Teori peluang merupakan bagian penting dalam matematika yang mempelajari ukuran kemungkinan terjadinya suatu peristiwa dengan menganalisisnya secara numerik, sedangkan kombinatorika mempelajari tentang banyaknya cara menyusun sekumpulan objek.
Keduanya melibatkan konsep permutasi dan kombinasi. Kali ini, kita tidak membahas secara rinci tentang konsep tersebut. Pembaca diharapkan sudah mempelajari teori tentang kedua konsep tersebut dan sudah siap untuk mengerjakan soal-soal terkait dengannya.
Terkhusus untuk soal uraian, penulis dengan sengaja membuat beberapa subsoal (soal beranak) agar pembaca dapat memahami suatu kasus secara komplit melalui pemberian syarat-syarat tertentu. Hal ini didasari dari pengalaman penulis bahwa terkadang para pelajar tidak dapat menyelesaikan soal tertentu ketika soalnya dimodifikasi. Sebagai contoh untuk modifikasi itu, cara menyusun kata MATA: untuk subsoal pertama, penyusunannya tanpa syarat, sedangkan untuk subsoal kedua, penyusunannya diberikan syarat bahwa huruf A harus saling berdampingan.
Dari sini, pembaca diharapkan dapat lebih paham menyelesaikan masalah terkait materi yang bersangkutan. Semua soal di sini juga telah diberikan pembahasannya secara lengkap sehingga dapat dijadikan referensi untuk belajar. Meskipun begitu, tidak menutup kemungkinan terdapat bagian dari pembahasan tentang materi peluang ini yang kurang jelas/kurang dapat dimengerti oleh pembaca. Sejujurnya menurut penulis, materi peluang memang lebih gampangnya dijelaskan secara lisan (bukan melalui tulisan).
Oleh karena itu, silakan sampaikan bila ada hal-hal yang kurang jelas atau mungkin bila pembaca memiliki soal-soal tentang materi ini, semuanya dapat disampaikan melalui kolom komentar pos di bawah. Bila soalnya unik dari soal yang ada, penulis akan tambahkan secara langsung pada pos ini. Satu lagi, soal juga dapat diunduh dalam format PDF melalui tautan berikut: Download (PDF, 233 KB).
Today Quote
Ilmuku adalah ibadahku, bukan rezekiku.
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Peluang (Tingkat SMP/Sederajat)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Kombinatorika (Tingkat Lanjut)
Bagian Pilihan Ganda
Soal Nomor 1
Bu Erna yang tinggal di Jakarta ingin pergi ke Eropa via Turki. Rute dari Jakarta ke Turki ada 5 rute penerbangan. Rute dari Turki ke Eropa ada 6 rute penerbangan. Banyak semua pilihan rute penerbangan dari Jakarta ke Eropa pergi pulang jika tidak boleh melalui rute yang sama adalah $\cdots \cdot$
A. $900$ D. $600$
B. $800$ E. $460$
C. $700$
Fase pergi:
Jakarta ke Turki $\Rightarrow$ 5 rute.
Turki ke Eropa $\Rightarrow$ 6 rute.
Fase pulang:
Eropa ke Turki $\Rightarrow$ 5 rute.
Turki ke Jakarta $\Rightarrow$ 4 rute.
Dengan menggunakan aturan perkalian, banyak pilihan rute penerbangan pergi pulang adalah $\boxed{5 \times 6 \times 5 \times 4 = 600}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 2
Seorang murid diminta mengerjakan $8$ soal dari $18$ soal dengan ketentuan nomor $1$ sampai $5$ harus dikerjakan. Banyak pilihan soal yang dapat dipilih adalah $\cdots \cdot$
A. $1.716$ D. $286$
B. $816$ E. $56$
C. $626$
Dari ketentuan tersebut, murid itu hanya tinggal memilih $3$ soal lain dari $18-5 = 13$ soal yang ada karena $5$ soal telah ditetapkan untuk dikerjakan.
Pemilihan soal-soal tersebut bila dibolak-balik akan dianggap sama (misalnya, murid pilih nomor $8$, $13$, dan $18$, sama saja dengan dia memilih nomor $18$, $13$, dan $8$). Untuk itu, kita gunakan prinsip kombinasi.
$\begin{aligned} C^{13}_3 & = \dfrac{13!}{10! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{13 \times \cancelto{2}{12} \times 11 \times \bcancel{10!}}{\bcancel{10!} \times \cancel{6}} \\ & = 13 \times 2 \times 11 = 286 \end{aligned}$
Jadi, banyak pilihan soal yang dapat dipilih adalah $\boxed{286}$
(Jawaban D)
Baca Juga: Soal dan Pembahasan – Faktorial
Soal Nomor 3
Pada suatu toko buah yang menjual jeruk, mangga, dan pisang. Wawa ingin membeli $20$ buah pada toko tersebut. Jika Wawa ingin membeli paling sedikit masing-masing $5$ buah, maka banyak komposisi buah yang mungkin dapat dibeli adalah $\cdots \cdot$
A. $12$ C. $18$ E. $24$
B. $15$ D. $21$
Berdasarkan ketentuan, Wawa wajib membeli $5$ buah jeruk, $5$ buah mangga, dan $5$ buah pisang. Ini artinya, dari $20$ buah yang diinginkan, ia masih dapat memilih $5$ buah yang lain.
Untuk buah ke-$16$ sampai $20$ (ada $5$ buah), masing-masing dapat dipilih $3$ jenis buah tanpa syarat. Jadi, kita diminta untuk memilih $5$ buah dari $3$ jenis buah berbeda. Dengan kata lain, kasus ini termasuk kasus kombinasi berulang (kombinasi, karena pengambilan buah secara tidak berurutan dianggap kasus yang sama; berulang, karena buah yang dipilih dapat dipilih lagi untuk jenis yang sama). Untuk $n = 3$ dan $r = 5$, diperoleh
$$\begin{aligned} \displaystyle \binom{n+r-1}{r} & = \binom{3+5-1}{5} \\ & = \binom{7}{5} \\ & = \dfrac{7!}{2! \cdot 5!} \\ & = \dfrac{7 \times 6 \times \cancel{5!}}{2 \cdot \cancel{5!}} = 21 \end{aligned}$$Jadi, ada 21 komposisi buah yang mungkin dapat dibeli.
(Jawaban D)
Soal Nomor 4
Karena keterbatasan dana, Kristy hanya dapat mengundang $10$ dari $15$ orang temannya dalam rangka perayaan ulang tahun. Di antara mereka, ada teman karibnya bernama Budi, Candra, Sandra, Susan, dan Dewi. Kristy memutuskan bahwa Candra dan Dewi harus diundang. Sandra dan Susan dipastikan tidak bisa memenuhi undangan karena sedang sakit. Banyaknya cara mengundang teman-temannya adalah $\cdots \cdot$
A. $303$ C. $196$ E. $120$
B. $286$ D. $165$
Dari $15$ orang, $2$ orang sudah pasti terpilih (tersisa $13$ pilihan untuk dipilih $8$ orang).
Dari $13$ orang yang ada, $2$ orang tidak dapat hadir sehingga tersisa $11$ pilihan saja.
Jadi, kita menghitung banyak cara memilih $8$ orang dari $11$ orang yang ada.
Kasus ini merupakan kasus kombinasi karena tidak memperhatikan urutan pemilihan orang. Untuk itu, diperoleh
$\begin{aligned} C_8^{11} & = \dfrac{11!}{3! \cdot 8!} \\ & = \dfrac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{6 \cdot \cancel{8!}} \\ & = 165 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{165}$ cara berbeda mengundang teman-teman Kristy.
(Jawaban D)
Soal Nomor 5
Pada pelemparan sebuah dadu bias, peluang muncul angka $1$ adalah $1/3$ dari angka yang lain. Peluang muncul angka prima pada pelemparan dadu itu adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{5}{16}$ C. $\dfrac{7}{16}$ E. $\dfrac{9}{16}$
B. $\dfrac{6}{16}$ D. $\dfrac{8}{16}$
Dadu bias adalah dadu yang tidak setimbang.
Misalkan peluang kemunculan angka $2, 3, 4, 5, 6$ adalah $x$, berarti peluang kemunculan angka $1$ adalah $\dfrac13x$.
Karena peluang memiliki nilai maksimum $1$, maka kita peroleh
$$\begin{aligned} P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) & = 1 \\\dfrac13a +a+a+a+a+a & = 1 \\ \dfrac{16}{3}a & = 1 \\ a & = \dfrac{3}{16} \end{aligned}$$Bilangan prima yang mungkin muncul adalah $2, 3$, dan $5$ sehingga kita dapatkan
$$\begin{aligned} P(2)+P(3)+P(5) & = \dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} + \dfrac{3}{16} \\ & = \dfrac{9}{16} \end{aligned}$$Jadi, peluang munculnya angka prima adalah $\boxed{\dfrac{9}{16}}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 6
Dari angka $0, 1, 2, 3, 4$, dan $5$ akan dibentuk bilangan yang terdiri dari tiga angka. Banyaknya bilangan yang dapat dibentuk jika angka $2$ tidak boleh diulang adalah $\cdots \cdot$
A. $125$ D. $225$
B. $165$ E. $281$
C. $170$
Banyaknya bilangan tiga angka yang dibentuk dari angka $0, 1, 2, 3, 4$, dan $5$ serta boleh berulang adalah $5×6×6=180$.
Perhatikan bahwa posisi angka ratusan tidak boleh diisi oleh angka $0$ (non-leading zero).
Banyak bilangan tiga angka yang memuat dua angka $2$ dalam format: $22A$, $A$ diisi oleh $5$ angka lain dan ada $3$ total posisi (ratusan, puluhan, satuan) yang dapat ditempati oleh $A$ adalah $3 \times 5=15$. Perhatikan bahwa angka $0$ tidak boleh diisi di posisi ratusan sehingga $022$ harus diabaikan. Jadi, hanya ada $14$ bilangan yang terbentuk.
Banyaknya bilangan tiga angka yang ketiganya adalah angka $2$ jelas hanya ada $1$, yaitu $222$.
Dengan menggunakan prinsip komplemen, banyak bilangan tiga angka di mana angka $2$ tidak boleh diulang adalah $\boxed{180-14-1 = 165}$
(Jawaban B)
Soal Nomor 7
Di sebuah toko terdapat $5$ buku matematika, $4$ buku fisika, dan $3$ buku kimia yang dapat digunakan oleh siswa untuk belajar. Akan tetapi, siswa tersebut hanya boleh membeli $5$ buku. Bila ia memilih $2$ buku matematika, $2$ buku fisika, dan $1$ buku kimia, berapa cara siswa tersebut memilih $5$ buku yang dibeli?
A. $90$ C. $180$ E. $360$
B. $120$ D. $240$
Kasus memilih beberapa buku dari sekumpulan buku yang ada merupakan kasus kombinasi (misalkan A memilih buku 1 dan buku 2, sama saja dengan A memilih buku 2 dan buku 1).
Banyak cara memilih $2$ dari $5$ buku matematika adalah
$C_M = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} = 10.$
Banyak cara memilih $2$ dari $4$ buku fisika adalah
$C_F = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} = 6.$
Banyak cara memilih $1$ dari $3$ buku fisika adalah
$C_K = \dfrac{3!}{2! \cdot 1!} = 3.$
Banyak cara memilih $2$ buku matematika, $2$ buku fisika, dan $1$ buku kimia adalah
$C_M \times C_F \times C_K = 10 \times 6 \times 3 = 180.$
(Jawaban C)
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Peluang Binomial
Soal Nomor 8
Kata LOKI disusun dari huruf L, O, K, dan I. Bila disusun secara alfabetis (sesuai abjad), maka kata LOKI berada pada urutan ke-$\cdots \cdot$
A. $12$ C. $16$ E. $20$
B. $15$ D. $18$
Huruf sesuai abjad: I, K, L, O.
Misalkan ada empat kotak kosong.
${\large \square \square \square \square}$
Kotak pertama bisa diisi huruf I atau K (ada $2$), lalu $3$ huruf lainnya menyesuaikan masing-masing sebanyak $3! = 6$. Ini berarti, sudah ada $2 \times 6 = 12$ susunan kata yang terbentuk.
Sekarang: ${\large \text{L}~\square \square \square}$
Kotak kedua bisa diisi huruf I atau K, lalu $2$ huruf lainnya menyesuaikan masing-masing sebanyak $2! = 2$. Ini berarti, sudah ada $4$ susunan kata yang terbentuk.
Berikutnya: ${\large \text{L}~\text{O}~ \square \square}$
Kata berikutnya adalah LOIK (urutan ke-$17),$ lalu LOKI (urutan ke-$18$).
Jadi, LOKI berada pada urutan ke-$18$.
(Jawaban D)
Soal Nomor 9
Banyak bilangan $4$ angka dengan angka pertama $1$ dan tepat memiliki dua angka yang sama adalah $\cdots \cdot$
A. $72$ C. $288$ E. $432$
B. $144$ D. $360$
Kemungkinan bilangan yang dimaksud berbentuk: $11AB$, $1A1B$, $1AB1$, $1AAB$, $1ABA$, dan $1BAA$.
$A$ dan $B$ adalah angka yang berbeda dan tidak sama dengan $1$.
Untuk $A$, dapat diisi oleh $9$ angka.
Untuk $B$, dapat diisi oleh $8$ angka.
Untuk masing-masing bentuk, banyak bilangannya adalah $9 \times 8 = 72$.
Banyak bilangan $4$ angka yang dimaksud adalah $\boxed{6 \times 72 = 432}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 10
Banyaknya bilangan $6$ angka dengan digit di sebelah kiri selalu lebih kecil dari digit di sebelah kanannya adalah $\cdots \cdot$
A. $84$ D. $10!/3!$
B. $120$ E. $9!-6!$
C. $9!/3!$
Dari syarat tersebut, kita tahu bahwa semua digitnya harus berbeda.
Kasus ini sebenarnya sama saja dengan memilih $6$ angka dari $9$ angka yang ada ($0$ tidak boleh dipilih). Setiap susunan $6$ angka yang kita pilih secara sembarang, pasti terdapat tepat $1$ bilangan yang memenuhi kriteria.
Sebagai contoh, jika kita pilih $7,8,4,1,5,2$, maka diperoleh bilangan $6$ angka: $124578$.
Dengan menggunakan prinsip kombinasi, diperoleh banyak bilangannya, yakni
$\begin{aligned} C_6^9 & = \dfrac{9!}{3! \cdot 6!} \\ & = \dfrac{9 \times 8 \times 7 \times \cancel{6!}}{6 \cdot \cancel{6!}} = 84 \end{aligned}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 11
Berapa banyak permutasi dari kata MISSISSIPI?
