Buktikan rumus jumlah n buah suku pertama Deret Aritmatika

Edumatik.Net – Pengertian deret itu sebenarnya apa sih?
Sederhananya deret adalah nilai yang didapatkan dari penjumlahan semua suku dari suatu barisan. Jika penjumlahan dari barisan aritmatika maka disebut dengan deret aritmatika, jika penjumlahan dari barisan geometri maka disebut dengan deret geometri.

Tapi pada artikel ini Kamu akan mempelajari materi deret aritmatika, untuk deret geometri akan dibahas di artikel terpisah.

Sebelum membuktikan rumus, Kita akan melakukan sebuah eksperimen terlebih dulu. Eksperimen ini ada kaitannya dengan cara membuktikan rumus deret aritmatika. Jadi bersabarlah dulu dan ikuti aja aturannya, biar Kamu paham. Oke?

Misalnya ada sebuah barisan aritmatika \(1, 3, 5, 7, 9, 11\).

Bagaimana sih mencari jumlah deret aritmatika diatas?

Kalau sukunya sedikit, bisa aja langsung dijumlahkan. Tapi masalahnya bagaimana kalau sukunya banyak. Pastinya puyengkan?

Oleh karena itu Kita akan mencari rumus jumlah deret aritmatika agar kedepannya kalau Kita menemukan barisan aritmatika yang sukunya banyak Kita gak akan kerepotan lagi.

Kita akan coba menjumlahkan barisan diatas dengan cara yang berbeda.
Agar lebih mudah, Kita simbolkan jumlah barisan aritmatika itu dengan simbol \(S_n\).

\(S_n = 1+3+5+7+9+11\) atau

\(S_n = 11+9+7+5+3+1\)

Jika keduanya dijumlahkan maka akan seperti berikut ini.

\(2 S_n = 12+12+12+12+12+12\) atau

\(2 S_n = 6 \times 12\)

\(S_n = \frac{6}{2} \times 12\)

\(S_n = \frac{6}{2} \times (1+11)\)

Dari bentuk terakhir, Kita bisa ketahui bahwa 6 adalah banyaknya suku barisan aritmatika, 2 adalah rumusan tetap, 1 adalah suku pertama, dan 11 adalah suku terakhir dari barisan aritmatika.

Jika perhitungannya diselesaikan maka hasilnya adalah 36. Kalau dihitung manualpun pasti hasilnya sama.

Kamu sekarang udah tau nih cara menemukan rumus deret aritmatika dengan angka-angka. Sekarang saatnya Kita buktikan rumus deret aritmatika tersebut dengan cara yang lebih formal.

Rumus diatas dapat dikembangkan lagi menjadi bentuk lain, perhatikan penjelasan dibawah ini!

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a + (n-1)b \right]\)

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ a+a + (n-1)b \right]\)

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ a + \left( a+ (n-1)b \right) \right]\)

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ a + U_n \right]\)

Jika disederhanakan lagi, maka akan seperti beriku ini.

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ a + U_n \right]\)

\(S_n = n \left[ \frac{a + U_n}{2} \right]\)

\(S_n = n . U_t\)

\(U_t\) adalah suku tengah barisan aritmatika.

Dari sini dapat Kita simpulkan bahwa rumus deret aritmatika itu adalah sebagai berikut:

Diatas Kamu sudah mengetahui materi deret aritmatika, sekarang akan Kita bahas contoh soalnya. Berikut ini adalah contoh soal deret aritmatika beserta jawabannya.

1). Carilah suku ke \(50\) dari barisan \(2, 4, 6, 8, . . .\) dan hitunglah jumlah \(50\) suku pertama!

