Diketahui banyaknya suku barisan aritmatika adalah 53. Jika suku pertamanya 5

Edumatik.Net – Kali ini Kita akan pelajari materi barisan aritmatika secara lebih mendalam lagi, kira-kira sub materinya apa? Yap benar, materinya yaitu suku tengah barisan aritmatika.

Dibawah akan dijelaskan contoh soal suku tengah barisan aritmatika beserta jawabannya, dengan contoh-contoh tersebut pastinya Kamu gak akan bingung lagi.

Suku tengah barisan aritmatika itu apa sih?
Misalkan ada barisan aritmatika dengan beda atau selisih antara dua suku berurutan adalah 3, contohnya \(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20\). Nah suku tengah dari barisan tersebut adalah 11, sebab berada di tengah-tengah suku lainnya.

Suku tengah itu selalu berada di tengah dan membagi suku pada barisan tersebut sama banyak. Pada contoh diatas, suku tengah membagi barisan menjadi dua bagian yaitu disebelah kiri dan kanan suku tengah menjadi tiga suku yaitu \(2, 5, 8\) dan \(14, 17, 20\).

Suatu barisan aritmatika mempunyai suku tengah jika jumlah sukunya ganjil, jika jumlah sukunya genap tidak ada suku tengahnya. Contoh, \(2, 5, 8, 11\) tidak mempunyai suku tengah.

Gimana, paham kan?
Kalau jumlah sukunya sedikit, mungkin Kamu bisa menuliskannya manual dan bisa langsung kelihatan suku tengahnya. Tapi bagaimana kalau jumlah sukunya banyak? Pasti repot kan?

Eits jangan frustasi dulu, karena suku tengah itu ada rumusnya. Sebelum menggunakan rumus suku tengah barisan aritmatika sebaiknya kita buktikan dulu rumus tersebut. Jangan sampai Kita menggunakan rumus tapi gak tau asal-usulnya dari mana.

Nah berikut adalah pembuktian rumus suku tengah barisan aritmatika, simak baik-baik.

Dibawah ini adalah rumus umum barisan aritmatika dengan suku pertama \(a\) dan selisih atau beda \(b\).

Misalkan 3 Suku Pertama
\(a, (a+b), (a+2b)\)

Dari barisan tersebut, Kita bisa lihat kalau suku tengahnya adalah \(U_t = a+b\).

Sekarang lihatlah suku awal dan suku akhirnya, jika suku awal dan suku akhir di jumlahkan kemudian dibagi dengan \(2\) maka hasilnya akan menjadi suku tengah.

\(\frac{U_1 + U_3}{2} = \frac{a+(a+2b)}{2}\)

\(\frac{U_1 + U_3}{2} = \frac{a+a+2b}{2}\)

\(\frac{U_1 + U_3}{2} = \frac{2a+2b}{2}\)

\(\frac{U_1 + U_3}{2} = a+b\)

Misalkan 5 Suku Pertama
\(a, (a+b), (a+2b), (a+3b), (a+4b)\)

Suku tengahnya \(U_t = a+2b\)

Suku tengah ini bisa didapatkan dari penjumlahan suku awal dan suku akhir kemudian dibagi \(2\).

\(\frac{U_1 + U_5}{2} = \frac{a+(a+4b)}{2}\)

\(\frac{U_1 + U_5}{2} = \frac{a+a+4b}{2}\)

\(\frac{U_1 + U_5}{2} = \frac{2a+4b}{2}\)

\(\frac{U_1 + U_5}{2} = a+2b\)

Dari sini dapat Kita simpulkan bahwa nilai suku tengah barisan aritmatika adalah bisa didapatkan dengan cara menjumlahkan suku pertama dan suku terakhir kemudian dibagi \(2\)

Contoh:
Diketahui barisan aritmatika \(3, 7, 11, . . . , 99\). Berapakah nilai suku tengah barisan terebut?

Jawab:
Diketahui \(a=3\), \(b=4\), dan \(u_n =99\)

\(U_t = \frac{1}{2} (a + u_n) = \frac{a + u_n}{2}\)

\(U_t = \frac{3 + 99}{2}\)

\(U_t = \frac{102}{2}\)

\(U_t = 51\)

Gimana, mudah banget kan untuk menentukan suku tengahnya?

Nah sekarang muncul pertanyaan lagi, suku tengah tersebut berada pada suku ke berapa?

Bagaimana cara menjawabnya? Kita akan mencari rumusnya bersama-sama.

Nah biar lebih mudah, Kita akan gunakan kembali contoh barisan aritmatika yang sebelumnya, yaitu \(2, 5, 8, 11, 14, 17, 20\)

Kita tahu bahwa banyaknya suku barisan tersebut ada \(7\), suku tengahnya adalah \(11\), dan suku tengah tersebut terletak pada suku ke \(4\).

Cara menentukan letak suku tengah bisa dengan menambahkan \(1\) pada banyaknya suku kemudian dibagi dengan \(2\).

\(t = \frac {7+1}{2} = \frac {8}{2} = 4\)Sama kan dengan kenyataannya?

Jadi dapat kita simpulkan bahwa rumus letak suku tengah itu adalah \(t = \frac{n+1}{2}\) atau dapat ditulis juga sebagai berikut:

BARISAN DAN ARITMETIKA

Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret..  Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan

Aritmatika atau aritmetika yang kata yang berasal dari bahasa Yunani αριθμός = angka yang dulu biasa disebut Ilmu Hitung merupakan cabang tertua (atau pendahulu) dari matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan.

Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama/tetap.