A. $6.300$ D. $525$
B. $2.100$ E. $200$
C. $1.050$
MISSISSIPI terdiri dari $10$ huruf dengan huruf S muncul $4$ kali, huruf I muncul $4$ kali, dan M serta P muncul masing-masing sekali.
Banyaknya permutasi dari kesepuluh huruf tersebut ditentukan dengan menerapkan prinsip Permutasi Berulang, yaitu $\dfrac{n!}{k_1! \cdot k_2! \cdots k_m!}$ dengan $n$ menyatakan banyak huruf seluruhnya dan $k_i$ menyatakan banyaknya kemunculan huruf penyusunnya.
Dengan demikian, diperoleh
$$\begin{aligned} \dfrac{10!}{4! \cdot 4! \cdot 1! \cdot 1!} & = \dfrac{10 \cdot \cancelto{3}{9} \cdot \cancel{8} \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{\cancel{24} \cdot \cancel{4!}} \\ & = 6.300 \end{aligned}$$Jadi, ada $6.300$ permutasi dari kata MISSISSIPI.
(Jawaban A)
Soal Nomor 12
Kata MATEMATIKA disusun dari huruf M, A, T, E, M, A, T, I, K, dan A. Bila disusun secara alfabetis (sesuai abjad), maka kata MATEMATIKA berada pada urutan ke-$\cdots \cdot$
A. $97.662$ D. $98.122$
B. $98.002$ E. $99.262$
C. $98.122$
MATEMATIKA terdiri dari $10$ huruf yang meliputi $2$ huruf M, $3$ huruf A, $2$ huruf T, dan masing-masing $1$ huruf E, I, dan K.
Kita akan menyusun $10$ huruf ini secara alfabetis menggunakan prinsip Permutasi Berulang.
Susunan huruf: A _ _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $9$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{9!}{\underbrace{2!}_{A} \times \underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{M}} = 45.360.$
Susunan huruf: E _ _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $9$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{9!}{\underbrace{3!}_{A} \times \underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{M}} = 15.120.$
Susunan huruf: I _ _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $9$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{9!}{\underbrace{3!}_{A} \times \underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{M}} = 15.120.$
Susunan huruf: K _ _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $9$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{9!}{\underbrace{3!}_{A} \times \underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{M}} = 15.120.$
Susunan huruf: M A A _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{T} } = 2.520.$
Susunan huruf: M A E _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{A}} = 1.260.$
Susunan huruf: M A I _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{A}} = 1.260.$
Susunan huruf: M A K _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{A}} = 1.260.$
Susunan huruf: M A M _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{T} \times \underbrace{2!}_{A}} = 1.260.$
Susunan huruf: M A T A _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $6$ huruf lainnya adalah $6! = 720.$
Susunan huruf: M A T E A _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $5! = 120.$
Susunan huruf: M A T E I _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $\dfrac{5!}{\underbrace{2!}_{A}} = 60.$
Susunan huruf: M A T E K _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $\dfrac{5!}{\underbrace{2!}_{A}} = 60.$
Susunan huruf: M A T E M A A _ _ _
Banyak cara menyusun $3$ huruf lainnya adalah $3! = 6.$
Susunan huruf: M A T E M A I _ _ _
Banyak cara menyusun $3$ huruf lainnya adalah $3! = 6.$
Susunan huruf: M A T E M A K _ _ _
Banyak cara menyusun $3$ huruf lainnya adalah $3! = 6.$
Susunan huruf: M A T E M A T A _ _
Banyak cara menyusun $3$ huruf lainnya adalah $3! = 6.$
Susunan huruf: M A T E M A T I A K
Banyak cara susunan huruf adalah $1.$
Terakhir: M AT E M A T I K A
Urutan ke:
$45.360+3(15.120)+2.520+$ $4(1.260)+720+2(60)+$ $3(6)+2+1+1 = 97662.$
Jadi, kata MATEMATIKA berada pada urutan ke-$97662.$
(Jawaban A)
Soal Nomor 13
Kata INDONESIA disusun dari huruf I, N, D, O, N, E, S, I, dan A. Bila disusun secara alfabetis (sesuai abjad), maka kata INDONESIA berada pada urutan ke-$\cdots \cdot$
A. $30.524$ D. $41.604$
B. $31.524$ E. $42.224$
C. $32.188$
INDONESIA terdiri dari $9$ huruf yang meliputi $2$ huruf I, $2$ huruf N, dan masing-masing $1$ huruf D, O, E, S, dan A.
Kita akan menyusun $9$ huruf ini secara alfabetis menggunakan prinsip Permutasi Berulang.
Susunan huruf: A _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $8$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{8!}{\underbrace{2!}_{I} \times \underbrace{2!}_{N}} = 10.080.$
Susunan huruf: D _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $8$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{8!}{\underbrace{2!}_{I} \times \underbrace{2!}_{N}} = 10.080.$
Susunan huruf: E _ _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $8$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{8!}{\underbrace{2!}_{I} \times \underbrace{2!}_{N}} = 10.080.$
Susunan huruf: I A _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{N}} = 2.520.$
Susunan huruf: I D _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{N}} = 2.520.$
Susunan huruf: I E _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{N}} = 2.520.$
Susunan huruf: I I _ _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $7$ huruf lainnya adalah
$\dfrac{7!}{\underbrace{2!}_{N}} = 2.520.$
Susunan huruf: I N A _ _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $6$ huruf lainnya adalah $6! = 720.$
Susunan huruf: I N D A _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $5! = 120.$
Susunan huruf: I N D E _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $5! = 120.$
Susunan huruf: I N D I _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $5! = 120.$
Susunan huruf: I N D N _ _ _ _ _
Banyak cara menyusun $5$ huruf lainnya adalah $5! = 120.$
Susunan huruf: I N D O A _ _ _ _
Banyak cara menyusun $4$ huruf lainnya adalah $4! = 24.$
Susunan huruf: I N D O E _ _ _ _
Banyak cara menyusun $4$ huruf lainnya adalah $4! = 24.$
Susunan huruf: I N D O I _ _ _ _
Banyak cara menyusun $4$ huruf lainnya adalah $4! = 24.$
Susunan huruf: I N D O N A _ _ _
Banyak cara menyusun $3$ huruf lainnya adalah $3! = 6.$
Susunan huruf: I N D O N E A _ _
Banyak cara menyusun $2$ huruf lainnya adalah $2! = 2.$
Susunan huruf: I N D O N E I _ _
Banyak cara menyusun $2$ huruf lainnya adalah $2! = 2.$
Susunan huruf: I N D O N E S A _
Banyak cara menyusun $1$ huruf lainnya adalah $1! = 1.$
Terakhir: I N D O N E S I A
Urutan ke:
$3(10.080)+4(2.520)+720+4(120)$ $ +3(24)+6+2(2)+1+1 = 41.604.$
Jadi, kata INDONESIA berada pada urutan ke-$41.604.$
(Jawaban D)
Soal Nomor 14
Suatu delegasi terdiri dari $3$ pria dan $3$ wanita yang dipilih dari himpunan $5$ pria yang berbeda usia dan $5$ wanita yang berbeda usia juga. Delegasi itu hanya boleh mencakup paling banyak hanya satu anggota termuda dari masing-masing kalangan. Dengan persyaratan itu, banyak cara menyusun keanggotaan delegasi adalah $\cdots \cdot$
A. $52$ C. $60$ E. $72$
B. $56$ D. $64$
Dari $5$ pria dan $5$ wanita, terdapat masing-masing $1$ pria dan $1$ wanita yang usianya paling muda.
Syarat yang diberikan adalah delegasi mencakup PALING BANYAK (berarti boleh kurang) satu anggota termuda dari masing-masing kalangan.
Kemungkinan 1: Tidak terpilih anggota termuda dari kedua kalangan
Tersisa $4$ pria dan $4$ wanita, lalu dipilih $3$ pria dan $3$ wanita.
Banyak cara pemilihannya masing-masing menggunakan aturan kombinasi, yaitu
$\begin{aligned} C^4_3 \times C^4_3 & = \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \times \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \\ & = 4 \times 4 = 16 \end{aligned}$
Kemungkinan 2: Terpilih anggota termuda dari kalangan pria
Tersisa $4$ pria dan $4$ wanita, lalu dipilih $2$ pria (pria termuda sudah terpilih) dan $3$ wanita.
Banyak cara pemilihannya masing-masing menggunakan aturan kombinasi, yaitu
$\begin{aligned} C^4_2 \times C^4_3 & = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \times \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \\ & = 6 \times 4 = 24 \end{aligned}$
Kemungkinan 3: Terpilih anggota termuda dari kalangan wanita
Tersisa $4$ pria dan $4$ wanita, lalu dipilih $3$ pria dan $2$ wanita (wanita termuda sudah terpilih).
Banyak cara pemilihannya masing-masing menggunakan aturan kombinasi, yaitu
$\begin{aligned} C^4_3 \times C^4_2 & = \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \times \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \\ & = 4 \times 6= 24 \end{aligned}$
Jadi, banyak cara menyusun keanggotaan delegasi itu adalah $\boxed{16+24+24=64}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 15
Dua kelas masing-masing terdiri atas $30$ siswa. Satu siswa dipilih dari tiap-tiap kelas. Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah $\dfrac{7}{36}$. Peluang terpilih keduanya perempuan adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{23}{180}$ D. $\dfrac{32}{180}$
B. $\dfrac{26}{180}$ E. $\dfrac{35}{180}$
C. $\dfrac{29}{180}$
Masing-masing kelas terdiri dari $30$ siswa.
Peluang terpilih keduanya laki-laki adalah
$P(L) = \dfrac{7}{36} = \dfrac{7 \times 25}{900} = \dfrac{7}{30} \times \dfrac{25}{30}.$
Dari bentuk di atas, kita dapat ketahui bahwa dari $30$ siswa, terdapat $7$ siswa laki-laki di kelas pertama dan $25$ siswa laki-laki di kelas kedua.
Dengan demikian, peluang terpilih keduanya perempuan adalah
$\begin{aligned} P(P) & = \dfrac{30-7}{30} \times \dfrac{30-25}{30} \\ & = \dfrac{23}{30} \times \dfrac{\cancel{5}}{\cancelto{6}{30}} = \dfrac{23}{180} \end{aligned}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 16
Di sebuah area parkir objek wisata terdapat $52$ unit mobil pengunjung yang di antaranya ada $4$ unit berjenis Avanza dan $4$ unit berjenis Kijang. Setiap mobil bisa keluar kapan saja tanpa terhalangi oleh mobil lain. Hanya tersedia satu pintu keluar yang bisa dilalui secara bergantian. Pada urutan pertama keluar berturut-turut dua unit mobil. Peluang bahwa mobil yang keluar pertama adalah mobil Avanza, lalu disusul oleh mobil Kijang adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{4}{663}$ D. $\dfrac{4}{169}$
B. $\dfrac{16}{663}$ E. $\dfrac{16}{169}$
C. $\dfrac{1}{169}$
Peluang keluarnya mobil Avanza sama dengan banyaknya mobil Avanza dibagi dengan banyaknya unit mobil seluruhnya, yaitu
$P(\text{Avanza}) = \dfrac{4}{52} = \dfrac{1}{13}.$
Anggap satu unit mobil Avanza sudah keluar dari tempat parkir sehingga sekarang hanya tersisa $51$ unit mobil.
Peluang keluarnya mobil Avanza sama dengan banyaknya mobil Kijang dibagi dengan banyaknya unit mobil yang tersisa, yaitu
$P(\text{Kijang}) = \dfrac{4}{51}.$
Dengan demikian, peluang terjadinya mobil Avanza yang keluar pertama, lalu disusul oleh mobil Kijang adalah
$\boxed{\begin{aligned} P(\text{Avanza}~\cap~\text{Kijang}) & = \dfrac{1}{13} \times \dfrac{4}{51} \\ & = \dfrac{4}{663} \end{aligned}}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 17
Siska adalah seorang siswi SMA yang sangat menyukai es krim. Pada saat mengunjungi kota Probolinggo, ia melihat ada sebuah toko yang menyediakan $6$ rasa es krim. Apabila Siska ingin membeli $10$ es krim dan harus memuat tepat $3$ rasa es krim, serta ia juga ingin membeli minimal $2$ es krim untuk setiap masing-masing $3$ rasa tersebut, maka banyak kombinasi cara Siska membeli es krim adalah $\cdots$ cara.
A. $15$ D. $150$
B. $20$ E. $300$
C. $75$
Banyak cara memilih $3$ dari $6$ rasa dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kombinasi, yaitu
$\begin{aligned} C^6_3 & = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{\bcancel{6} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!} \cdot \bcancel{6}} = \color{red}{20} \end{aligned}$
Misalkan $3$ rasa es krim itu kita simbolkan sebagai $A, B$, dan $C$. Kita dapat membuat tabel yang menginformasikan banyaknya es krim untuk $3$ rasa tersebut dengan syarat masing-masingnya minimal $2$ dan jumlah keseluruhannya $10$.
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline A & B & C & \text{Banyak Susunan} \\ \hline 2 & 3 & 5 & 3! = 6 \\ \hline 2 & 2 & 6 & \dfrac{3!}{2!} = 3 \\ \hline 2 & 4 & 4 & \dfrac{3!}{2!} = 3 \\ \hline 3 & 3 & 4 & \dfrac{3!}{2!} = 3 \\ \hline \end{array}$
Petunjuk: Banyak susunan artinya banyak cara kita menyusun $3$ bilangannya. Misalkan, untuk menyusun $334$ (ada $3$ angka dan $2$ angka yang sama), ada sebanyak $\dfrac{3!}{2!} = 3$ cara.
Jumlah susunan tersebut semuanya adalah $6+3+3+3=\color{blue}{15}$.
Dengan demikian, banyak kombinasi Siska membeli es krim adalah $\boxed{\color{red}{20} \times \color{blue}{15} = 300}$
(Jawaban E)
Soal Nomor 18
Dari warna merah, jingga, kuning, hijau, biru, nila, dan ungu akan dibuat beberapa warna baru. Warna baru tersebut diperoleh dengan mencampurkan dua warna yang berlainan. Dengan memperhatikan kombinasi pewarnaan, banyak warna baru yang dapat dibuat adalah $\cdots \cdot$
A. $18$ C. $28$ E. $56$
B. $21$ D. $42$
Diberikan $7$ warna dan dua warna akan dikombinasikan membentuk warna baru.
Gunakan aturan kombinasi karena pencampuran warna tidak memandang urutan pemilihan warna pertama dan kedua.
Banyak kombinasi warnanya adalah
$C^7_2 = \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} = \dfrac{7 \times \cancelto{3}{6}}{\cancel{2}} = 21.$
Dalam teori pencampuran warna, kita mesti mengetahui bahwa ada $3$ macam kombinasi dua warna yang menghasilkan warna yang sudah ada, yaitu:
Merah + kuning = jingga
Kuning + biru = hijau
Merah + biru = ungu
Untuk itu, $21$ kombinasi yang telah kita dapatkan tadi harus dikurangi dengan $3$.