Jawab:
Diketahui \(a=2, b=2\) dan \(n=50\)

\(U_n = a + (n-1)b\)

\(U_{50} = 2 + (50-1) 2\)

\(U_{50} = 2 + (49) 2\)

\(U_{50} = 2 + 98\)

\(U_{50} = 100\)

Jadi suku ke \(50\) adalah \(100\)

\(S_n = \frac{n}{2} (a + U_n)\)

\(S_{50} = \frac{50}{2} (2 + 100)\)

\(S_{50} = 25 \times 102\)

\(S_{50} = 2550\)

Jadi jumlah \(50\) suku barisan aritmatika diatas adalah \(2250\)

2). Tentukan jumlah \(31\) suku pertama dari \(1, 3, 5, 7, . . .\)

Jawab:

Diketahui \(a=1, b=3-1=2, n=31\)

\(S_n = \frac{n}{2} \left[ 2a + (n-1)b \right]\)

\(S_n = \frac{31}{2} \left[ 2 (1) + (31-1) 2 \right]\)

\(S_n = \frac{31}{2} \left[ 2 + (30) 2 \right]\)

\(S_n = \frac{31}{2} \left[ 2 + 60 \right]\)

\(S_n = \frac{31}{2} \left[ 62 \right]\)

\(S_n = 31 \times 31\)

\(S_n = 961\)

3). Diketahui suatu barisan aritmatika yang terdiri dari \(11\) suku dengan suku tengahnya adalah \(34\). Tentukan jumlah \(11\) suku pertama tersebut!

Jawab:

Diketahui \(n = 11, U_t = 34\)

\(S_n = n \times U_t\)

\(S_n = 11 \times 34\)

\(S_n = 374\)

Gimana, mudah kan?
Masih ada bentuk lain dari pengembangan rumus deret aritmatika, hubungan ini dinamakan hubungan rekursif \(U_n\) terhadap \(S_n\). Berikut adalah pembuktian rumus hubungan Un dan Sn.

4). Jika jumlah \(n\) suku pertama barisan aritmatika \(S_n = \frac{n}{2} \left( 2n-10 \right)\), tentukanlah! (a). Beda (b). Suku ke-n

(c). Suku ke-10

Kalau Kamu berpikir rumus matematika adalah hasil penemuan orang-orang yang berpendidikan tinggi saja, itu tidak sepenuhnya benar. Saya pernah mendengar dari guru saya yang mengatakan bahwa ada siswa sekolah dasar yang menemukan sebuah rumus matematika. Siswa sekolah dasar tersebut berkontribusi dalam menemukan rumus deret aritmatika. Ceritanya, guru dari siswa tersebut pernah memberikan tugas kepada siswa-siswa di kelasnya untuk menyelesaikan soal hitungan berikut.

1 + 2 + 3 + ... + 100

Guru tersebut memberikan tugas untuk mengisi kegiatan siswa pada saat dia ada keperluan ke luar kelas. Betapa kagetnya guru tersebut ketika ada seorang siswa yang bisa menyelesaikan soal yang diberikan dengan cara yang tidak biasa. Siswa tersebut memisalkan hasil penjumlahan sebagai sebuah peubah dan menggunakan sifat komutatif operasi penjumlahan dengan membalik urutan penjumlahan dari 100 menuju 1. Kemudian menjumlahkan kedua bentuk pemisalan. Dari cara tersebut diperoleh penjumlahan berulang bilangan 101 sebanyak 100 kali. Kira-kira jawabannya sebagai berikut.

S = 1 + 2 + 3 + ... + 100 S = 100 + 99 + 98 + ... + 1

2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101

Penjumlahan berulangan bilangan 101 sebanyak 100 kali di atas bisa disederhanakan sebagai operasi perkalian bilangan 100 dengan 101, sehingga dapat ditulis sebagai berikut.

2S = 100 x 101 2S = 10100 S = 10100/2

S = 5050

Penyelesaian soal di atas adalah salah satu contoh penyelesaian deret aritmatika, karena suku-suku yang dijumlahkan merupakan barisan aritmatika. Dari proses penyelesaian di atas, kita bisa memperoleh rumus untuk deret aritmatika yang lebih umum lagi.

Pengertian deret aritmatika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmatika. Rumus umum barisan aritmatika untuk suku ke-n dengan suku pertama a dan beda b adalah sebagai berikut.

Un = a + (n - 1)b

Barisan aritmatika untuk n suku pertama dapat ditulis sebagai berikut.

U1, U2, U3, ..., Un
a, a + b, a + 2b, a + (n - 1)b

Dengan menggunakan cara sebelumnya, kita misalkan jumlah n suku pertama barisan aritmatika di atas sebagai Sn.

