Contoh soal dalam kehidupan sehari hari yang berkaitan dengan kombinasi

Tujuan dari pembelajaran matematika kali ini adalah agar kita terbiasa memecahkan latihan soal permutasi dan latihan soal kombinasi. Tentunya tanpa kita sadari kita pernah menerapkan sistem permutasi atau kombinasi ketika membentuk suatu kepanatiaan yang terdiri dari beberapa orang. Banyaknya cara yang dapat kita lakukan bergantung pada sistem yang hendak kita buat, apakah kita mau menerapkan sistem permutasi dan sistem kombinasi. Untuk itu sebelum kita memasuki latihan soal, terlebih dahulu kita akan coba memahami tentang apa perbedaan permutasi dan kombinasi. Permutasi adalah suatu metode untuk mendapatkan banyaknya cara dalam menyusun beberapa objek dari suatu grup dengan memperhatikan urutan.

Agar lebih jelas, coba perhatikan contoh di bawah ini, misalkan kita ingin menyusun banyaknya cara yang dapat kita lakukan dalam menyusun sekumpulan objek yang terdiri dari karakter "abcd" secara permutasi adalah sebagai berikut :

abcd abdc acbd acdb adbc adcb bacd badc bcad bcda bdac bdca cabd cadb cbad cbda cdab cdba dabc dacb dbac dbca dcab dcba
Dari model penyusunan di atas dapat kita ketahui bahwa terdapat kesamaan objek antara satu grup dengan grup lainnya. Misal, grup "bacd" memiliki ojek yang sama dengan group-group lainnya. Obje-obbjek dalam group tersebut hanya berbeda urutannya. Inilah yang kita maksud dengan "memperhatikan urutan".

Rumus Permutasi dari sebuah himpunan yang mempunyai elemen sebanyak n , banyaknya permutasi dengan ukuran [permutasi dengan jumlah elemen] r dirumuskan sebagai berikut :

Contoh :

• P[6,3]= = = 120

Jika seandainya terdapat n1 anggota jenis 1 yang sama, n2 anggota jenis 2 yang sama, dst, maka rumus Permutasi yang kita gunakan adalah sebagai berikut:

P[n;n1,n2,...nk] =

n! / n1!.n2!....nk!

Kombinasi adalah suatu metode untuk mendapatkan banyaknya cara dalam menyusun beberapa objek dari suatu grup tanpa memperhatikan urutan. Jelas disini terlihat perbedaan dengan "Permutasi", jika "Permutasi" memperhatikan urutan sedangkan "Kombinasi" tidak memperhatikan urutan.

Agar lebih jelas pemahaman tentang Kombinasi, mari kita lihat contohnya. Jika kita ingin menyusun berapa banyaknya cara memilih dua huruf dari huruf-huruf a, b, c. Maka kita dapatkan banyaknya cara dengan konsep Kombinasi sebagai berikut :

ab, ac, bc Kalo kita menggunakan prinsip Permutasi, maka kita dapatkan banyaknya cara sebagai berikut : ab, ac, bc, ba, ca, cb Nah sekarang sudah jelas tentang konsep Kombinasi dengan konsep Permutasi. Untuk rumus Kombinasi sendiri, secara matematis kita tuliskan sebagai berikut:

C[n,k] =

n! / [n - k]!.k!

Soal No.1 Nilai permutasi dari P[7,2] adalah..... A. 120 B. 80 C. 42 D. 100

Pembahasan

P[7,2]=

7! / [7 - 2]!

=

7.6.5.4.3.2.1 / 5.4.3.2.1

= 42

Jawab : C

Soal No.2

Nilai permutasi dari kata-kata "JAYAPURA" adalah .... A. 6720 B. 1280 C. 4112 D. 1700

Pembahasan

Kata-kata "JAYAPURA" mengandung :

• Suku kata sebanyak 8 buah , n = 8
• Huruf A yang berulang sebanyak 3 kali, r = 3

Rumus permutasi jika terdapat n1 anggota jenis 1 yang sama, n2 anggota jenis 2 yang sama, dst adalah sebagai berikut:

P[n;n1,n2,...nk] =

n! / n1!.n2!....nk!

Maka permutasinya adalah :

P[8,3]=

8! / 3!