Jadi, hanya ada $\boxed{21-3=18}$ warna baru yang akan kita peroleh.
(Jawaban A)
Soal Nomor 19
Dalam sebuah pesta terjadi $55$ kali salaman. Jika tiap $2$ orang tepat $1$ kali bersalaman, maka banyaknya orang yang menghadiri pesta tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $11$ C. $17$ E. $23$
B. $14$ D. $20$
Misalkan ada sebanyak $n$ orang dalam pesta tersebut.
Bersalaman melibatkan $2$ orang dan dibolak-balik posisi orangnya tetap dihitung sama (misalnya: A bersalaman dengan B, sama saja artinya B bersalaman dengan A) sehingga kita menggunakan prinsip kombinasi untuk menyelesaikan ini.
Kombinasi $2$ objek dari $n$ objek menyatakan banyaknya salaman yang terjadi.
$\begin{aligned} C^n_2 & = 55 \\ \dfrac{n!}{(n-2)! \cdot 2!} & = 55 \\ \dfrac{n \cdot (n-1) \cdot \cancel{(n-2)!}}{\cancel{(n-2)!}} & = 110 \\ n(n-1) & = 110 \\ n^2-n-110 & = 0 \\ (n-11)(n+10) & = 0 \end{aligned}$
Diperoleh $n=11$ atau $n=-10$.
Karena $n$ menyatakan banyak orang, maka nilainya tidak mungkin negatif. Jadi, diambil $n = 11$. Artinya, ada $11$ orang yang menghadiri pesta tersebut.
Cara Lain:
Cara ini biasa dipakai oleh siswa peserta olimpiade tingkat SD.
Ilustrasi: Ketika ada $5$ orang bernama A, B, C, D, dan E akan bersalaman satu sama lain tepat sekali, maka dapat dibuat suatu pemikiran/asumsi seperti berikut.
A $4$ kali bersalaman, yaitu dengan B, C, D, dan E.
B $3$ kali bersalaman, yaitu dengan C, D, dan E.
C $2$ kali bersalaman, yaitu dengan D dan E.
D $1$ kali bersalaman, yaitu dengan E.
E tidak bersalaman.
Perhatikan bahwa ketika A bersalaman dengan E, saat itu E juga bersalaman dengan A sehingga kita tidak perlu menghitungnya dua kali (kita anggap “E tidak bersalaman”).
Banyak salaman: $1+2+3+4=10.$
Dengan prinsip yang sama, jika ada $n$ orang dan terjadi $55$ kali salaman, maka kita peroleh persamaan aljabar:
$1+2+3+\cdots+(n-1) = 55$
Tanpa perlu menggunakan rumus $\text{S}_n$ (deret aritmetika), akan lebih efektif bila kita langsung menerka saja nilai $n.$
Periksa bahwa ketika $n = 11$, maka
$1+2+3+\cdots+(11-1) = 55$
dan memang benar bahwa penjumlahan $1$ sampai $10$ menghasilkan $55$.
Jadi, ada $11$ orang yang menghadiri pesta tersebut.
(Jawaban A)
Soal Nomor 20
Nomor polisi mobil di suatu negara terdiri dari $4$ angka. Jika jumlah keempat angka pada setiap nomor harus genap, maka mobil yang bisa terdaftar di negara itu paling banyak ada $\cdots$ unit.
A. $600$ D. $4.500$
B. $1.800$ E. $5.000$
C. $2.000$
Angka $0$ tidak boleh dimunculkan di muka pada nomor polisi mobil dan angka yang muncul boleh berulang.
Jumlah keempat angka pada nomor polisi akan genap ketika:
- Keempat angkanya genap.
- Keempat angkanya ganjil.
- Terdiri dari $2$ angka genap dan $2$ angka ganjil.
Kemungkinan 1:
Angka pertama dapat diisi oleh $2, 4, 6$, dan $8$. Angka kedua, ketiga, dan keempat dapat diisi oleh $0, 2, 4, 6$, dan $8$.
Banyaknya pelat = $4 \times 5 \times 5 \times 5 = 500.$
Kemungkinan 2:
Angka pertama, kedua, ketiga, dan keempat dapat diisi oleh $1, 3, 5, 7$, dan $9$.
Banyaknya pelat = $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625.$
Kemungkinan 3:
Misalkan $p$ adalah angka genap dan $q$ adalah angka ganjil.
Susunan yang mungkin jika keempat angka harus memuat $2$ angka ganjil dan $2$ angka genap adalah $ppqq$, $qqpp$, $pqpq$, $qpqp$, $pqqp$, dan $qppq$.
Ketika angka genap di muka, yaitu $ppqq$, $pqpq$, dan $pqqp$ (ada $3$), banyak pelat yang dapat dibuat adalah $3 \times (4 \times 5 \times 5 \times 5) = 1.500$.
Ketika angka ganjil di muka, yaitu $qqpp$, $qpqp$, dan $qppq$ (ada $3$), banyak pelat yang dapat dibuat adalah $3 \times (5 \times 5 \times 5 \times 5) = 1.875$.
Jumlah mobil yang bisa terdaftar di negara itu sama dengan banyaknya pelat secara keseluruhan, yaitu $\boxed{500+625+1.500+1.875=4.500}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 21
Pada sebuah negara, pelat kendaraan terdiri dari $2$ angka diikuti $3$ abjad. Anggap bahwa angka $0$ boleh ditaruh di muka. Berapa maksimum jumlah pelat yang dapat dibuat di negara tersebut?
A. $1.757.600$
B. $1.423.656$
C. $1.404.000$
D. $1.265.625$
E. $1.080.000$
Dua karakter di depan dapat diisi oleh dua angka apapun (dari $0$ sampai $9$, ada sebanyak $10$ angka) sehingga akan ada $10 \times 10 = \color{blue}{100}$ susunan berbeda.
Tiga karakter di belakangnya diisi oleh tiga huruf (dari $a$ sampai $z$, ada sebanyak $26$ huruf) sehingga akan ada $26 \times 26 \times 26 = \color{red}{17.576}$ susunan.
Secara keseluruhan, maksimum jumlah pelat yang dapat dibuat di negara tersebut adalah $\boxed{\color{blue}{100} \times \color{red}{17.576} = 1.757.600}$
(Jawaban A)
Soal Nomor 22
Dalam suatu kegiatan internasional, terdapat $2$ orang Amerika, $4$ orang Perancis, $4$ orang Jerman, dan $2$ orang Italia. Mereka diposisikan duduk melingkar dengan syarat warga negara yang sama harus duduk berdampingan. Banyak cara mengatur susunan duduk mereka adalah $\cdots \cdot$
A. $1.152$ D. $13.824$
B. $2.304$ E. $27.648$
C. $4.608$
Posisi duduk mereka melingkar membentuk lingkaran sehingga penyusunannya menggunakan prinsip Permutasi Siklis.
Masing-masing warga negara yang sama harus duduk berdampingan. Karena itu, kita misalkan $2$ orang Amerika sebagai satu objek, $4$ orang Perancis sebagai satu objek, $4$ orang Jerman sebagai satu objek, dan $2$ orang Italia sebagai satu objek sehingga totalnya ada $4$ objek.
Banyak cara mengatur $4$ objek ini berlandaskan prinsip permutasi siklis adalah $\color{red}{(4-1)! = 3!}$.
Untuk mengatur posisi duduk $2$ orang Amerika, gunakan prinsip permutasi biasa: $\color{red}{2!}$.
Dengan cara yang sama, banyak cara mengatur posisi duduk $4$ orang Perancis, $4$ orang Jerman, dan $2$ orang Italia berturut-turut adalah $\color{red}{4!, 4!}$, dan $\color{red}{2!}$.
Jadi, banyak cara mengatur susunan duduk mereka semua adalah
$\begin{aligned} & 3! \cdot 2! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2! \\ & = 6 \cdot 2 \cdot 24 \cdot 24 \cdot 2 = 13.824. \end{aligned}$
(Jawaban D)
Soal Nomor 23
Zaki akan membuat sebuah surel (surat elektronik/email). Untuk keperluan itu, ia memerlukan sebuah kata sandi (password) yang terdiri dari delapan karakter. Kata sandi dikatakan baik jika menggabungkan antara huruf dan angka. Zaki akan menggunakan namanya pada empat karakter awal atau akhir secara berturut-turut, kemudian ditambahkan dengan empat buah angka berbeda dari $0, 1, 2, \cdots, 9$ secara acak, misalnya $\text{ZAKI}1234$, $\text{ZAKI}4321$, $0321\text{ZAKI}$, $3214\text{ZAKI}$, dan lain-lain. Banyaknya kata sandi surel yang dapat digunakan Zaki adalah $\cdots \cdot$
A. $5.040$ D. $20.000$
B. $10.080$ E. $20.160$
C. $15.120$
Banyaknya susunan bilangan 4-angka yang digit-digitnya tersusun dari angka $0$ sampai $9$ dan angkanya berlainan adalah $10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5.040$.
Karena kata $\text{ZAKI}$ bisa ditaruh di depan atau di belakang (ada $2$ posisi), maka secara keseluruhan, ada $\boxed{2 \times 5.040 = 10.080}$ kata sandi surel yang dapat dibuat olehnya.
(Jawaban B)
Soal Nomor 24
Pada sebuah toko seluler terdapat $10$ telepon genggam dalam kondisi baik dan $2$ telepon genggam dalam kondisi rusak. Semua telepon genggam dimasukkan ke dalam satu kemasan kardus. Untuk mendapatkan telepon genggam yang rusak, dilakukan pengujian dengan cara mengambil dan menguji satu per satu secara acak tanpa pengembalian. Peluang diperoleh $2$ telepon genggam rusak pada dua pengujian yang pertama adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{1}{132}$ C. $\dfrac{1}{66}$ E. $\dfrac16$
B. $\dfrac{1}{72}$ D. $\dfrac{1}{36}$
Pembahasan
Pada pengambilan pertama, banyak telepon genggam yang rusak adalah $n(A) = 2$, sedangkan banyak telepon genggam seluruhnya adalah $n(S_1) = 10+2 = 12$.
Pada pengambilan kedua, banyak telepon genggam yang rusak menjadi $n(B) = 1$, sedangkan banyak telepon genggam seluruhnya adalah $n(S_2) = 11$.
Dengan demikian, peluang terambilnya dua telepon genggam yang rusak satu per satu tanpa pengembalian adalah
$$\boxed{\dfrac{n(A)}{n(S_1)} \times \dfrac{n(B)}{n(S_2)} = \dfrac{\cancel{2}}{\cancelto{6}{12}} \times \dfrac{1}{11} = \dfrac{1}{66}}$$(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 25
Sebuah dealer sepeda motor menjual empat merek sepeda motor, yaitu sepeda motor Yamaha, Honda, Suzuki, dan Kawasaki. Seseorang ingin membeli $4$ unit sepeda motor. Banyak cara memilih sepeda motor tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $31$ C. $38$ E. $46$
B. $35$ D. $42$
Pembahasan
Orang tersebut dapat memilih empat merek sepeda motor yang ada. Pemilihan tersebut tidak memandang urutan sehingga tergolong kasus kombinasi.
Perhatikan bahwa pemilihan merek sepeda motor boleh dilakukan berulang. Misalnya, dipilih (Suzuki, Suzuki, Suzuki, Kawasaki). Banyak cara pemilihannya dapat dihitung menggunakan rumus kombinasi berulang (dari $4$ objek $(n=4)$, dipilih $4$ objek $(k=4)$).
$\begin{aligned} \dfrac{(n+k-1)!}{k! \cdot (n-1)!} & = \dfrac{(4+4-1)!}{4! \cdot (4-1)!} \\ & = \dfrac{7 \times \bcancel{6} \times 5 \times \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot \bcancel{3!}} \\ & = 7 \times 5 = 35 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{35}$ cara pemilihan sepeda motor tersebut.
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 26
Sebuah dadu bermata enam yang dibuat tidak seimbang dirancang sedemikian rupa sehingga peluang muncul mata dadu genap sama dengan dua kali peluang muncul mata dadu ganjil. Peluang muncul mata dadu $4$ dari hasil pelemparan dadu tersebut sekali adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac16$ C. $\dfrac14$ E. $\dfrac29$
B. $\dfrac15$ D. $\dfrac13$
Pembahasan
Peluang muncul mata dadu genap (even) dinotasikan $P(E)$, sedangkan peluang muncul mata dadu ganjil (odd) dinotasikan $P(O)$.
Diketahui bahwa $P(E) : P(O) = 2 : 1$.
Karena banyak titik sampel pada pelemparan sebuah dadu adalah $6$ dan mata dadu ganjil-genap masing-masing ada $3$ titik sampel, maka:
$P(E) = \dfrac23$ dan $P(O) = \dfrac13.$
Peluang muncul mata dadu $4$ dari tiga mata dadu genap yang ada ($2, 4, 6$) adalah
$\boxed{P(X = 4) = \dfrac23 \times \dfrac13 = \dfrac29}$
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 27
Suatu kata sandi terdiri atas $4$ huruf kapital berbeda dan $4$ angka berbeda dengan susunan bebas. Banyak kata sandi yang dapat disusun adalah $\cdots \cdot$
A. $C_4^{26} \times C_4^{10}$
B. $C_4^{26} \times C_4^{10} \times 4! \times 4!$
C. $C_4^{26} \times C_4^{10} \times 8!$
D. $(C_4^{26} + C_4^{10}) \times 4!$
E. $(C_4^{26} + C_4^{10}) \times 8!$
Pembahasan
Kata sandi harus terdiri dari $8$ karakter: $4$ karakter berupa angka dan $4$ karakter lainnya berupa huruf kapital.
Dari $10$ angka yang ada ($0, 1, \cdots, 9$), banyak cara pemilihan angka-angka ini untuk mengisi $4$ karakter adalah $C_4^{10}$.
Dari $26$ huruf kapital yang ada (A, B, …, Z), banyak cara pemilihan huruf-huruf ini untuk mengisi $4$ karakter sisanya adalah $C_4^{26}$.
Sekarang, kita telah mempunyai $8$ karakter berbeda untuk disusun menjadi sebuah kata sandi. Dengan menggunakan prinsip permutasi, kita peroleh ada sebanyak $P_8^8 = 8!$ cara menyusun posisi $8$ karakter tersebut. Dengan demikian, banyak kata sandi yang dapat dibuat adalah $\boxed{C_4^{26} \times C_4^{10} \times 8!}$
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 28
Perhatikan gambar berikut.
