Considere os algarismos 1 2 3 4 5 6 7 8 e 9 quantos números
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2 um edifício possui duas portas de entrada e três elevadores. De quantas maneiras uma pessoa pode chegar ao 10o andar? 3 considere os algarismos 2, 4 e 6. A) quantos são os números de três algarismos que podemos formar com esses algarismos? Considere todos os números de cinco algarismos distintos pela permutação dos algarismos 4,5,6,7,8. escolhendo um desses, ao acaso, a probabilidade de ele ser um número impar é: A) 1 b)1/2 c)2/5 d)1/4 e)1/5. Matemática | combinatória | análise combinatória. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par? Algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 5, 7 e 9? 11) quantos números de 5 algarismos distintos há em nosso sistema de numeração? considere todos os números formados por seis algarismos distintos Qual a quantidade de números inteiros compreendidos entre 30. 000 e 65. 000 que podemos formar utilizando somente os algarismos 2, 3, 4, 6 e 7, de modo que não figurem Considere os números de 3 algarismos formados com os dígitos 2, 3, 5,8 (a) quantos são estes números? Portanto, o número total destes números é ar: Questão tirada da segunda prova da eear de 2015 envolvendo o pfc , assunto muito importante quando se fala de análise combinatória. Chegamos nessa equação do primeiro grau e temos que atentar para o seguinte: A está variando de 1 até 9 e b está variando de 0 até 9. Além disso, eles são números naturais, então, o que iremos fazer é aplicar os valores de 1 até 9 em a para encontrarmos quais irão gerar um b como número natural, aquele que não for natural descartaremos. 3) o menor número de 6 algarismos do item (a) que começa com o algarismo 5 é o próprio 512346. 4) escrevendo os números do item (a) em ordem crescente, a posição ocupada pelo número 512346 é a 481ª. 5) existem 240 números cujo primeiro algarismo é 1 ou 2.
- Considere os números de 3 algarismos distintos formados com os dígitos 2,3,5,8, e 9 Você sabe que existem 9 números de um algarismo, 90 números de dois algarismos, 900 números de três algarismos, etc. Considere agora cada número cujo último algarismos à. A) 60 b) 120 c) 240 d) 40 e) 80 07. Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, e 6. CONSIDERE TODOS OS NUMEROS FORMADOS POR 6 ALGARISMOS - PERMUTAÇÃO SIMPLES Olá pessoal! Antes de mais nada, não esquece de se inscrever em nosso canal! Vamos lá! Mais um exercicio de analise combinatoria. Permutação Simples. Nesse video podemos ver como utilizar a permutação simples para determinar a posição de um numero, quando permutamos seus algarismos. Espero que entendam a explicação. Obrigado por ter assistido! prof. Cacá aprendiz.net.br ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1. b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242ª posição. A partir deles, podem ser criados _____ números pares de quatro algarismos distintos. C) quantos números de sete algarismos distintos que iniciem com 3 e terminem com 8 podemos escrever? D) quantos números de sete algarismos distintos podemos escrever com os algarismos 5 e 6 ver respostas (2) 17) joãozinho coleciona números naturais cujo algarismo das unidades é a soma dos outros algarismos. Por exemplo, ele colecionou 10023, pois 1 + 0 + 0 + 2 = 3. A) ao se retirar dois desses números, com reposição, sair um numero par. B) ao se retirar dois desses numeros, sem reposição, sair um numero ímpar. Clique aqui 👆 para ter uma resposta para sua pergunta ️ considere os algarismos: A) quantos sao os numeros de tres algarismos que podemos formar com e… lidiavitorina lidiavitorina 26. 07. 2016. A probabilidade de sair dois números pares é 3/12.
anagramas da palavra CADERNO
com as restrições impostas pelo enunciado.
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Observe agora esse exemplo:
Quantos números de 6 algarismos se pode formar a partir dos algarismos do número 1233145254 de modo que não haja
dois algarismos iguais juntos?
Em um número de seis algarismos podem figurar 1, 2 ou 3 pares de algarismos iguais. Assim, vamos separar esse
problema em 3 casos:
i) Um par de algarismos iguais e outros 4 algarismos distintos:
Um par se pode escolher de C5,1 modos. O número de permutações de 4 algarismos distintos e 2 iguais é igual a P
2 6 =
6!/2! = 360. Entre elas, temos 5! = 120 permutações em que os algarismos iguais estão juntos. Logo, temos C5,1.(360 –
120) = 1200 números.
ii) Dois pares de algarismos iguais e outros 2 algarismos distintos:
Dois pares de algarismos iguais podem ser escolhidos de C5,2 = 10 modos, assim temos C3,2 = 3 modos para
escolher os outros 2 algarismos. O total de permutações desses algarismos é P2,2 6 = 6!/2!.2! = 180, sendo que em 2.5!/2!