Rumusan Barisan Aritmatika

Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus berikut :

U1, U2, U3, ….Un a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + (n-1) b

Selisih (beda) dinyatakan dengan b

b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1

Suku ke n barisan aritmatika (Un) dinyatakan dengan rumus:

Un = a + (n-1) b

Keterangan :

Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …

a = suku pertama → U1 = a

b = selisih/beda

(1) 3, 7, 11, 15, 19, …
(2) 30, 25, 20, 15, 10,…

 

Bentuk Barisan Aritmatika

Keterangan:
a = U1 = Suku pertama

b = beda

n = banyak suku

Un= Suku ke-n

Contoh Barisan Aritmatika

1. Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 3 dan bedanya = 4, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah …

Penyelesaian:

a = 3

b = 4

1. Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut: 5, 8, 11, … Tentukan: Nilai suku ke-15 !
   Penyelesaian:

Suku Tengah Barisan Aritmatika

Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku (n) ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut:

Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c. Barisan (l) mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar. Barisan (2) mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.

Suatu barisan U1, U2, U3,….disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan (l).

3, 7, 11, 15, 19, …

Misalkan U1, U2, U3 , …. adalah barisan aritmetika tersebut maka

U1 = 3 =+ 4 (0)

U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 (1)

U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 (2)….

Un = 3 + 4(n-1)

Secara umum, jika suku pertama (U1) = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4(n – 1) diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan

Un = a + b(n-1)

Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.

U1, U2, U3, …….Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 – U1 = U3 – U2 = …. = Un – Un-1 = konstanta Un = a + (n-1)b = bn + (a-b) → Fungsi linier dalam n

 

Contoh Barisan Aritmatika :

Tentukanlah suku ke 15 barisan 2, 6, 10, 14, …

Jawab:

n = 15

b = 6-2 = 10 – 6 = 4

U1 = a = 2

Un = a + (n-1) b

U15 = 2 + (15-1)4

= 2 + 14.4

= 2 + 56 = 58

Diketahui barisan aritmetika  3, 8, 13, …

1. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
2. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab :

Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

Un   = a + (n – 1)b

U10  = 3 + (10 – 1)5

= 3 + 9 x 5

= 3 + 45

= 48

Un   = a + (n – 1)b

= 3 + (n – 1)5

= 3 + 5n – 5

= 5n – 2

Misalkan Un = 198, maka berlaku :

Un  = 198

5n – 2 = 198

5n  = 200

n = 40

Jadi 198 adalah suku ke- 40

 

Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan aritmatika.

 

Rumus Deret Aritmatika

Bentuk umum deret aritmatika :

a + (a + b) + (a+2b) + (a+3b) + … + (a+(n-1)b )

Jumlah suku hingga suku ke n pada barisan aritmatika dirumuskan dengan:

Sn = (2a + (n-1) b ) atau Sn = ( a + Un )

Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, … barisan aritmetika. U1, U2, U3, … adalah deret aritmetika.

Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan (l ).

3 +7 + 1l + 15 + 19 + …

Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah :

Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah

 

Sisipan pada Barisan Aritmatika

Apabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan (suku baru) sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka:

Beda barisan aritmatika setelah disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan:

Keterangan:

b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku

n’ = banyak suku barisan aritmatika baru

n = banyak suku barisan aritmatika lama

k = banyak suku yang disisipkan

Sn’ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku

Contoh Sisipan Barisan Aritmatika

Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah …

Penyelesaian:

Diketahui: deret aritmatika mula-mula: 20 + 116

a = 20

Un = 116

n = 2

k = 11 bilangan

banyaknya suku baru : n’ = n + (n-1) k

= 2 + (2-1) 11 = 2 + 11 = 13

Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884

Contoh Soal Deret Aritmatika

Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35, …
Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

Jawab:

n = 10

U1 = a = 5

b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10

Sn = (2a + (n-1) b )

S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)

= 5 ( 10 + 9.10)

= 5 . 100 = 500

1. Jumlah suku yang pertama dari barisan 20 + 15 + 10 +…… adalah …..

a). -550

b). -250

c). -75

d). -115

c). -250

Penyelesaian :

a = 20

b = U2-U1

   = 15-20

   =   -5

Sn =  n (a + Un)

Un = a + (n – 1) b

U20 = 20 + (20-1)(-5)

        = 20 + (19) (-5)

        = 20 – 95

        = – 75

S20 =  . 20 (20 + (-75))

       = 10 (-55)

S20 = – 550

Jawaban : A

2. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ….. adalah …..

a). 105

b). 120

c). 150

d). 155

e). 165

Penyelesaian :

a = 3

b = U3 – U2 – 1

   = U3 – U2

   = 7 – 5

 = 2

Sn =  n (2a + (n-1)b)

     =  10 (2 (5) + (10-1)2)

     = 5 (6+9) 2

     = 120

 Jawaban : B

3. Diketahui barisan aritmatikan dengan U4 = 11 dan U8 = 23. Suku ke 15 dari suku barisan aritmatika itu adalah …..

a). 345

b). 44

c). 49

d). -40

e). -44

Penyelesaian :

Un = a + (n-1)b

= a + (4-1)b = 11

= a + 36 = 11

U8 = a + (8-1)b = 23

= a + 7b = 23

Eliminasi a + 3b = 11

                a + 7b = 23

                     -4b = -12

                         b =  = 3

Substansi a + 3b = 11

                a + 3 (3) = 11

                a + 9 = 11

                      a = 11 – 9 = 2

U15

Un = a + (n-1) b

U15 = 2 + (15-1) 3

        = 2 + (14 x 3) = 44

Jawaban : B

SETELAH MEMBACA MATERI DI ATAS, SILAHKAN KERJAKAN SOAL PADA LKS HALAMAN 15, SOAL NOMOR 1, 2 DAN 3.

JAWABAN DAN ABSENSI KEHADIRAN SILAHKAN ISI LINK DI BAWAH INI:

https://forms.gle/4Phj4YcdrFxYLHh18