Diketahui $A, B, C, D, E, F$ merupakan titik yang terletak pada garis $(1)$, sedangkan $G, H, I, J$ merupakan titik yang terletak pada garis $(2)$. Jika titik-titik pada garis $(1)$ dihubungkan dengan titik-titik pada garis $(2)$ sehingga membentuk segitiga, maka ada berapa segitiga yang dapat dibentuk dengan menghubungkan titik-titik tersebut?
A. $32$ C. $60$ E. $120$
B. $36$ D. $96$
Pembahasan
Banyak titik di garis $(1)$ adalah $6$, sedangkan banyak titik di garis $(2)$ adalah $4$.
Sebuah segitiga dapat terbentuk dari $3$ titik yang tidak segaris. Ketika kita memilih $3$ titik sembarang, kita tidak memperhatikan urutan pemilihan titik tersebut untuk membentuk segitiga. Oleh karena itu, $\triangle ABC$ misalnya, dianggap sama dengan $\triangle BAC$ (dibolak-balik dianggap sama) sehingga termasuk kasus kombinasi.
Kemungkinan 1:
Pilih dua titik di garis $(1)$ dan satu titik di garis $(2)$. Perlu diperhatikan bahwa ketika misalnya kita memilih titik $A$ dan $C$, maka secara otomatis titik $B$ ikut terpilih karena ketiga titik tersebut segaris. Kita tetap menganggap bahwa kita hanya memilih dua titik.
Dengan menggunakan aturan kombinasi, diperoleh
$\begin{aligned} C_2^6 \times C_1^4 & = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} \times \dfrac{4!}{3! \cdot 1!} \\ & = 15 \times 4 = 60 \end{aligned}$
Jadi, ada $60$ segitiga yang dapat dibentuk dari kemungkinan ini.
Kemungkinan 2:
Pilih satu titik di garis $(1)$ dan dua titik di garis $(2)$.
Dengan menggunakan aturan kombinasi, diperoleh
$\begin{aligned} C_1^6 \times C_2^4 & = \dfrac{6!}{5! \cdot 1!} \times \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \\ & = 6 \times 6 = 36 \end{aligned}$
Jadi, ada $36$ segitiga yang dapat dibentuk dari kemungkinan ini.
Secara keseluruhan, ada $\boxed{60 + 36 = 96}$ segitiga yang dapat dibentuk.
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 29
Bilangan ganjil tujuh angka yang dibentuk dari semua angka $1, 2, 4$, dan $8$ dengan semua angka selain $1$ muncul tepat dua kali ada sebanyak $\cdots \cdot$
A. $60$ C. $360$ E. $5040$
B. $90$ D. $720$
Pembahasan
Agar diperoleh bilangan ganjil, maka angka satuannya harus ganjil. Karena hanya $1$ yang merupakan angka ganjil, maka $1$ harus diletakkan di posisi satuan. Dengan demikian, tersisa angka $2, 4$, dan $8$ untuk mengisi posisi lainnya dengan masing-masing angka muncul $2$ kali: $\overline{ABCDEF1}$.
Kasus ini sama dengan mencari banyaknya susunan $6$ karakter dengan sejumlah karakter yang berulang sehingga menggunakan rumus permutasi berulang.
$\begin{aligned} \binom{6}{2, 2, 2} & = \dfrac{6!}{2! \cdot 2! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} \\ & = 90 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{90}$ bilangan ganjil yang memenuhi kriteria yang disebutkan.
(Jawaban B)
[collapse]
Soal Nomor 30
Ada berapa banyak cara menutup papan domino ukuran $1 \times 10$ dengan menggunakan domino ukuran $1 \times 1$, $1 \times 2$, dan $1 \times 4$?
Berikut dua contoh menutup papan domino tersebut.
A. $169$ C. $45$ E. $10$
B. $81$ D. $24$
Pembahasan
Misalkan banyak domino ukuran $1 \times 1$, $1 \times 2$, dan $1 \times 4$ masing-masing dinotasikan $x, y, z$, sedemikian sehingga untuk mengisi domino ukuran $1 \times 10$, kita harus mencari pasangan $(x, y, z)$ yang memenuhi persamaan $x + 2y + 4z = 10$ untuk $x, y, z$ bilangan cacah.
Kita akan gunakan cara tabulasi untuk menentukan nilai $(x, y, z).$
Ambil $z = 0$: diperoleh $x + 2y = 10.$
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~x & \text{Nilai}~y & \text{Banyak Per}\text{mutasi} \\ \hline 0 & 5 & 1 \\ 2 & 4 & 15 \\ 4 & 3 & \color{red}{35} \\ 6 & 2 & 28 \\ 8 & 1 & 9 \\ 10 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$Total: $1 + 15 + 35 + 28 + 9 + 1 = 89.$
Ambil $z = 1$: diperoleh $x + 2y = 6.$
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~x & \text{Nilai}~y & \text{Banyak Per}\text{mutasi} \\ \hline 0 & 3 & 4 \\ 2 & 2 & 30 \\ 4 & 1 & 30 \\ 6 & 0 & 7 \\ \hline \end{array}$$Total: $4 + 30 + 30 + 7 = 71.$
Ambil $z = 2$: diperoleh $x + 2y = 2.$
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Nilai}~x & \text{Nilai}~y & \text{Banyak Per}\text{mutasi} \\ \hline 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 6 \\ \hline \end{array}$$Total: $3 + 6 = 9.$
Jika $z = 3$, persamaan tidak memiliki solusi.
Catatan: Cara mencari banyak permutasi adalah dengan menggunakan rumus permutasi berulang. Misalnya, untuk menyusun posisi $4$ papan domino ukuran $1 \times 1$ dan $3$ domino ukuran $1 \times 2$, analog dengan menyusun huruf $XXXXYYY$, caranya sebanyak $\dfrac{7!}{4! \cdot 3!} = \color{red}{35}.$
Secara keseluruhan, kita temukan ada $\boxed{89 + 71 + 9 = 169}$ pasangan nilai $(x, y, z)$ yang memenuhi persamaan tersebut, artinya ada $\boxed{169}$ cara menutup papan domino ukuran $1 \times 10$ tersebut.
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 31
Diagram Venn berikut menunjukkan banyaknya elemen kejadian $A$ dan $B$.
Jika diketahui $P(A \cap B) = \dfrac15$, $P(A \cup B)’ = P(A)-P(A \cap B)$, dan $z = 2x$, maka $P(B) = \cdots \cdot$
A. $\dfrac13$ C. $\dfrac15$ E. $\dfrac35$
B. $\dfrac23$ D. $\dfrac25$
Pembahasan
Banyak elemen pada semesta adalah $\text{n}(S) = x+y+z+3.$ Karena $z = 2x$, maka dapat ditulis $\text{n}(S) = 3x+y+3$.
Diketahui $P(A \cap B) = \dfrac15$. Berdasarkan diagram Venn, diperoleh
$\begin{aligned} P(A \cap B) & = \dfrac{y}{3x+y+3} \\ \dfrac15 & = \dfrac{y}{3x+y+3} \\ 5y & = 3x+y+3 \\ 4y-3x & = 3 && (\cdots 1) \end{aligned}$
Selanjutnya,
$$\begin{aligned} P(A \cup B)’ & = P(A)-P(A \cap B) \\ \dfrac{3}{3x+y+3} & = \dfrac{x+y}{3x+y+3}-\dfrac{y}{3x+y+3} \\ \dfrac{3}{\cancel{3x+y+3}} & = \dfrac{x}{\cancel{3x+y+3}} \end{aligned}$$Diperoleh $\color{red}{x = 3}$. Berdasarkan persamaan $(1)$, diperoleh $4y-3(\color{red}{3}) = 3 \Leftrightarrow y = 3$.
Karena $z = 2x$ dan $x = 3$, maka didapat $z=2(3)=6$.
Dengan demikian,
$\begin{aligned} P(B) & = \dfrac{y+z}{3x+y+3} \\ & = \dfrac{3+6}{3(3)+3+3} = \dfrac{9}{15} = \dfrac35 \end{aligned}$
Jadi, nilai $\boxed{P(B)=\dfrac35}$
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 32
Diketahui titik $(a, b)$ dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat positif yang tidak lebih dari $5$. Jika dipilih $1$ titik $(a, b)$, maka peluang terpilih titik yang memenuhi $3x+4y<24$ adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac{19}{25}$ C. $\dfrac{17}{25}$ E. $\dfrac{15}{25}$
B. $\dfrac{18}{25}$ D. $\dfrac{16}{25}$
Pembahasan
Diberikan titik $(a, b)$ dengan $a, b = 1, 2, 3, 4, 5$.
Ini berarti ada $\text{n}(S) = 5 \times 5 = 25$ titik yang memenuhi $(a, b)$.
Sekarang, akan dicari titik yang memenuhi pertidaksamaan $3x+4y<24$.
Kita berpatok pada nilai $x$, dan mencari nilai $y$ maksimum yang masih memenuhi pertidaksamaan.
- Jika $x = 1$, maka $y_{\text{maks}} = 5$. Artinya titik $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5)$ semuanya memenuhi.
- Jika $x = 2$, maka $y_{\text{maks}} = 4$, berarti ada $4$ titik memenuhi.
- Jika $x = 3$, maka $y_{\text{maks}} = 3$, berarti ada $3$ titik yang memenuhi.
- Jika $x = 4$, maka $y_{\text{maks}} = 2$, berarti ada $2$ titik yang memenuhi.
- Jika $x = 5$, maka $y_{\text{maks}} = 2$, berarti ada $2$ titik yang memenuhi.
Secara keseluruhan, ada $\text{n}(A) = 5+4+3+2+2=16$ titik yang memenuhi pertidaksamaan. Jadi, peluang terpilih titik yang demikian adalah $\boxed{\dfrac{\text{n}(A)}{\text{n}(S)} = \dfrac{16}{25}}$
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 33
Berapa banyak jajaran genjang yang dapat dibentuk oleh sebuah himpunan $4$ garis sejajar yang berpotongan dengan garis-garis pada himpunan $7$ garis sejajar lainnya?
A. $12$ D. $126$
B. $54$ E. $128$
C. $56$
Pembahasan
Jajaran genjang merupakan bangun datar segi empat yang dibentuk oleh dua garis sejajar dipotong oleh dua garis sejajar lainnya.
Oleh karena itu, kita memilih $2$ garis dari himpunan $4$ garis sejajar itu, kemudian memilih $2$ garis dari himpunan $7$ garis sejajar lainnya. Perhatikan bahwa pemilihan garis tidak memperhatikan urutan sehingga termasuk kasus kombinasi.
$$\begin{aligned} C^4_2 \times C^7_2 & = \dfrac{4!}{2! \cdot 2!} \times \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{4 \times 3 \times \cancel{2!}}{\cancel{2!} \cdot 2} \times \dfrac{7 \times 6 \times \cancel{5!}}{\cancel{5!} \cdot 2} \\ & = 6 \times 21 = 126 \end{aligned}$$Jadi, banyak jajaran genjang yang dapat dibentuk adalah $\boxed{126}$
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 34
Seorang pemirsa mengikuti kuis di sebuah televisi. Kuis singkat tersebut memiliki $3$ pertanyaan yang terdiri dari dua pertanyaan benar-salah dan satu pertanyaan pilihan ganda dengan empat opsi. Dengan asumsi semua pilihan memiliki kemungkinan yang sama, peluang bahwa pemirsa tersebut menjawab semua pertanyaan dengan benar adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac13$ C. $\dfrac18$ E. $\dfrac{1}{32}$
B. $\dfrac14$ D. $\dfrac{1}{16}$
Pembahasan
Pertanyaan benar-salah memiliki peluang $\dfrac12$ untuk dijawab benar, sedangkan pertanyaan pilihan ganda dengan empat opsi memiliki peluang $\dfrac14$ untuk dijawab benar. Kejadian menjawab ini tergolong kejadian yang saling lepas. Oleh karena itu, peluang ketika semua pertanyaan dijawab benar adalah $\boxed{\dfrac12 \times \dfrac12 \times \dfrac14 = \dfrac{1}{16}}$
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 35 (IOS 2021 Tingkat SMA – POSI)
Untuk sepasang dadu tertentu, peluang munculnya $1, 2, 3, 4, 5,$ dan $6$ pada masing-masing dadu memiliki perbandingan $1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6.$ Peluang munculnya jumlah mata dadu 7 pada pelemparan sepasang dadu tersebut adalah $\cdots \cdot$
A. $\dfrac18$ D. $\dfrac{4}{63}$
B. $\dfrac16$ E. $\dfrac{8}{63}$
C. $\dfrac37$
Pembahasan
Jumlahan nilai perbandingan tersebut adalah $1+2+3+4+5+6=21$ sehingga dapat kita asumsikan bahwa peluang munculnya $1, 2, 3, 4, 5,$ dan $6$ pada pelemparan tiap dadu tersebut berturut-turut adalah sebagai berikut.
$$\begin{array}{cc} P(1) = \dfrac{1}{21} & P(4) = \dfrac{4}{21} \\ P(2) = \dfrac{2}{21} & P(5) = \dfrac{5}{21} \\ P(3) = \dfrac{3}{21} & P(6) = \dfrac{6}{21} \end{array}$$Ada beberapa kemungkinan agar jumlah kedua mata dadu sama dengan $7.$ Kita nyatakan dalam tabel di bawah beserta peluangnya.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Kemungkinan} & \text{Peluang} \\ \hline (1, 6), (6, 1) & 2 \cdot \dfrac{1}{21} \cdot \dfrac{6}{21} = \dfrac{12}{441} \\ (2, 5), (5,2) & 2 \cdot \dfrac{2}{21} \cdot \dfrac{5}{21} = \dfrac{20}{441} \\ (3, 4), (4, 3) & 2 \cdot \dfrac{3}{21} \cdot \dfrac{4}{21} = \dfrac{24}{441} \\ \hline \end{array}$$Dengan demikian, peluang munculnya jumlah mata dadu $7$, dinotasikan $P(7),$ adalah jumlah peluang untuk masing-masing kemungkinan di atas, yakni
$$\begin{aligned} P(7) & = \dfrac{12}{441} + \dfrac{20}{441} + \dfrac{24}{441} \\ & = \dfrac{56}{441} \\ & = \dfrac{8}{63}. \end{aligned}$$Jadi, peluang munculnya jumlah mata dadu 7 pada pelemparan sepasang dadu tersebut adalah $\boxed{\dfrac{8}{63}}$
(Jawaban E)
[collapse]
Soal Nomor 36
Acara pelepasan di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) dihadiri oleh dekan dan dua orang wakil dekan serta mahasiswa yang lulus. Acara tersebut berlangsung di salah satu ruangan di FMIPA yang menggunakan meja bundar. Pada periode kelulusan kali ini, terdapat tiga orang mahasiswa fisika, tiga orang mahasiswa kimia, dan dua orang mahasiswa matematika yang berhasil lulus. Jika dekan dan wakil dekan harus duduk berdekatan, serta mahasiswa dari satu jurusan harus duduk bersama, maka banyak susunan duduk berbeda yang dapat disusun oleh panitia acara pelepasan adalah $\cdots$ susunan.