= 120 dessas permutações temos, ao menos, um par de algarismos juntos e em 4! = 24 casos temos 2 pares. Em virtude
da fórmula da união entre dois conjuntos, segue que temos 10 . 3 . (180 – 20 + 24) = 2520 números.
iii) Três pares de algarismos iguais:
Analogamente, temos C5,3 . (6!/(2!)3 – 3.5/(2!)2 + 3.4!/2! – 3!) = 300 números. (Pense nesse caso e tente visualizar o
Princípio da Inclusão – Exclusão).
Portanto, de (i), (ii) e (iii) obtemos 4020 números.
Módulo 6 – Permutações Caóticas
De quantas formas podemos permutar os algarismos do número 1234 de modo que nenhum número ocupe sua
posição inicial?
Podemos observar que o número 2341 satisfaz o enunciado, mas o número 2431 não, pois o 3 ocupa a posição
inicial.
Inicialmente, definiremos os conjuntos:
A1: conjunto cujos elementos são as permutações do número 1234 que têm o algarismo 1 em 1º lugar
A2: conjunto cujos elementos são as permutações do número 1234 que têm o algarismo 2 em 2º lugar
A3: conjunto cujos elementos são as permutações do número 1234 que têm o algarismo 3 em 3º lugar
A4: conjunto cujos elementos são as permutações do número 1234 que têm o algarismo 4 em 4º lugar
Precisamos determinar n(A1 U A2 U A3 U A4), pois de todas as permutações possíveis pra esse número (4!)
devemos excluir aquelas que têm 1 em 1º lugar, ou 2 em 2º lugar, ou 3 em 3° lugar ou 4 em 4º lugar. Assim, devemos
determinar o valor de 4! – n(A1 U A2 U A3 U A4). Temos:
n(A1) = n(A2) = n(A3) = n(A4) = P3 = 3! = 6 (fixar um algarismo e permutar os 3 demais)
n(A1 ∩ A2) = n(A1 ∩ A3) = n(A1 ∩ A4) = n(A2 ∩ A3) = n(A2 ∩ A4) = n(A3 ∩ A4) = P2 = 2! = 2 (fixar dois
algarismos e permutar os demais 2)
n(A1 ∩ A2 ∩ A3) = n(A1 ∩ A2 ∩ A4) = n(A1 ∩ A3 ∩ A4) = n(A2 ∩ A3 ∩ A4) = P1 = 1! = 1 (fixar três algarismos)
n(A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) = 1(fixar 4 algarismos)
Pelo Princípio da Inclusão – Exclusão, temos:
n(A1 U A2 U A3 U A4) = 4 . 6 – 6 . 2 + 4 . 1 – 1 = 15. Logo, temos 4! – 15 = 24 – 15 = 9 possíveis números que
satisfazem a condição imposta pelo enunciado.
A saber, as permutações caóticas do número 1234 são:
2143, 2341, 2413, 3142, 3412, 3421, 4123, 4312, 4321
Uma permutação de n elementos é dita caótica (ou desordenada) quando nenhum de seus elementos está na
posição inicial. Podemos e iremos trabalhar com as permutações caóticas como sendo nada mais do que um caso do
Princípio da Inclusão – Exclusão, como ocorreu no exemplo anterior, onde resolvemos um problema típico de
permutação caótica usando o raciocínio do Princípio da Inclusão – Exclusão.
O número de Permutações Caóticas de (1, 2, 3, ..., n) é dado por:
Kn = n!.[1/0! – 1/1! + 1/2! – 1/3! + ... + (– 1)n/n!]
Com isso, a solução do exemplo anterior fica assim:
K4 = 4!.(1/0! – 1/1! + 1/2! – 1/3! + 1/4!) = 24.(1 – 1 + 1/2 – 1/6 + 1/24) = 9.
IMPORTANTE: Kn é o inteiro mais próximo de n!/e.
