datum ke-4 1 10Hal ini menunjukkan bahwa D1 terletak di antara datum ke-4 [x4] dan ke-5 [x5].Karena x4 = 10 dan x5 = 12 makaD1 = x4 + 1 [x5 – x4] 10= 10 + 1 [12