=

8.7.6.5.4.3.2.1 / 3.2.1

= 6720

Jawab : A

Soal No.3

Hitunglah banyaknya cara dalam menyusun urutan huruf-huruf dari kata “KATAKKU” ?

Pembahasan

Kalimat dari "KATAKKU" terdiri dari :

• Huruf K ada 3 maka n1 = 3
• Huruf A ada 2 maka n2 = 2
• Huruf T ada 1 maka n3 = 1
• Huruf U ada 1 maka n4 = 1

Dengan demikian, kita akan gunakan rumus permutasi :

P[n;n1,n2,...nk] =

n! / n1!.n2!....nk!

P[7;3,2,1,1] =

7! / 3! . 2! . 1! . 1!

P[7;3,2,1,1] =

7 . 6 . 5 . 4 . 3! / 3! . 2!

P[7;3,2,1,1] =

7 . 6 . 5 . 4 / 2 . 1

= 420

Jadi terdapat sebanyak 420 cara dalam menyusun urutan huruf-huruf dari kata “KATAKKU”

Soal No.4

Tentukan banyak cara untuk menyusun suatu susunan presiden dan wakil presiden jika terdapat enam calon.

Pembahasan

Dari soal tersebut, kita dapat merumuskan bahwa masalah tersebut adalah permutasi 2 objek dari 6 objek. Sehingga permutasinya adalah :
P[6,2]=

6! / [6-2]!

P[6,2]=

6.5.4.3.2.1 / 4.3.2.1

= 30

Jadi ada 30 cara untuk menyusun presiden dan wakil presiden jika ada enam calon

Soal No.5

Jika terdapat suatu kelompok terdiri dari empat orang [A, B, C dan D]. Dari keempat orang tersebut akan dipilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?

Pembahasan

Persoalan di atas merupakan masalah permutasi. Dengan demikian banyaknya cara adalah :
P[4,2]=

4! / [4-2]!

P[4,2]=

4.3.2.1 / 2.1

= 12 cara

Jadi ada sebanyak 12 cara dalam memilih ketua kelompok dan wakil ketua kelompok dari empat orang.

Soal No.6

Pada suatu perlombaan balap sepeda yang terdiri dari 7 orang akan diambil 3 orang sebagai juara yaitu : juara I, juara II dan juara III. Carilah berapa banyaknya carau untuk menyusun susunan juara yang mungkin terjadi ?

Pembahasan

P[7,3]=

7! / [7-3]!

P[7,3]=

7.6.5.4! / 4!

= 210 cara

Terdapat 210 cara untuk memilih juara I, juara II dan juara III dari peserta 7 orang yang mengikuti balap sepeda

Soal No.7

Nilai kombinasi dari C[10,4] adalah .... A. 210 B. 120 C. 110 D. 320

Pembahasan

C[10,4]=

10! / [10 - 4]!.4!

=

10.9.8.7.6! / 6!.4.3.2.1

=

5040 / 24

= 210

Jawab : A

Soal No.8 Jika dalam sebuah kantong terdapat 7 buah kelereng. Maka banyaknya cara dalam mengambil 4 kelereng dari kantong tersebut adalah....? A. 35 B. 12 C. 11 D. 32

Pembahasan

Soal di atas adalah kombinasi, karena kita tidak mengabaikan masalah urutan. Maka banyaknya cara adalah :
C[7,4]=

7! / [7 - 4]!.4!

C[7,4]=

7.6.5.4.3! / 3!.4.3.2.1

= 35 cara

Jawab : A

Soal No.9

Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.

Pembahasan

Soal tersebut merupakan kombinasi, karena tidak memperhatikan urutan. Dengan demikian banyaknya cara adalah :
C[4,3]=

4! / [4 - 3]!.3!

C[7,4]=

4.3! / 1.3!

= 4 kombinasi

Jadi terdapat 4 kombinasi dalam mencampur 3 warna yang berbeda dari empat warna yang tersedia.

Soal No.10

Dalam suatu acara arisan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang mungkin terjadi ?

Pembahasan

Soal tersebut merupakan kombinasi, karena tidak memperhatikan urutan. Dengan demikian banyaknya cara adalah :
C[10,2]=

10! / [10 - 2]!.2!

C[10,2]=

10.9.8! / 8!.2.1

= 45 jabat tangan