A. $24$ D. $2.592$
B. $720$ E. $4.320$
C. $864$
Pembahasan
Ketika ada beberapa orang harus duduk bersama, maka kita perlakukan beberapa orang tersebut sebagai satu objek, kemudian kita permutasikan untuk objek tersebut.
Ada $1$ dekan, $2$ wakil dekan, $3$ mahasiswa fisika, $3$ mahasiswa kimia, dan $2$ mahasiswa matematika, dengan total keseluruhan ada $11$ orang.
- Dekan dan wakil dekan harus duduk bersama sehingga kita perlakukan mereka sebagai satu objek. Ada $3$ orang sehingga permutasinya $3! = \color{red}{6}$ susunan.
- Mahasiswa fisika harus duduk bersama sehingga kita perlakukan mereka sebagai satu objek. Ada $3$ orang sehingga permutasinya juga $3! = \color{red}{6}$ susunan.
- Mahasiswa kimia harus duduk bersama sehingga kita perlakukan mereka sebagai satu objek. Ada $3$ orang sehingga permutasinya juga $3! = \color{red}{6}$ susunan.
- Mahasiswa matematika harus duduk bersama sehingga kita perlakukan mereka sebagai satu objek. Ada $2$ orang sehingga permutasinya juga $2! = \color{red}{2}$ susunan.
Perhatikan sketsa berikut agar lebih jelas.
Permutasikan $4$ objek tersebut secara siklis sehingga terdapat $(4-1)! = \color{red}{6}$ susunan. Dengan demikian secara keseluruhan terdapat $\color{red}{6} \cdot \color{red}{6} \cdot \color{red}{6} \cdot \color{red}{2} \cdot \color{red}{6} = 2.592$ susunan.
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 37
Misalkan $a_1, a_2, \cdots, a_n$ menyatakan semua permutasi dari kata SAYANG yang diurutkan berdasarkan abjad seperti di kamus, misalnya $a_1 =$ AAGNSY, $a_2 =$ AAGNYS, $a_3 =$ AAGSNY, dan seterusnya. Jika diketahui $a_k =$ SAYANG, maka nilai $n + k$ adalah $\cdots \cdot$
A. $260$ D. $620$
B. $360$ E. $720$
C. $540$
Pembahasan
Kata SAYANG memuat 6 huruf yang terdiri dari 2 huruf yang sama, yaitu A. Oleh karena itu, gunakan konsep permutasi berulang sehingga kita peroleh banyak permutasinya $n = \dfrac{6!}{2!} = 360.$
Selanjutnya, kita akan menyusun keenam huruf itu mengikuti urutan abjad.
- Jika huruf pertama A, berarti tinggal menyusun 5 huruf lain di belakangnya (A-S-Y-N-G), yaitu sebanyak $5! = 120.$
- Jika huruf pertama G, berarti tinggal menyusun 5 huruf lain di belakangnya (A-S-Y-N-A), yaitu sebanyak $\dfrac{5!}{2!} = 60.$
- Jika huruf pertama N, berarti tinggal menyusun 5 huruf lain di belakangnya (A-S-Y-G-A), yaitu sebanyak $\dfrac{5!}{2!} = 60.$
- Berikutnya, huruf pertama adalah S. Tiga huruf pertama SAA, SAG, SAN: total terdapat $3 \cdot 3! = 18$ permutasi.
- Kata berikutnya adalah SAYAGN, lalu SAYANG.
Jadi, secara keseluruhan, kita peroleh nilai $k =120+60+60+18+2 = 260$ sehingga nilai $n+k = 360+260 = 620.$
(Jawaban D)
[collapse]
Soal Nomor 38
Di suatu ruangan yang terdiri dari $7$ orang, $4$ orang di antaranya mempunyai $1$ orang teman di ruangan tersebut, sedangkan $3$ orang lainnya mempunyai $2$ orang teman di ruangan tersebut. Jika $2$ orang dipilih secara acak, berapa peluang kedua orang tersebut berteman?
A. $\dfrac{5}{21}$ D. $\dfrac47$
B. $\dfrac{16}{21}$ E. $\dfrac57$
C. $\dfrac37$
Pembahasan
Misalkan $7$ orang tersebut bernama $A, B, C, D, E, F,$ dan $G$ dengan $A, B, C, D$ mempunyai $1$ orang teman dan $E, F, G$ mempunyai $2$ orang teman.
Misalkan $K$ adalah kejadian terpilihnya $2$ orang yang saling berteman.
Adapun kemungkinan susunan pertemanan yang terjadi adalah:
- $A$ berteman dengan $E$
- $B$ berteman dengan $E$
- $C$ berteman dengan $F$
- $F$ berteman dengan $G$
- $D$ berteman dengan $G$
Jadi, ada $n(K) = 5$ kemungkinan pertemanan antara $2$ orang.
Banyak anggota ruang sampel = banyak cara memilih $2$ dari $7$ orang adalah $n(S) = 7C2 = \dfrac{7!}{5! \cdot 2!} = 21.$ Jadi, peluang terpilih $2$ orang yang saling berteman adalah $\boxed{\dfrac{n(K)}{n(S)}= \dfrac{5}{21}}$
(Jawaban A)
[collapse]
Soal Nomor 39 (Soal Komet Ke-17 FMIPA Untan)
Suatu karung berisi $2.116$ bola yang terdiri dari bola putih dan merah tercampur secara acak. Jika $2$ bola diambil satu per satu secara acak tanpa pengembalian, maka peluang terambil keduanya bola warna putih atau keduanya bola warna merah adalah $\dfrac12.$ Banyak minimum dan maksimum bola putih yang mungkin berada dalam karung sehingga pernyataan tentang peluang tersebut terpenuhi berturut-turut adalah $\cdots \cdot$
A. $890$ dan $1.226$
B. $990$ dan $1.126$
C. $1.035$ dan $1.081$
D. $1.050$ dan $1.066$
E. $1.058$ dan $1.058$
Pembahasan
Misalkan banyak bola putih sama dengan $P$ dan banyak seluruh bola sama dengan $X = 2.116.$
Diketahui peluang terambil keduanya bola warna putih atau keduanya bola warna merah adalah $\dfrac12$ sehingga kita tulis
$$\begin{aligned} \dfrac{P}{X} \cdot \dfrac{P-1}{X-1} + \dfrac{X-P}{X} \cdot \dfrac{X-P-1}{X-1} & = \dfrac12 \\ \dfrac{P^2-P}{X(X-1)} + \dfrac{X^2-2XP+P^2-X+P}{X(X-1)} & = \dfrac12 \\ 2(2P^2-2XP + X^2-X) & = X(X-1) \\ 4P^2-4XP+2X^2-2X & = X^2-X \\ 4P^2-4XP+X^2 & = X \\ (2P-X)^2 & = X \\ (2P-2.116)^2 & = 2.116 \\ 2P-2.116 & = \pm 46 \\ P-1.058 & = \pm 23. \end{aligned}$$Selanjutnya, dengan mengambil tanda positif dan negatif, didapat $P_{\text{maks}} = 23 + 1.058 = 1.081$ dan $P_{\text{min}} = -23 + 1.058 = 1.035.$ Jadi, banyak minimum dan maksimum bola putih berturut-turut adalah $1.035$ dan $1.081.$
(Jawaban C)
[collapse]
Soal Nomor 40
Dalam turnamen catur, masing-masing dari 10 peserta bertanding satu sama lain tepat satu kali. Setelah beberapa pertandingan dilakukan, dketahui bahwa setiap dipilih tiga peserta mana pun, setidaknya dua di antara mereka bertiga sudah bertanding satu sama lain. Banyaknya minimum permainan yang sudah dimainkan sejauh ini adalah $\cdots \cdot$
A. $15$ C. $25$ E. $30$
B. $20$ D. $29$
Pembahasan
Misalkan 10 peserta tersebut diinisialkan sebagai A, B, C, …, J.Ketika dipilih 3 peserta secara acak, maka ada 2 di antara mereka yang pernah bertanding satu sama lain. Idenya adalah membagi 10 peserta tersebut dalam dua kelompok: kelompok pertama (A, B, C, D, E) dan kelompok kedua (F, G, H, I, J). Jika peserta pertama dari kelompok pertama, kemudian peserta kedua dari kelompok kedua, maka peserta ketiga pasti sekelompok dengan peserta pertama ATAU peserta kedua. Jadi, kita cukup memperhatikan banyaknya pertandingan dari $2$ peserta dalam masing-masing kelompok. Misalnya, (A, B) bertanding, maka peserta ketiga tidak perlu dihiraukan lagi asal kelompoknya karena kondisi sudah terpenuhi.
Banyak pertandingan satu sama lain pada masing-masing kelompok adalah $C^5_2 = 10,$ yakni (A, B), (A, C), (A, D), (A, E), (B, C), (B, D), (B, E), (C, D), (C, E), dan (D, E).
Karena ada dua kelompok, maka banyak pertandingan minimum adalah $2 \times 10 = 20.$
(Jawaban B)
[collapse]
Bagian Uraian
Soal Nomor 1
Seorang anak mengunjungi toko yang menyediakan beberapa model skateboard. Toko itu menawarkan tiga macam papan, dua macam set roda, dan dua macam set perlengkapan kecil, serta empat macam set sumbu.
Tentukan banyak tipe skateboard berbeda yang dapat dipilih anak tersebut jika:
- tanpa syarat;
- $2$ dari $4$ set sumbu tidak akan dipilih anak tersebut.
Pembahasan (a)
Banyak tipe skateboard yang dapat dibentuk sama dengan hasil perkalian dari jumlah masing-masing komponennya, yaitu
$$\underbrace{3}_{\text{papan}} \times \underbrace{2}_{\text{set roda}} \times \underbrace{2}_{\text{perlengkapan}} \times \underbrace{4}_{\text{set sumbu}}= 48$$Jadi, ada $48$ tipe skateboard berbeda yang dapat dipilih.
[collapse]
Pembahasan (b)
Karena $2$ dari $4$ set sumbu tidak dipilih, maka dengan menggunakan aturan perkalian seperti pembahasan (a), kita peroleh
$$\underbrace{3}_{\text{papan}} \times \underbrace{2}_{\text{set roda}} \times \underbrace{2}_{\text{perlengkapan}} \times \underbrace{2}_{\text{set sumbu}}= 24$$Jadi, hanya ada $24$ tipe skateboard berbeda yang dapat dipilih.
[collapse]
Soal Nomor 2
Sebuah keluarga merencanakan mempunyai tiga orang anak. Tentukan peluang keluarga tersebut mempunyai:
a. $3$ anak laki-laki;
b. paling sedikit $2$ anak laki-laki;
c. paling banyak $2$ anak perempuan.
Pembahasan (a)
Dalam kasus ini, peluang kelahiran anak laki-laki dan perempuan diasumsikan ideal, yaitu sama-sama $\dfrac12$. Banyak titik sampelnya adalah $2^3 = 8$.
Keluarga tersebut menginginkan ketiga anaknya laki-laki: LLL.
Jadi, peluangnya sebesar $\boxed{\dfrac18}$
[collapse]
Pembahasan (b)
Dalam kasus ini, peluang kelahiran anak laki-laki dan perempuan diasumsikan ideal, yaitu sama-sama $\dfrac12$. Banyak titik sampelnya adalah $2^3 = 8.$
Keluarga tersebut menginginkan paling sedikit $2$ anak laki-laki.
Ada $2$ kemungkinan:
1. Dua laki-laki: LLP, LPL, PLL.
Peluang kelahiran dua anak laki-laki adalah $\dfrac{3}{8}$.
2. Ketiganya laki-laki: LLL
Dari pembahasan (a), telah diketahui bahwa peluangnya sebesar $\dfrac18$.
Jadi, peluang kelahiran paling sedikit dua anak laki-laki adalah $\dfrac38 + \dfrac18 = \dfrac12.$
[collapse]
Pembahasan (c)
Keluarga tersebut menginginkan paling banyak $2$ anak perempuan (tidak boleh $3$).
Peluang kelahiran $3$ anak perempuan sama dengan peluang kelahiran $3$ anak laki-laki, yaitu $\color{red}{\dfrac18}$.
Jadi, peluang kelahiran paling paling banyak $2$ anak perempuan adalah $1-\color{red}{\dfrac18} = \dfrac78$.
[collapse]
Soal Nomor 3
Bilangan terdiri dari $4$ angka yang disusun dari angka $1, 2, 3, 5, 6$, dan $7$. Tentukan banyak susunan bilangan bila:
a. angka-angkanya berlainan;
b. angka-angkanya boleh berulang.
Pembahasan (a)
Penyusunan angka seperti ini akan dianggap berbeda meskipun angkanya dibolak-balik (misalnya, $123 \neq 321$) sehingga kita menerapkan prinsip permutasi.
Bilangan 4-angka: XXXX, diisi oleh angka $1, 2, 3$, $5, 6, 7$ dengan syarat angkanya berlainan (tidak boleh diulang). Dengan menggunakan metode filling slot:
- Kotak ribuan bisa diisi oleh $6$ angka.
- Kotak ratusan bisa diisi oleh $5$ angka.
- Kotak puluhan bisa diisi oleh $4$ angka.
- Kotak satuan bisa diisi oleh $3$ angka.
Banyak susunan yang mungkin adalah $6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360.$
Selain itu, perhitungannya juga dapat menggunakan rumus permutasi.
$\begin{aligned} P^6_4 & = \dfrac{6!}{(6-4)!} \\ & = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!}}{\cancel{2!}} = 360 \end{aligned}$
[collapse]
Pembahasan (b)
Bilangan 4-angka: XXXX, diisi oleh angka $1, 2, 3$, $5, 6, 7$ dan angkanya boleh berulang.
- Kotak ribuan bisa diisi oleh $6$ angka.
- Kotak ratusan bisa diisi oleh $6$ angka.
- Kotak puluhan bisa diisi oleh $6$ angka.
- Kotak satuan bisa diisi oleh $6$ angka.
Banyak susunan yang mungkin adalah $6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 = 1.296$.
[collapse]
Soal Nomor 4
Dari angka $3, 5, 6, 7$, atau $9$ akan dibuat bilangan yang terdiri atas $3$ angka yang berlainan. Tentukan banyak susunan bilangan yang mungkin dibentuk bila:
a. bilangannya lebih dari $400$, tetapi kurang dari $800$;
b. bilangannya kurang dari $579$;
c. bilangannya lebih dari $650.$
Pembahasan (a)
Angka: $3, 5, 6, 7, 9$
Syarat bilangan: $400 < x < 800.$
Syarat lain: Angkanya berlainan.
