Jelaskan apa itu gradien pada persamaan garis lurus?

Persamaan Garis Lurus – Selamat datang diwebsite kami caraharian.com yang selalu uptodate dalam membahas pelajaran matematika. Nah, kali ini kami akan membahas salah satu materi matematika yang penting untuk dipelajari, yaitu persamaan garis lurus dan gradien.

Ulasan materi yang akan kami sampaikan kali ini meliputi gradien, rumus persamaan garis lurus, dan  metode cara untuk menentukan persamaan garis lurus. Untuk melengkapi materi ini pada bagian akhir kami juga akan memberikan contoh soal yang sudah dilengkapi dengan jawabannya sehingga akan memudahkan Anda untuk mempelajarinya.

Sebelumnya perlu diketahui bahwa ciri-ciri yang dimiliki oleh persamaan garis lurus adalah variebelnya memiliki pangkat tertinggi satu. Nah, sebelum Anda mempelajari materi ini untuk dapat menentukan persaman garis lurus, maka Anda harus memahami cara menggambar persamaan garis lurus. Hal ini karena materi tersebut akan sangat membantu Anda dalam memahami materi persamaan garis lurus.

Pengertian garis lurus sendiri adalah sekumpulan titik-titik yang memiliki jumlah tak terhingga dan saling berdampingan. Garis lurus dapat dinyatakan dalam berbagai macam bentuk persamaan garis lurus, bahkan sebuah garis lurus dapat dinyatakan dalam lebih dari satu persamaan.

Pengertian Persamaan Garis Lurus

Seperti yang sudah kami jelaskan sebelumnya bahwa persamaan ini menyatakan suatu persamaan yang bisa mengartikan sebuah garis lurus ke dalam sebuah persamaan. Jadi, definisi dari persamaan garis lurus adalah suatu persamaan yang jika digambarkan ke dalam suatu bidang koordinat cartesius hasilnya akan membentuk suatu garis lurus. Adapun yang dimaksud garis lurus adalah sekumpulan titik-titik yang letaknya saling sejajar atau lurus.

Gradien

Sebelum membahas lebih lanjut mengenai rumusnya, penting sekali untuk mengetahui sebuah komponen yang tidak bisa lepas dari persamaan garis lurus. Adapun komponen penting yang kami maksud disini adalah gradien.

Gradien adalah sebuah perbandingan komponen y dan komponen x, atau yang biasa disebut dengan kecondongan dari sebuah garis. Lambang atau simbol yang dimiliki oleh gradien adalah huruf m.

Gradien juga dapat diartikan sebagai suatu nilai yang telah menyatakan kemiringan suatu garis. Pada umumnya, nilai dari gradien pada sebuah persamaan garis lurus akan dinyatakan melalui perbandingan yaitu i Δy/Δx..

Untuk lebih jelasnya silahkan Anda perhatikan cara untuk dapat menentukan gradien pada gambar berikut ini:

Cara untuk dapat menentukan suatu gradien pada suatu garis lurus dalam bidang kartesius juga dapat dipengaruhi oleh arah kemiringan garis itu sendiri. Silahkan simak lebih lanjut mengenai cara menentukan gradien garis pada ulasan berikut ini:

Persamaan garis lurus merupakan suatu pemetaan persamaan matematika dalam bidang koordinat cartesius yang membentuk grafik garis lurus. Ada dua variabel dalam suatu persamaan garis lurus dan keduanya memiliki orde 1.

Bentuk penulisan persamaannya:

Dengan x dan y disebut sebagai variabel atau peubah, a dan b adalah koefisien dari kedua variabel serta c adalah konstanta. Variabel x dan y harus berpangkat/berorde 1.

Grafik Persamaan Garis Lurus

Persamaan garis lurus dapat digambarkan dalam koordinat cartesius untuk mendapatkan grafik yang berbentuk garis lurus. Berikut ini langkah-langkah untuk menggambar grafik garis tersebut:

• Menentukan dua titik yang dilalui oleh garis dalam persamaan tersebut.
• Kedua titik di plot atau ditempatkan pada koordinat cartesius.
• Menghubungkan kedua titik yang telah diplot tersebut untuk menjadi sebuah garis.

Berikut ini bentuk persamaan garis lurus dalam koordinat cartesius:

Penyelesaian Persamaan garis Lurus

Dua persamaan garis lurus dapat disajikan bersamaan disebut sebagai sistem persamaan linear dua variabel dan memiliki bentuk:

Dengan x dan y disebut sebagai variabel atau peubah. Huruf a, b, d dan e adalah koefisien dari masing-masing variabel serta c dan f adalah konstanta.