Módulo 7 – Todas as questões de Análise Combinatória que apareceram no vestibular do IME
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1. (52–53) Num congresso há 102 representantes do partido A e 81 representantes do partido B. Para uma determinada
sessão , foram convocados 99 elementos do partido A e 79 do partido B. De quantas maneiras poderia ter sido efetuada
tal convocação?
2. (64–65) Dados 20 pontos do espaço, dos quais não existem 4 coplanares, quantos planos ficam definidos?
3. (66–67) De quantas maneiras 3 rapazes e 2 moças podem ocupar 7 cadeiras em fila, de modo que as moças sentem
juntas umas das outras, e os rapazes juntos uns dos outros?
4. (70–71) 5 rapazes e 5 moças devem posar para uma fotografia, ocupando 5 degraus de uma escadaria, de forma de
cada degrau fique um rapaz e uma moça. De quantas maneiras diferentes podemos arrumar este grupo?
5. (72–73) Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5. Uma das permutações possíveis desses algarismos origina o número
42351. Determine a soma dos números formados, quando os algarismos são permutados de todos os modos possíveis.
6. (77–78) Mostre que, em toda reunião constituída de 6 pessoas, uma das hipóteses necessariamente ocorre (podendo
ocorrem ambas):
I) Existem 3 pessoas que se conhecem mutuamente (isto é, das 3 cada duas se conhecem).
II) Existem 3 pessoas que se desconhecem mutuamente (isto é, das 3 cada duas se desconhecem).
7. (78–79) Um elevador com 7 pessoas partem do andar térreo de um prédio e faz 4 paradas em andares diferentes,
determinar de quantas maneiras diferentes, todas aquelas 7 pessoas podem desembarcar até a 4ª parada, inclusive.
8. (79–80) Seja um barco com 8 lugares, numerados como no diagrama seguinte:
Há 8 remadores disponíveis para guarnecê-lo, com as seguintes restrições: Os remadores A e B só podem sentar no lado
ímpar e o remador C, no lado par. Os remadores D, E, F, G, H podem ocupar quaisquer posições. Quantas
configurações podem ser obtidas com o barco totalmente guarnecido?
9. (80–81) O professor Sah Bido quer oferecer jantares para 3 alunos de cada vez. O professor tem 7 alunos e quer
oferecer 7 jantares, com a restrição de que um mesmo par de alunos não pode ser convidado para mais de um jantar, isto
é, se os alunos A, B e C comparecerem a um jantar, então a presença do aluno A, por exemplo, em outro jantar,
impedirá a presença de C ou de B, neste jantar. Chamando-se de programa a um conjunto de 7 jantares nas condições
especificadas, pergunta-se: quantos programas diferentes poderão ser formados?
10. (81–82) Deseja-se transmitir sinais luminosos de um farol, representado pela figura abaixo. Em cada um dos seis
pontos de luz do farol existem uma lâmpada branca e uma vermelha. Sabe-se que em cada ponto de luz não pode haver
mais de uma lâmpada acesa e que pelo menos três pontos de luz devem ficar iluminados. Determine o número total de
configurações que podem ser obtidas.
11. (82–83) Uma rua possui um estacionamento em fila com N vagas demarcadas junto ao meio-fio de um dos lados. N
automóveis, numerados de 1 a N, devem ser acomodados, sucessivamente, pela ordem numérica no estacionamento.
Cada carro deve justapor-se a outro já estacionado, ou seja, uma vez estacionado o carro 1 em qualquer uma das vagas,
os seguintes se vão colocando imediatamente à frente do carro mais avançado ou atrás do mais recuado. Quantas
configurações distintas podem ser obtidas desta maneira? A figura abaixo mostra uma das disposições possíveis.
12. (84–85) Um exame vestibular se constitui de 10 provas distintas, 3 das quais da área de Matemática. Determine de
quantas formas é possível programar a seqüência das 10 provas, de maneira que duas provas da área de Matemática não
se sucedam.
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13. (85–86) 12 cavaleiros estão sentados em torno de uma mesa redonda. Cada um dos 12 cavaleiros considera seus
vizinhos como rivais. Deseja-se formar um grupo de cinco cavaleiros para libertar uma princesa. Exercicios de Análise Combinatória Na página Análise Combinatória, você encontra a teoria necessária para resolver os exercícios aqui propostos, sendo que alguns deles possuem resposta ou alguma ajuda. Nem sempre os exercícios aparecem em ordem de dificuldade crescente.
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