Gunakan metode filling slot.
- Untuk kotak ratusan, hanya ada $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($5, 6, 7$).
- Untuk kotak puluhan, tersisa $\color{red}{4}$ angka yang memenuhi ($1$ angka sudah terpakai).
- Untuk kotak satuan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($2$ angka sudah terpakai).
Jadi, banyak bilangan yang dapat disusun berdasarkan syarat di atas adalah $\color{red}{3 \times 4 \times 3} = 36.$
[collapse]
Pembahasan (b)
Angka: $3, 5, 6, 7, 9$
Syarat bilangan: $x < 579.$
Syarat lain: Angkanya berlainan.
Gunakan metode filling slot.
Untuk soal ini, kita harus jabarkan syarat $x < 579$ sebagai berikut.
Pertama: $x < 500$.
- Untuk kotak ratusan, hanya ada $\color{red}{1}$ angka yang memenuhi, yaitu $3.$
- Untuk kotak puluhan, tersisa $\color{red}{4}$ angka yang memenuhi ($1$ angka sudah terpakai).
- Untuk kotak satuan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($2$ angka sudah terpakai).
Jadi, ada $1 \times 4 \times 3 = \color{blue}{12}$ bilangan yang memenuhi kriteria ini.
Kedua: $500 \leq x < 570$
- Untuk kotak ratusan, hanya ada $\color{red}{1}$ angka yang memenuhi, yaitu $5.$
- Untuk kotak puluhan, tersisa $\color{red}{2}$ angka yang memenuhi, yaitu $3$ dan $6.$
- Untuk kotak satuan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($2$ angka sudah terpakai).
Jadi, ada $1 \times 2 \times 3 = \color{blue}{6}$ bilangan yang memenuhi kriteria ini.
Ketiga: $570 \leq x < 579$
Secara manual, kita peroleh bilangan $573$ dan $576.$
Jadi, hanya ada $\color{blue}{2}$ bilangan untuk kriteria ini.
Dengan demikian, banyak bilangan yang dapat disusun berdasarkan syarat di atas adalah $\boxed{\color{blue}{12+6+2} = 20}$
[collapse]
Pembahasan (c)
Angka: $3, 5, 6, 7, 9.$
Syarat bilangan: $x > 650.$
Syarat lain: Angkanya berlainan.
Gunakan metode filling slot.
Untuk soal ini, kita harus jabarkan syarat $x > 650$ sebagai berikut.
Pertama: $x > 700$.
- Untuk kotak ratusan, hanya ada $\color{red}{2}$ angka yang memenuhi, yaitu $7$ dan $9.$
- Untuk kotak puluhan, tersisa $\color{red}{4}$ angka yang memenuhi ($1$ angka sudah terpakai).
- Untuk kotak satuan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($2$ angka sudah terpakai).
Jadi, ada $2 \times 4 \times 3 = \color{blue}{24}$ bilangan yang memenuhi kriteria ini.
Kedua: $650 < x < 700$
- Untuk kotak ratusan, hanya ada $\color{red}{1}$ angka yang memenuhi, yaitu $6.$
- Untuk kotak puluhan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi, yaitu, $5$, $7$, dan $9.$
- Untuk kotak satuan, tersisa $\color{red}{3}$ angka yang memenuhi ($2$ angka sudah terpakai).
Jadi, ada $2 \times 3 \times 2 = \color{blue}{12}$ bilangan yang memenuhi kriteria ini.
Dengan demikian, banyak bilangan yang dapat disusun berdasarkan syarat di atas adalah $\boxed{\color{blue}{24+12} = 36}$
[collapse]
Baca Juga: Materi, Soal, dan Pembahasan – Prinsip Inklusi-Eksklusi
Soal Nomor 5
Kotak $A$ berisi $2$ bola merah dan $3$ bola putih. Kotak $B$ berisi $5$ bola merah, $2$ bola kuning, dan $3$ bola putih. Dari masing-masing kotak, diambil satu bola. Tentukan peluang dari masing-masing kejadian berikut.
- Terambil bola merah dari kotak $A$ dan bola putih dari kotak $B$;
- Terambil bola putih dari kedua kotak;
- Terambil bola putih dari kotak $A$ dan bukan bola kuning dari kotak $B$.
Pembahasan (a)
Pengambilan $1$ bola pada masing-masing kotak melibatkan aturan perkalian peluang.
Jumlah bola di kotak A = $\color{red}{5}$
Jumlah bola di kotak B = $\color{blue}{10}$
Kotak A: Merah
Kotak B: Putih
Ada $2$ bola merah di kotak A sehingga peluang terambilnya $1$ bola merah di kotak A adalah $P(A = \text{merah}) = \dfrac{2}{\color{red}{5}}$.
Ada $3$ bola putih di kotak B sehingga peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak B adalah $P(B = \text{putih}) = \dfrac{3}{\color{blue}{10}}$.
Jadi, peluang terambilnya $1$ bola merah di kotak A dan $1$ bola putih di kotak B adalah
$\begin{aligned} & P(A = \text{merah}) \times P(B = \text{putih}) \\ & = \dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{25}. \end{aligned}$
[collapse]
Pembahasan (b)
Kotak A: Putih
Kotak B: Putih
Ada $3$ bola putih di kotak A sehingga peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak A adalah $P(A = \text{putih}) = \dfrac{3}{\color{red}{5}}$.
Ada $3$ bola putih di kotak B sehingga peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak B adalah $P(B = \text{putih}) = \dfrac{3}{\color{blue}{10}}$.
Jadi, peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak A dan $1$ bola putih di kotak B adalah
$\begin{aligned} & P(A = \text{putih}) \times P(B = \text{putih}) \\ & = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{50}. \end{aligned}$
[collapse]
Pembahasan (c)
Kotak A: Putih
Kotak B: Bukan Kuning, artinya Merah atau Putih
Ada $3$ bola putih di kotak A sehingga peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak A adalah $P(A = \text{merah}) = \dfrac{3}{\color{red}{5}}$.
Ada $5+3=8$ bola bukan kuning di kotak B sehingga peluang terambilnya $1$ bola bukan kuning di kotak B adalah $P(B = \text{bukan kuning}) = \dfrac{8}{\color{blue}{10}} = \dfrac45$.
Jadi, peluang terambilnya $1$ bola putih di kotak A dan $1$ bola bukan kuning di kotak B adalah
$$\begin{aligned} & P(A = \text{putih}) \times P(B = \text{bukan kuning}) \\ & = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{4}{5} = \dfrac{12}{25}. \end{aligned}$$
[collapse]
Soal Nomor 6
Dari $10$ calon pengurus desa akan dipilih ketua, wakil ketua, sekretaris, dan bendahara. Tentukan banyak cara memilih bila:
- tidak ada persyaratan;
- hanya $4$ calon yang bersedia menjadi ketua.
Pembahasan (a)
Kita memperhatikan urutan pemilihan calon pengurus desa karena adanya unsur posisi/jabatan (misalnya, AB = A sebagai ketua dan B wakil ketua, jelas berbeda dengan BA = B sebagai ketua dan A wakil ketua) sehingga ini termasuk kasus permutasi, yaitu $\color{red}{4}$ dari $10$ objek (angka $\color{red}{4}$ didapat dari banyaknya jabatan yang ada).
$\begin{aligned} P^{10}_4 & = \dfrac{10!}{6!} \\ & = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times \cancel{6!}}{\cancel{6!}} = 5.040 \end{aligned}$
Jadi, ada $\boxed{5.040}$ cara yang dapat dilakukan untuk memilih mereka.
[collapse]
Pembahasan (b)
Posisi ketua hanya dapat diisi oleh $4$ dari $10$ calon.
Untuk itu, kita gunakan metode filling slot untuk menentukan banyak pemilihannya.
Slot Ketua: $4$
Dipilih $1$ calon, tersisa $9$ calon lainnya untuk menjadi wakil ketua.
Slot Wakil Ketua: $9$
Dipilih $1$ calon, tersisa $8$ calon lainnya untuk menjadi sekretaris.
Slot Sekretaris: $8$
Dipilih $1$ calon, tersisa $7$ calon lainnya untuk menjadi bendahara.
Slot Bendahara: $7$
Jadi, banyak cara pemilihannya adalah $\boxed{4 \times 9 \times 8 \times 7 = 36×56 = 2016}$
[collapse]
Baca Juga: Masalah Kombinatorika: Mencari Banyak Rute
Soal Nomor 7
Terdapat $6$ orang dan $3$ kursi. Tentukan banyak cara duduk di kursi yang mungkin terjadi bila:
- tanpa syarat;
- $1$ orang selalu duduk di kursi tertentu;
- $2$ orang tertentu harus sama-sama duduk atau sama-sama berdiri.
Pembahasan (a)
Dalam penyusunan posisi duduk di kasus ini, kita tidak memperhatikan urutan pemilihan mereka. Misal, ketika dipilih A, B, C duduk di kursi, artinya sama saja bila dipilih B, A, C (dibolak-balik dianggap sama), karena yang dipermasalahkan adalah posisi duduk dan berdiri. Jadi, ini adalah kasus kombinasi.
Banyak cara $6$ orang duduk di $3$ kursi tanpa syarat apapun adalah
$\begin{aligned} C^6_3 & = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{\bcancel{6} \cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!} \cdot \bcancel{6}} = 20 \end{aligned}$
[collapse]
Pembahasan (b)
Terdapat $6$ orang dan $3$ kursi.
Diketahui $1$ orang selalu duduk dari kursi tertentu, artinya tersisa $5$ orang dan $2$ kursi yang dapat kita atur/susun menggunakan aturan kombinasi.
$\begin{aligned} C^5_2 & = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{5 \cdot \cancelto{2}{4} \cdot \bcancel{3!}}{\bcancel{3!} \cdot \cancel{2}} = 10 \end{aligned}$
Jadi, ada $10$ cara mengatur posisi duduk mereka.
[collapse]
Pembahasan (c)
Terdapat $6$ orang dan $3$ kursi.
Diketahui $2$ orang tertentu harus sama-sama duduk atau sama-sama berdiri. Misalkan dua orang itu berinisialkan A dan B.
Kasus 1: A dan B duduk
Jika demikian, hanya tersisa $4$ orang dan $1$ kursi. Jelas hanya ada $4$ cara mengatur posisi duduk mereka.
Kasus 2: A dan B berdiri
Jika demikian, hanya tersisa $4$ orang dan $3$ kursi. Banyak cara mengatur posisi duduk mereka adalah
$\begin{aligned} C^4_3 & = \dfrac{4!}{1! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{4 \cdot \bcancel{3!}}{1 \cdot \bcancel{3!}} = 4 \end{aligned}$
Jadi, secara keseluruhan ada $4+4 = 8$ cara mengatur posisi duduk mereka.
[collapse]
Soal Nomor 8
Dari $10$ calon pengurus OSIS akan dipilih $3$ calon untuk mengikuti pelatihan. Tentukan banyak cara memilih yang dapat dilakukan bila:
a. tanpa syarat;
b. $1$ orang tidak bersedia dipilih;
Pembahasan (a)
Kita tidak memperhatikan urutan pemilihan calon pengurus OSIS yang mengikuti pelatihan (misalnya, A, B, C mengikuti pelatihan, sama saja dengan B, A, C mengikuti pelatihan) sehingga ini termasuk kasus kombinasi, yaitu $3$ dari $10$ objek.
$\begin{aligned} C^{10}_3 & = \dfrac{10!}{7! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times \cancel{7!}}{\cancel{7!} \cdot 6} = 120 \end{aligned}$
Jadi, ada $120$ cara yang dapat dilakukan untuk memilih mereka.
[collapse]
Pembahasan (b)
Karena $1$ orang tidak bersedia dipilih, maka kita dapat menganggap hanya ada $9$ calon pengurus OSIS. Banyak cara penyusunan diselesaikan dengan prinsip kombinasi, yaitu $3$ dari $9$ objek.
$\begin{aligned} C^{9}_3 & = \dfrac{9!}{6! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{9 \times 8 \times \times 7 \cancel{6!}}{\cancel{6!} \cdot 6} = 84 \end{aligned}$
Jadi, ada $84$ cara yang dapat dilakukan untuk memilih mereka.
[collapse]
Soal Nomor 9
Dari $8$ siswi dan $6$ siswa akan dipilih $5$ orang untuk menjadi pengurus inti. Tentukan banyak cara memilih pengurus inti bila:
a. tanpa syarat;
b. paling banyak $3$ siswi yang dipilih;
c. paling sedikit $2$ siswa yang dipilih.
Pembahasan
Siswa dipilih untuk menempati pengurus inti (yang dalam hal ini tidak disebutkan jabatan/posisinya dan bersifat umum). Ini artinya, bila siswa A dan B dipilih, maka sama saja artinya dipilih siswa B dan siswa A (tidak mempermasalahkan urutan pemilihan) sehingga banyak pemilihan mengikuti aturan kombinasi.
Jawaban a)
Secara keseluruhan, terdapat $14$ orang yang dapat dipilih untuk menempati $5$ posisi sebagai pengurus inti. Berdasarkan aturan kombinasi, banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^{14}_5 & = \dfrac{14!}{9! \cdot 5!} \\ & = \dfrac{14 \cdot 13 \cdot \bcancel{12} \cdot 11 \cdot \bcancel{10} \cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!} \cdot \bcancel{120}} \\ & = 14 \cdot 13 \cdot 11 = 2002 \end{aligned}$
Jadi, ada $2002$ cara memilih pengurus inti.
Jawaban b)
Paling banyak $3$ siswi mengindikasikan bahwa akan ada $4$ kemungkinan: tidak ada satupun siswi yang dipilih, ada $1$ siswi yang dipilih, ada $2$ siswi yang dipilih, dan ada $3$ siswi yang dipilih.
Kemungkinan 1:
Ketika tidak ada satupun siswi yang dipilih, maka kelima orang yang dipilih merupakan $5$ siswa sehingga banyak cara memilih adalah
$C^6_5 = \dfrac{6!}{5! \cdot 1!} = 6$
Kemungkinan 2:
Satu siswi terpilih, empat lainnya merupakan siswa. Banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^8_1 \times C^6_4 & = \dfrac{8!}{7! \cdot 1!} \times \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} \\ & = 8 \times 15 = 120 \end{aligned}$
Kemungkinan 3:
Dua siswi terpilih, tiga lainnya merupakan siswa. Banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^8_2 \times C^6_3 & = \dfrac{8!}{6! \cdot 2!} \times \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \\ & = 28 \times 20 = 560 \end{aligned}$
Kemungkinan 4:
Tiga siswi terpilih, dua lainnya merupakan siswa. Banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^8_3 \times C^6_2 & = \dfrac{8!}{5! \cdot 3!} \times \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} \\ & = 56 \times 15 = 840 \end{aligned}$
Secara keseluruhan, ada $6 + 120 + 560 + 840 = 1526$ cara memilih.