Ada dua cara dalam penyelesaian sistem persamaan dua variabel yaitu metode substitusi dan metode eliminasi. Berikut penjelasannya:

Metode Substitusi

Dalam metode substitusi, salah satu variabel dipisahkan dari suatu persamaan. Persamaan dalam bentuk dirubah sehingga memiliki bentuk eksplisit :

atau,

Kemudian persamaan baru tersebut disubstitusikan ke persamaan kedua misalkan menjadi:

Atau

Persamaan hasil substitusi memiliki 1 variabel sehingga bisa diselesaikan.

Metode Eliminasi

Dalam metode eliminasi, salah satu variabel dieliminasi atau dihilangkan dengan cara pengurangkan kedua persamaan yang ada. Agar variabel bisa dihilangkan saat kedua persamaan dikurangkan, maka koefisien kedua variabel tersebut disamamakan terlebih dahulu. Penyamaan koefisien ini dengan cara mengkali atau membagi suatu persamaan dengan suatu bilangan. Sehingga:

Dengan:

Dan persamaannya menjadi:

Dapat dieliminasi dengan mengurangi persamaan pertama dengan kedua :

Diperoleh hasil penyelesaiannya:

Nilai variabel y yang telah diketahui dapat disubstitusi kedalam salah satu persamaan untuk mendapat nilai variabel x.

Secara umum ada tiga kasus yang mungkin muncul dalam penyelesaian suatu sistem persamaan ini, yaitu:

Dari gambar disimpulkan:

• Kasus 1, kedua persamaan memiliki satu penyelesaian.
• Kasus 2, kedua persamaan tidak memiliki penyelesaian.
• Kasus 3, kedua persamaan memiliki penyelesaian tak berhingga.

Gradien Persamaan Garis Lurus

Gradien menunjukan kemiringan dari suatu persamaan terhadap garis x. Gradien dinotasikan dengan huruf m. Berdasarkan gambar berikut:

Kemiringan/gradien adalah perbandingan antara jarak garis yang diproyeksikan kesumbu y terhadap proyeksi garis terhadap sumbu x. sehingga:

Gradien = m = tan⁡ α

Untuk beberapa bentuk persamaan, gradien diperoleh dengan:

Dalam hubungannya suatu persamaan garis lurus dengan garis lainnya, gradien memiliki persamaan sebagai berikut:

Membentuk Persamaan Garis Lurus

1. Jika diketahui gradien dan satu titik yang dilalui

Persamaan garis lurus dapat dibuat dengan mengetahui nilai gradien dan salah satu titik yang dilewati . Dalam rumus:

Dengan kondisi ini, nilai dan m telah diketahui. Nilai dan dijadikan variabel x dan y, sehingga rumus gradien nya bisa dimodifikasi menjadi:

Atau:

2. Jika diketahui dua titik yang dilalui

Jika yang diketahui adalah kedua titik dan yang dilewati garis dan gradien tidak diketahui rumusnya diperoleh dari modifikasi rumus sebelumnya yaitu:

Menjadi:

Atau:

Contoh Soal Persamaan Garis Lurus dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukan persamaan garis A yang memotong sumbu y = 3 dan tegak lurus dengan garis B yang melalui titik pusat O dan titik (3, 2).

Pembahasan:

Diketahui:

• A melalui (0,3)
• B melalui (0,0) dan (3,2)
• A dan B tegak lurus, maka

Sehingga:

Selanjutnya:

Contoh Soal 2

Jika suatu garis melewati dua titik yaitu dan serta sejajar garis 2y + 3x – 6 = 0, maka tentukan nilai n.

Pembahasan:

Garis sejajar dengan 2y + 3x – 6 = 0, maka gradien keduanya sama.

Sehingga:

Contoh Soal 3

Tiga garis A, B, C memiliki gradien masing-masing 3, 4, 5. Ketiga garis memotong sumbu y di titik yang sama. Jika absis masing-masing absis garis ke sumbu x dijumlahkan adalah , tentukan persamaan garis A.

Pembahasan:

Diketahui persamaan masing-masing garis:

Karena memotong sumbu y di yang sama, maka

• . Selanjutnya disebut C.

Absis (saat y=0) masing-masing garis adalah:

Ketiga absis dijumlahkan:

Sehingga:

Kontributor: Alwin Mulyanto, S.T.
Alumni Teknik Sipil FTUI

Materi StudioBelajar.com lainnya:

1. Matriks
2. Transformasi Geometri
3. Trigonometri