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + [a + (n - 1)b]

Kita balik urutan dari Sn yang asalnya dari U1 menuju Un menjadi penjumlahan suku-suku dari Un menuju U1 sebagai berikut.

Sn = [a + (n - 1)b] + [a + (n - 2)b] + [a + (n - 3)b] + ... + a

Jika kedua bentuk Sn di atas dijumlahkan, kita akan memperoleh hasil sebagai berikut.

Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + [a + (n - 1)b] Sn = [a + (n - 1)b] + [a + (n - 2)b] + [a + (n - 3)b] + ... + a

2Sn = [2a + (n - 1)b] + [2a + (n - 1)b] + [2a + (n - 1)b] + ... + [2a + (n - 1)b]

Bentuk terakhir di atas merupakan penjumlahan berulang suku [2a + (n - 1)b] sebanyak n kali. Ini sama artinya dengan perkalian [2a + (n - 1)b] dengan n.

2Sn = n[2a + (n - 1)b]

Karena kita hanya memerlukan Sn saja sesuai dengan pemisalan di awal, berarti bilangan 2 yang menjadi koefisien Sn menjadi pembagi untuk bentuk pada ruas kanan sebagai berikut.

Sn = n/2[2a + (n - 1)b]

Dari rumus tersebut, kita masih bisa mengubahnya ke bentuk lain. Coba perhatikan bentuk berikut.

Sn = n[a + {a + (n - 1)b}]

Rumus yang terdapat dalam kurung kurawal adalah rumus suku ke-n barisan aritmatika, sehingga kita memperoleh rumus berikut ini.

Sn = n/2[a + Un]

Rumus pertama digunakan untuk mencari deret aritmatika jika diketahui suku pertama dan beda barisan aritmatikanya. Sedangkan rumus kedua digunakan untuk mencari deret aritmatika jika diketahui suku pertama dan suku ke-n barisan aritmatikanya.

Sekian pembahasan mengenai bukti rumus deret aritmatika. :-)

Oleh OpanDibuat 24/07/2013

Seorang guru matematika yang hobi menulis tiga bahasa, yaitu bahasa indonesia, matematika, dan php. Dari ketiganya terwujudlah website ini sebagai sarana berbagi pengetahuan yang dimiliki.

koordinat kutub suatu titik​

Jarak koa A dan kota Z pada peta adalah 3,4 cm. Skala peta menunjukan 1:5000.000. Jarak kora A dan kota Z sebenarnya adalah

diketahui titik A(-1,2,-3), B(3,-4,-1) dan C(1,p,q) jika a,b, dan c segaris tentukan nilai p dan q!no oot ya.​

tolong jawab kak. Seorang pilot helikopter yang berada pada ketinggian 1200 meter melihat dua kapal laut yang sedang berlayar dalam posisi garis luru … s. Sudut - sudut depresi kapal laut itu dari helicopter adalah 60° dan 45º. Hitunglah jarak antara kedua kapal laut itu ... m​

hasil dari 3√2+4√8-√18​

cara menghitung sudut​

Sebuah Segitiga ABC, dengan panjang AC = 10 cm, sudut ABC = 450, dan sudut BAC = 300,panjang garis tinggi yang ditarik dari titik C adalah …. tolong d … i jawab kak​

Sebuah Segitiga ABC, dengan panjang AC = 10 cm, sudut ABC = 450, dan sudut BAC = 300,panjang garis tinggi yang ditarik dari titik C adalah ….​

"Waktu nya quiz" 34×34 = 66×56 = 13×56 = Note : Eummm

tentukan f'(x), fungsi berikut:[tex]f(x) = \sqrt{x} - 2 {x}^{ - 2} = ...[/tex][tex]f(x) = \frac{2}{ {x}^{3} } - 4 {x}^{4} + 1 = ...[/tex][tex]f( … x) = 5 {x}^{4} - 2 {x}^{ - 2} = ...[/tex][tex]f(x) = \sqrt[3]{(2x - 3 {)}^{4} } = ...[/tex]ty​