Jawaban c)
Paling sedikit $2$ siswa mengindikasikan bahwa akan ada $4$ kemungkinan: $2$ siswa, $3$ siswa, $4$ siswa, atau $5$ siswa.
Kemungkinan 1:
Ketika dua siswa yang dipilih, maka tiga orang lainnya yang dipilih merupakan $3$ siswi sehingga banyak cara memilih adalah
$\begin{aligned} C^6_2 \times C^8_3 & = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} \times \dfrac{8!}{5! \cdot 3!} \\ & = 15 \times 56 = 840 \end{aligned}$
Kemungkinan 2:
Tiga siswa terpilih, dua lainnya merupakan siswi. Banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^6_3 \times C^8_2 & = \dfrac{6!}{3! \cdot 3!} \times \dfrac{8!}{6! \cdot 2!} \\ & = 20 \times 28 = 560 \end{aligned}$
Kemungkinan 3:
Empat siswa terpilih, satu lainnya merupakan siswi. Banyak cara memilihnya adalah
$\begin{aligned} C^6_4 \times C^8_1 & = \dfrac{6!}{2! \cdot 4!} \times \dfrac{8!}{7! \cdot 1!} \\ & = 15 \times 8 = 120 \end{aligned}$
Kemungkinan 4:
Kelima orang yang dipilih semuanya merupakan siswa. Banyak cara memilihnya adalah
$C^6_5 = \dfrac{6!}{5! \cdot 1!} = 6$
Secara keseluruhan, ada $840+560+120+6 = 1526$ cara memilih.
[collapse]
Soal Nomor 10
Tes matematika dan kimia dilakukan di suatu kelas yang terdiri dari $80$ orang siswa. Peluang seorang siswa lulus tes matematika saja adalah $0,3$. Peluang seorang siswa lulus tes kimia saja adalah $0,4$. Dipastikan bahwa setiap siswa akan lulus salah satu tes. Tentukan perkiraan banyak siswa yang memenuhi kriteria:
- lulus tes matematika sekaligus tes kimia;
- lulus tes matematika atau tes kimia.
Pembahasan
Berdasarkan teori himpunan, kita dapat buat diagram Venn berikut.
Jawaban a)
Peluang lulus tes matematika sekaligus kimia ditunjukkan oleh irisan diagram Venn di atas, yaitu $1-0,3-0,4 = 0,3$.
Karena banyak siswa ada $80$ orang, maka perkiraan banyak siswa yang lulus kedua tes tersebut adalah
$\begin{aligned} 0,3 \times 80 & = \dfrac{3}{\cancel{10}} \times \cancelto{8}{80} \\ & = 24~\text{orang} \end{aligned}$
Jawaban b)
Peluang lulus salah satu tes saja adalah $0,3+0,4 = 0,7$ sehingga perkiraan banyak siswa yang lulus adalah $0,7 \times 80 = 56$ orang.
[collapse]
Soal Nomor 11
Enam anak diumpamakan bernama $A, B, C, D, E$, dan $F$ akan berfoto sejajar dalam satu baris. Tentukan banyaknya cara berfoto jika:
a. tanpa syarat;
b. $B, C$, dan $D$ harus berdampingan;
c. $A$ dan $B$ tidak boleh berdampingan.
Pembahasan (a)
Perhatikan sketsa berikut.
Keenam anak tersebut dapat bertukar tempat di $6$ posisi berbeda.
Banyak cara mereka berfoto adalah $\boxed{6! = 720}$
[collapse]
Pembahasan (b)
Perhatikan sketsa berikut ($BCD$ berdampingan).
Dengan menganggap $BCD$ sebagai satu objek, kita dapat menganggap bahwa hanya ada $4$ objek yang akan disusun dalam berfoto, yaitu $A$, $BCD$, $E$, dan $F$.
Banyak cara berfoto mereka adalah $4! = 24$.
Perhatikan juga bahwa $BCD$ dapat bertukar-tukar posisi dalam lingkup mereka sendiri (misalnya menjadi $CDB$) dan kita tahu ada sebanyak $3! = 6$ cara mereka berfoto.
Jadi, totalnya sebanyak $\boxed{24 \times 6 = 144}$
[collapse]
Pembahasan (c)
Perhatikan sketsa berikut ($AB$ berdampingan).
Kita akan mencari banyak cara berfoto saat $AB$ berdampingan dulu.
Dengan menganggap $AB$ sebagai satu objek, kita dapat menganggap bahwa hanya ada $5$ objek yang akan disusun dalam berfoto, yaitu $AB$, $C$, $D$ $E$, dan $F$.
Banyak cara berfoto mereka adalah $5! = 120$.
Perhatikan juga bahwa $AB$ dapat bertukar-tukar posisi dalam lingkup mereka sendiri, yaitu menjadi $BA$ sehingga ada $2$ cara berfoto untuk mereka.
Jadi, totalnya sebanyak $120 \times 2 = 240.$
Berdasarkan pembahasan (a), banyak cara mereka berfoto tanpa syarat adalah $720$.
Karena itu, banyak cara berfoto dengan syarat $A$ dan $B$ tidak berdampingan adalah $\boxed{720-240 = 480}$
[collapse]
Baca Juga: Prinsip Sarang Merpati – Materi, Soal, dan Pembahasan
Soal Nomor 12
Suatu keluarga yang terdiri dari ayah, ibu, dan $2$ anak laki-laki, serta $2$ anak perempuan. Tentukan banyaknya cara agar mereka dapat berfoto bersama dalam satu baris bila:
- tanpa syarat;
- ayah dan ibu selalu berada di tengah;
- ayah dan ibu selalu berdampingan;
- masing-masing dari dua anak laki-laki dan dua anak perempuan selalu berdampingan.
Pembahasan
Cara mengatur posisi berfoto sebenarnya analog (serupa) dengan cara mengatur sejumlah huruf/angka.
Jawaban a)
Banyak cara mengatur keluarga yang terdiri dari $6$ orang itu berfoto adalah
$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720.$
Jawaban b)
Perhatikan sketsa slot berikut.
Ketika ayah dan ibu di tengah, kita hanya perlu menghitung cara berfoto empat orang lainnya, lalu dikali $2$ (dengan alasan bahwa posisi ayah-ibu dan ibu-ayah berfoto dibedakan).
Jadi, banyak cara berfoto adalah $4! \times 2 = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 2 = 48.$
Jawaban c)
Saat ayah dan ibu berdampingan, kita anggap mereka berdua sebagai satu kesatuan (satu objek). Untuk itu, kita seolah-olah mengatur cara berfoto dari $5$ orang. Banyak cara berfoto yang didapat nantinya perlu dikali $2$ karena posisi ayah-ibu dan ibu-ayah berbeda.
Jadi, banyak cara berfoto adalah $5! \times 2 = (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 2$ $= 240.$
Jawaban d)
Saat masing-masing dari dua anak laki-laki dan dua anak perempuan selalu berdampingan, kita anggap dua anak laki-laki maupun dua anak perempuan sebagai satu kesatuan (satu objek). Kita seolah-olah mengatur cara berfoto dari $4$ orang.
Banyak cara berfoto yang didapat nantinya perlu dikali $2$, lalu dikali $2$ lagi karena posisi L1-L2 dan L2-L1 berbeda, termasuk juga P1-P2 dan P2-P1.
Jadi, banyak cara berfoto adalah $4! \times 2 \times 2 = (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 2 \times$ $2 = 96.$
[collapse]
Soal Nomor 13
Tentukan banyak susunan kata berbeda yang dapat dibentuk dari huruf pembentuk kata:
a. WISUDA;
b. MATEMATIKA;
c. INDONESIA;
d. PANCASILA.
Pembahasan (a)
Kata WISUDA terdiri dari $6$ huruf yang semuanya berbeda.
Dengan menggunakan aturan permutasi, banyak susunan katanya adalah
$\boxed{6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720}$
[collapse]
Pembahasan (b)
Kata MATEMATIKA terdiri dari $10$ huruf dengan kemunculan $2$ huruf M, $2$ huruf T, dan $3$ huruf A.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak susunan katanya adalah
$$\boxed{\dfrac{10!}{2! \cdot 3! \cdot 2!} = \dfrac{10 \cdot \cancelto{3}{(9 \cdot 8)} \cdot 7!}{\cancel{24}} = 10 \cdot 3 \cdot 5.040 = 151.200}$$
[collapse]
Pembahasan (c)
Kata INDONESIA terdiri dari $9$ huruf dengan kemunculan $2$ huruf N dan $2$ huruf I.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak susunan katanya adalah
$$\boxed{\dfrac{8!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{\cancelto{2}{8} \cdot 7!}{\cancel{4}} = 2 \cdot 5.040 = 10.080}$$
[collapse]
Pembahasan (d)
Kata PANCASILA terdiri dari $9$ huruf dengan kemunculan $3$ huruf A.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak susunan katanya adalah
$$\boxed{\dfrac{9!}{3!} = \dfrac{\cancelto{12}{(9 \cdot 8)} \cdot 7!}{\cancel{6}} = 12 \cdot 5.040 = 60.480}$$
[collapse]
Soal Nomor 14
Tentukan banyak susunan angka berbeda yang dapat dibentuk dari angka pembentuk bilangan:
a. $123456$;
b. $087818001796$;
c. $3334445555$.
Pembahasan
Jawaban a)
$123456$ terdiri dari $6$ angka yang semuanya berbeda.
Dengan menggunakan aturan permutasi, banyak susunan yang dapat dibuat adalah $6! = 720$.
Jawaban b)
$087818001796$ terdiri dari $12$ angka: $8$ muncul $3$ kali, $0$ muncul $3$ kali, $1$ muncul $2$ kali, $7$ muncul $2$ kali.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak susunan yang dapat dibuat adalah $\dfrac{12!}{3! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 2!}$.
Jawaban c)
$3334445555$ terdiri dari $10$ angka: $3$ muncul $3$ kali, $4$ muncul $3$ kali, dan $5$ muncul $4$ kali.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak susunan yang dapat dibuat adalah $\dfrac{10!}{3! \cdot 3! \cdot 4!}$.
[collapse]
Soal Nomor 15
Seorang siswa diwajibkan mengerjakan $8$ dari $12$ soal. Tentukan banyak pilihan yang dapat diambil siswa tersebut bila:
- tanpa syarat;
- soal nomor 1 sampai 4 wajib dikerjakan;
- soal nomor ganjil wajib dikerjakan.
Pembahasan
Jawaban a)
Perhatikan bahwa ketika siswa memilih menjawab soal nomor $1$ dan $2$, maka itu sama saja dengan siswa itu menjawab soal nomor $2$ dan $1$ (tidak memperhatikan urutan pengerjaan) sehingga ini termasuk kasus kombinasi.
Dari $12$ soal, siswa wajib mengerjakan $8$ soal. Jadi, banyak cara memilih soal yang akan dijawab adalah
$\begin{aligned} C^{12}_8 & = \dfrac{12!}{8! \cdot 4!} \\ & = \dfrac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot \cancel{8!}}{\cancel{8!} \cdot 4!} \\ & = 495 \end{aligned}$
Jawaban b)
Soal nomor $1$ sampai $4$ wajib dikerjakan. Artinya, dari $8$ soal, siswa itu hanya tinggal memilih $\color{blue}{4}$ soal lain untuk dijawab dari soal nomor $5$ sampai $12$ (ada sebanyak $\color{red}{8}$ soal).
Banyak cara memilih soal yang akan dijawab adalah
$C^{\color{red}{8}}_{\color{blue}{4}} = \dfrac{8!}{4! \cdot 4!} = \dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 4!} = 70$
Jawaban c)
Soal nomor ganjil wajib dikerjakan, yaitu nomor $1, 3, 5, 7, 9$, dan $11$. Dari $8$ soal yang harus dikerjakan, sekarang hanya tersisa $\color{blue}{2}$ soal dari $\color{red}{6}$ soal yang tersedia.
Banyak cara memilih soal yang akan dijawab adalah
$C^{\color{red}{6}}_{\color{blue}{2}} = \dfrac{6!}{4! \cdot 2!} = \dfrac{6 \cdot 5 \cdot \cancel{4!}}{\cancel{4!} \cdot 2!} = 15$
[collapse]
Soal Nomor 16
Dalam suatu jamuan makan malam, sebuah keluarga terdiri dari suami istri dan empat anaknya. Tentukan banyak cara yang dapat dilakukan untuk duduk mengelilingi meja makan bila:
- tanpa syarat;
- suami istri harus duduk berdampingan;
- suami istri tidak boleh duduk berdampingan.
Pembahasan
Jawaban a)
Posisi duduk melingkar menandakan penggunaan permutasi siklis.
Ada $\color{blue}{6}$ orang yang akan diatur posisi duduknya secara melingkar sehingga banyak cara untuk duduk adalah $(\color{blue}{6}-1)! = 5! = 120$.
Jawaban b)
Suami istri harus duduk berdampingan sehingga kita anggap mereka berdua sebagai satu objek.
Artinya, kita tinggal atur posisi $\color{red}{5}$ objek saja.
Berdasarkan aturan permutasi siklis, diperoleh banyak cara duduknya adalah $(\color{red}{5}-1)! = 4! = 24$.
Perhatikan juga bahwa suami-istri dapat bertukar tempat menjadi istri-suami (ada $\color{green}{2}$ cara duduk) dalam posisi duduknya sehingga keseluruhan ada $\color{green}{2} \times 24 = 48$.
Jawaban c)
Untuk menghitung banyak cara duduk jika suami istri tidak duduk berdampingan, kita hanya perlu mengurangi banyak cara duduk secara keseluruhan (tanpa syarat) terhadap banyak cara duduk saat suami istri harus berdampingan.
Berdasarkan jawaban sebelumnya, kita peroleh $120-48 = 72$.
[collapse]
Soal Nomor 17
Kode kupon hadiah untuk belanja pada toko swalayan bernama Mathmart berupa bilangan yang tersusun dari angka $2, 3, 3, 5, 8$.
Jika kupon tersebut disusun kodenya dari urutan bilangan terkecil sampai terbesar, maka tentukan urutan kupon dengan kode:
a. $28533$;
b. $53283$.
Pembahasan
Susunan bilangan menggunakan angka $2, 3, 3, 5, 8$.
Jawaban a)
Jumlah kupon nomor urut: $23XXX$
$= 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$.
Jumlah kupon nomor urut: $25XXX$
ada $3$, yaitu $23558, 25383, 25833$.
Selanjutnya, diikuti oleh $\underbrace{28335}_{10}$, $\underbrace{28353}_{11}$, dan $\underbrace{28533}_{12}$.
Jadi, kupon dengan nomor $28533$ berada pada urutan ke-$12$.
Jawaban b)
Jumlah kupon nomor urut: $2XXXX$ (angka $3$ muncul $\color{blue}{2}$ kali)
$= \dfrac{4!}{\color{blue}{2}!} = 4 \times 3 = 12$
Jumlah kupon nomor urut: $3XXXX$
$= 4! = 24$.
Jumlah kupon nomor urut: $52XXX$ (angka $3$ muncul $\color{blue}{2}$ kali)
$= \dfrac{3!}{\color{blue}{2}!} = 3$.
Selanjutnya, diikuti oleh $\underbrace{53238}_{40}$ dan $\underbrace{53283}_{41}$.
Jadi, kupon dengan nomor $53283$ berada pada urutan ke-$41$.
[collapse]
Soal Nomor 18
Seorang anak memasuki sebuah gedung yang memiliki $5$ pintu masuk-keluar.
Tentukan banyak cara yang mungkin untuk masuk- keluar gedung jika:
- ia tidak boleh melewati pintu yang sama;
- ia boleh melewati pintu yang sama;
- terdapat $1$ pintu rahasia yang hanya boleh digunakan untuk keluar gedung dan ia tidak diperbolehkan melewati pintu yang sama;
- terdapat $2$ pintu rahasia yang hanya boleh digunakan untuk masuk gedung dan ia diperbolehkan melewati pintu yang sama.
Pembahasan
Jawaban a)
Masuk melalui $5$ pintu, tetapi keluar hanya dapat melalui $4$ pintu, karena tidak boleh masuk-keluar pada pintu yang sama. Banyak cara untuk masuk-keluar adalah $5 \times 4 = 20$.
Jawaban b)
Masuk melalui $5$ pintu dan keluar juga melalui $5$ pintu. Banyak cara untuk masuk-keluar adalah $5 \times 5 = 25$.
Jawaban c)
Masuk melalui $\color{red}{5}$ pintu dan keluar hanya melalui $4$ pintu, tetapi karena terdapat $1$ pintu rahasia untuk keluar, maka ini berarti ada $\color{blue}{5}$ pintu yang dapat digunakan untuk keluar.
Banyak cara untuk masuk-keluar adalah $\color{red}{5} \times \color{blue}{5} = 25$.
Jawaban d)
Masuk melalui $7$ pintu ($5$ pintu biasa ditambah $2$ pintu rahasia) dan keluar melalui $5$ pintu.
Banyak cara untuk masuk-keluar adalah $\color{red}{7} \times \color{blue}{5} = 35$.
[collapse]
Soal Nomor 19
Sebuah keranjang berisi $6$ buah apel, $5$ buah jeruk, dan $2$ buah mangga. Jika seorang anak mengambil $3$ buah secara acak dari keranjang tersebut, maka berapa peluang bahwa yang terambil paling tidak satu di antaranya adalah buah:
a. jeruk;
b. mangga;
c. apel?
Pembahasan
Banyak buah seluruhnya = $6+5+2 = 13$.
Kasus ini termasuk kasus kombinasi karena pengambilan buah tidak memandang urutan pemilihan (sebagai contoh: mengambil jeruk, apel, mangga, sama saja mengambil apel, mangga, jeruk).
Jawaban a)
Kejadian paling tidak satu (minimal satu, tidak boleh kurang darinya) di antara $3$ buah yang terambil adalah buah jeruk memiliki komplemen kejadian tidak terambilnya satu pun buah jeruk.
Karena diambil $\color{red}{3}$ buah dan terdapat $\color{blue}{6+2 = 8}$ buah yang bukan jeruk, maka dengan menggunakan komplemen peluang dan aturan kombinasi, diperoleh
$\begin{aligned} P(A) & = 1-\dfrac{C^8_3}{C^{13}_3} \\ & = 1-\dfrac{\dfrac{8!}{5! \cdot 3!}}{\dfrac{13!}{10! \cdot 3!}} \\ & = 1-\dfrac{8 \cdot 7 \cdot 6}{13 \cdot 12 \cdot 11} \\ & = 1-\dfrac{28}{143} = \dfrac{115}{143} \end{aligned}$
Jadi, peluang setidaknya ada satu buah jeruk di antara $3$ buah yang terambil adalah $\boxed{\dfrac{115}{143}}$
Jawaban b)
Kejadian paling tidak satu (minimal satu, tidak boleh kurang darinya) di antara $3$ buah yang terambil adalah buah mangga memiliki komplemen kejadian tidak terambilnya satu pun buah mangga.
Karena diambil $\color{red}{3}$ buah dan terdapat $\color{blue}{6+5 = 11}$ buah yang bukan mangga, maka dengan menggunakan komplemen peluang dan aturan kombinasi, diperoleh
$\begin{aligned} P(B) & = 1-\dfrac{C^{11}_3}{C^{13}_3} \\ & = 1-\dfrac{\dfrac{11!}{8! \cdot 3!}}{\dfrac{13!}{10! \cdot 3!}} \\ & = 1-\dfrac{\cancel{11} \cdot 10 \cdot \cancelto{3}{9}}{13 \cdot \cancelto{4}{12} \cdot \cancel{11}} \\ & = 1-\dfrac{15}{26} = \dfrac{11}{26} \end{aligned}$
Jadi, peluang setidaknya ada satu buah mangga di antara $3$ buah yang terambil adalah $\boxed{\dfrac{11}{26}}$
Jawaban c)
Kejadian paling tidak satu (minimal satu, tidak boleh kurang darinya) di antara $3$ buah yang terambil adalah buah apel memiliki komplemen kejadian tidak terambilnya satu pun buah apel.
Karena diambil $\color{red}{3}$ buah dan terdapat $5+2 = 7$ buah yang bukan jeruk, maka dengan menggunakan komplemen peluang dan aturan kombinasi, diperoleh
$\begin{aligned} P(A) & = 1-\dfrac{C^7_3}{C^{13}_3} \\ & = 1-\dfrac{\dfrac{7!}{4! \cdot 3!}}{\dfrac{13!}{10! \cdot 3!}} \\ & = 1-\dfrac{7 \cdot \cancel{6} \cdot 5}{13 \cdot \cancelto{2}{12} \cdot 11} \\ & = 1-\dfrac{35}{286} = \dfrac{251}{286} \end{aligned}$
Jadi, peluang setidaknya ada satu buah apel di antara $3$ buah yang terambil adalah $\boxed{\dfrac{251}{286}}$
[collapse]
Soal Nomor 20
Di dalam sebuah kotak terdapat $5$ bola, masing-masing bernomor $1, 2, 3, 4$, dan $5$. Seorang anak mengambil sebuah bola secara acak, mencatat nomornya, lalu mengembalikannya lagi ke dalam kotak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak $5$ kali. Tentukan peluang bahwa jumlah kelima nomor yang terambil adalah:
a. enam;
b. tujuh.
Pembahasan
Jawaban a)
Berdasarkan eksperimen tersebut, kita harus menentukan nilai $(a, b, c, d, e)$ dengan $a, b, c, d, e \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ sedemikian sehingga
$a+b+c+d+e = 6$.
Satu-satunya formasi yang memenuhi persamaan tersebut adalah satu $2$ dan empat $1$ yang meliputi $(2, 1, 1, 1, 1)$ beserta permutasinya yang lain. Seluruhnya ada $\dfrac{5!}{\underbrace{4!}_{\text{dari banyak angka 1}}} = \color{red}{5}$.
Karena bola diambil satu per satu dan dikembalikan sebanyak $5$ kali, maka peluangnya adalah
$P(A’) = \left(\dfrac15\right)^5$
Peluang total setelah dikali $\color{red}{5}$ adalah
$\boxed{P(A) = 5 \times \left(\dfrac15\right)^5 = \dfrac{1}{625}}$
Jawaban b)
Berdasarkan eksperimen tersebut, kita harus menentukan nilai $(a, b, c, d, e)$ dengan $a, b, c, d, e \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ sedemikian sehingga
$a+b+c+d+e = 7$.
Ada dua formasi yang memenuhi persamaan tersebut, yaitu:
- dua $2$ dan tiga $1$, yakni $(2, 2, 1, 1, 1)$ dengan banyak permutasi $\dfrac{5!}{2! \cdot 3!} = 10$.
- satu $3$ dan empat $1$, yakni $(3, 1, 1, 1, 1)$ dengan banyak permutasi $\dfrac{5!}{4!} = 5$.
Total permutasi = $10+5 = \color{red}{15}$.
Karena bola diambil satu per satu dan dikembalikan sebanyak $5$ kali, maka peluangnya adalah
$P(B’) = \left(\dfrac15\right)^5$
Peluang total setelah dikali $\color{red}{15}$ adalah
$\boxed{P(B) = 15 \times \left(\dfrac15\right)^5 = \dfrac{3}{125}}$
[collapse]
Soal Nomor 21
Tentukan banyaknya cara menyusun huruf-huruf pembentuk kata MATEMATIKA apabila:
- tanpa syarat apapun;
- kedua huruf T harus berdampingan;
- kedua huruf M harus berada di ujung;
- tidak boleh ada huruf vokal yang berdampingan;
- huruf konsonan muncul lebih dulu.
Pembahasan
Jawaban a)
MATEMATIKA terdiri dari $10$ huruf. Adapun huruf yang muncul lebih dari sekali adalah huruf M muncul $2$ kali, T muncul $2$ kali, dan A muncul $3$ kali.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak cara menyusun huruf pembentuk kata itu adalah
$\begin{aligned} \dfrac{10!}{2! \cdot 2! \cdot 3!} & = \dfrac{10 \cdot \cancelto{3}{9 \cdot 8} \cdot 7!}{\cancel{2 \cdot 2 \cdot 6}} \\ & = 30 \cdot 5.040 \\ & = 151.200. \end{aligned}$
Jawaban b)
Karena dua huruf T harus berdampingan, kita anggap saja bahwa TT merupakan satu huruf. Dengan kata lain, huruf pembentuk kata MATEMATIKA dianggap sebanyak $9$ huruf saja, di mana A muncul $3$ kali dan M muncul dua kali. Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak cara menyusun huruf pembentuk kata itu adalah
$\begin{aligned} \dfrac{9!}{2! \cdot 3!} & = \dfrac{\cancelto{6}{9 \cdot 8} \cdot 7!}{\cancel{2 \cdot 6}} \\ & = 6 \cdot 5.040 = 30.240. \end{aligned}$
Jawaban c)
Kedua huruf M harus berada di ujung.
Kita hanya perlu menyusun $8$ huruf lainnya, di mana ada huruf yang muncul lebih dari sekali, yaitu huruf A muncul $3$ kali dan T muncul $2$ kali.
Dengan menggunakan aturan permutasi berulang, banyak cara menyusun huruf pembentuk kata itu adalah
$\dfrac{8!}{2! \cdot 3!} = \dfrac{\cancelto{4}{8} \cdot 7 \cdot \bcancel{6} \cdot 5!}{\cancel{2} \cdot \bcancel{3!}} = 3.360.$
Jawaban d)
Perhatikan sketsa slot berikut.
Berdasarkan sketsa di atas, banyak cara mengatur susunan huruf konsonan dalam slot biru di atas (huruf M dan T muncul dua kali) adalah $\dfrac{5!}{2! \cdot 2!} = \dfrac{120}{4} = 30$, sedangkan banyak cara mengatur susunan huruf vokal dalam slot hijau (huruf A muncul tiga kali) adalah $\dfrac{5!}{3!} = 20$. Selain itu, kita juga bisa menukar posisi huruf vokal dan konsonan (contoh: MAMA menjadi AMAM) sehingga hasil permutasi perlu dikali $2.$
Secara keseluruhan, ada $\boxed{30 \times 20 \times 2= 1.200}$ cara mengatur susunan huruf MATEMATIKA bila diberikan syarat tidak boleh ada huruf vokal yang berdampingan.
Jawaban e)
Perhatikan sketsa slot berikut.
Kata MATEMATIKA terdiri dari $5$ huruf konsonan dan $5$ huruf vokal.
Untuk mengatur susunan $5$ huruf konsonan di depan, di mana huruf M dan T muncul $2$ kali, banyak cara yang dapat dilakukan adalah $\dfrac{5!}{2! \cdot 2!} = 30$.
Untuk mengatur susunan $5$ huruf vokal di belakang, di mana huruf $A$ muncul $3$ kali, banyak cara yang dapat dilakukan adalah $\dfrac{5!}{3!} = 20$.
Secara keseluruhan, ada $\boxed{30 \times 20 = 600}$ cara menyusun susunan huruf-huruf tersebut.
[collapse]
Baca: Soal dan Pembahasan – Distribusi Normal
Soal Nomor 22
Tentukan banyaknya segitiga yang dapat dibentuk dari:
a. $5$ titik;
b. $12$ titik;
c. $100$ titik.
Catatan:Asumsikan tidak ada $3$ titik yang segaris.
Pembahasan (a)
Segitiga merupakan bangun datar yang dapat dibentuk dari $3$ titik yang tidak segaris.
Suatu segitiga akan tetap dianggap sama meskipun ditarik mulai dari titik yang berbeda pada $3$ titik tertentu (misalkan segitiga $ABC$ dan $BAC$ adalah sama) sehingga ini merupakan kasus kombinasi.
Ada $5$ titik tidak segaris dan untuk membuat segitiga dibutuhkan $3$ titik. Gunakan rumus kombinasi $3$ objek dari $5$ objek.
$\begin{aligned} C^5_3 & = \dfrac{5!}{3! \cdot 2!} \\ & = \dfrac{5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!}}{\cancel{3!} \cdot 2} = 10 \end{aligned}$
Ada $10$ segitiga berbeda yang dapat dibentuk.
Ilustrasi: Misalkan ada titik $A, B, C, D$, dan $E$ (tidak ada $3$ titik yang segaris). Sepuluh segitiga itu adalah
$\triangle ABC, \triangle ABD, \triangle ABE, \triangle ACD$, $\triangle ACE, \triangle ADE,\triangle BCD, \triangle BCE$,$\triangle BDE, \triangle CDE$.
[collapse]
Pembahasan (b)
$\begin{aligned} C^{12}_3 & = \dfrac{12!}{9! \cdot 3!} \\ & = \dfrac{\cancelto{2}{12} \cdot 11 \cdot 10 \cdot \cancel{9!}}{\cancel{9!} \cdot \cancel{6}} = 220 \end{aligned}$
Ada $\boxed{220}$ segitiga yang dapat dibentuk dari $12$ titik yang tidak segaris.
[collapse]
