Lingkaran x2 y2 4x by − 12 0 melalui titik 1 ,7 titik pusat lingkaran itu adalah
Persamaan lingkaran adalah suatu materi yang memiliki penerapan juga dalam kehidupan kita. Tetapi kita masih jarang sekali mengetahuinya. Nah, untuk memahami lebih lanjut mengenai materi persamaan lingkaran, teman-teman bisa pelajari secara lengkap di artikel ini ya. Show
Pengertian LingkaranSumber: Dokumentasi penulisLingkaran adalah suatu bangun yang dibentuk dari kumpulan titik-titik yang berjarak tetap terhadap pusat lingkaran, dan jarak yang tetap antara himpunan titik dengan pusat lingkaran tersebut dinamakan jari-jari lingkaran. Sumber: Dokumentasi penulisDari gambar di samping, titik O adalah pusat lingkaran. Titik A, B, C, D terletak pada lingkaran, maka OA = OB = OC = OD adalah jari-jari lingkaran = r. Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui diameter r = d / 2 Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui keliling lingkaran r = keliling lingkaran / 2π Rumus jari-jari lingkaran jika diketahui luas lingkaran Sumber: Dokumentasi penulisBaca juga: Materi Transformasi Geometri Memahami Lingkaran Secara AnalitikDari lebih 2500 tahun silam, masyarakat berangapan bahwa bentuk lingkaran adalah bentuk yang paling sempurna. Beberapa sifat lingkaran yang istimewa diantaranya adalah sebagai berikut :
Menentukan Persamaan LingkaranPersamaan Lingkaran dengan Pusat di O (0, 0)Jika titik A(xA, yA) terletak pada lingkaran yang berpusat di O, maka berlaku OA = jari-jari lingkaran. Dengan menggunakan rumus jarak titik O(0, 0) ke titik A (xA, yA) diperoleh : Sumber: Dokumentasi penulisJadi persamaan lingkaran dengan pusat O(0, 0) dan berjari-jari r adalah : x2 + y2 = r2 Persamaan Lingkaran Berpusat di Titik A(a, b)Jika titik A(a, b) adalah pusat lingkaran dan titik B(x, y) terletak pada lingkaran, maka jari-jari lingkaran r sama dengan jarak dari A ke B. r = jarak A ke B r2 = (AB)2 = (xB – xA)2 + (yB – yA)2 = (x – a)2 + (y – b)2 Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (a, b) dan berjari-jari r adalah: (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Menentukan Pusat dan Jari-Jari Lingkaran yang persamaannya diketahui berdasarkan persamaan lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r adalah : (x – a)2 + (y – b)2 = r2 x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 = r2 x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0 Jika –2a = 2A, –2b = 2B dan a2 + b2 – r2 = C, maka diperoleh bentuk umum persamaan lingkaran: x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, di mana pusatnya (–A, –B) dan Sumber: Dokumentasi penulisPosisi Titik P (x1, y1) terhadap Lingkaran x2 + y2 = r2
Posisi Titik P (x1, y1) terhadap Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Posisi Garis y = mx + n terhadap Suatu Lingkaran Jika persamaan garis y = mx + n disubstitusikan ke persamaan lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 diperoleh persamaan : x2 + (mx + n)2 + 2Ax + 2B (mx + n) + C = 0 x2 + m2x2 + 2mnx + n2 +2Ax + 2Bmx + 2Bn + C = 0 (1 + m2 ) x2 + (2mn + 2A + 2Bm)x + (n2 + 2Bn + C) = 0 D = (2mn + 2A + 2Bm)2 – 4 (1 + m2 ) (n2 + 2Bn + C) = 0 Ingat ! Jika persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, D = diskriminan = b2 – 4ac Jarak pusat lingkaran P (x1 , y1 ) ke garis ax + by + c = 0 adalah Sumber: Dokumentasi penulisMaka ada tiga kemungkinan posisi garis terhadap suatu lingkaran yaitu : 1) Jika D < 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak di luar lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan tidak memotong lingkaran atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih dari jari-jari lingkaran (k > r). 2) Jika D = 0, maka persamaan garis y = mx + n terletak pada lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dan memotong lingkaran di satu titik atau jarak pusat lingkaran ke garis sama dengan jari-jari lingkaran (k = r). 3) Jika D > 0, maka persamaan garis garis y = mx + n terletak di dalam lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0, dan memotong lingkaran di dua titik atau jarak pusat lingkaran ke garis lebih kecil dari jari-jari lingkaran (k < r). Perhatikan gambar berikut. Sumber: Dokumentasi penulisMenentukan Koefisien yang Belum Diketahui Jika Kedudukan Garis dan Lingkaran Telah DiketahuiTahapan dalam menentukan koefisien pada suatu persamaan garis singgung lingkaran adalah :
Jika ada beberapa koefisien yang belum diketahui biasanya akan diberikan beberapa kedudukan garis. Tahanpan penyelesaiannya dalah dengan :
Baca juga: Contoh Soal Induksi Matematika Menentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Diketahui GradiennyaTahapan cara menemukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui gradiennya :
Berikut adalah rumus persamaan garis singgung lingkaran menurut persamaan lingkarannya. Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran x2 + y2 = r2 : Untuk persamaan garis singgung y = mx + n (1 + m2) x2 + 2mnx + n2 – r2 = 0 Syarat menyinggung adalah D = 0, sehingga Sumber: Dokumentasi penulisPersamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 : Dengan cara yang sama, persamaan garis singgung gradien m terhadap lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 dapat ditentukan dengan cara mengubah dahulu ke bentuk (x – a)2 + (y – b)2 = r2 sehingga persamaan garis singgungnya sama, yaitu : Sumber: Dokumentasi penulisMenentukan Persamaan Garis Singgung Lingkaran yang Diketahui Absis atau Ordinat Titik SinggungnyaTahapan cara menemukan persamaan garis singgung lingkaran yang diketahui absis atau ordinat titik singgungnya :
Berikut adalah rumus persamaan garis singgung lingkarang menurut persamaan lingkarannya. Persamaan Garis Singgung lingkaran di Titik P (x1, y1) pada Lingkaran x2 + y2 = r2 Sumber: Dokumentasi penulisGaris singgung lingkaran l menyinggung lingkaran x2 + y2 = r2 di titik P (x1, y1) karena OP ⊥ garis l. Sumber: Dokumentasi penulisIngat ! Gradien garis OP di titik P (x1, y1) adalah mOP = Y1/X1 Dua garis tegak lurus jika perkalian gradiennya = –1 Persamaan garis singgungnya sebagai berikut. Sumber: Dokumentasi penulisJadi persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = r2 di (x1, y1) ialah : x1 x + y1 y = r2 . Persamaan Garis Singgung Melalui Titik (x1, y1) pada Lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 Perhatikan gambar berikut. Sumber: Dokumentasi penulisGradien garis PQ adalah : Sumber: Dokumentasi penulisyy1 – by + by1 + x1x – ax + ax1 = x12 + y12 ……… (1) Untuk Q (x1, y1) terletak pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2, maka : x12 + y12 = r2 + 2ax1 + 2by1 – a2 – b2 ……… (2) Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh : (x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2 Sehingga persamaan garis singgung lingkarannya adalah : (x1 – a) (x – a) + (y1 – b) (y – b) = r2 Persamaan Garis Singgung Melalui Titik Q (x1, y1) pada Lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 Dari persamaan garis singgung melalui titik Q (x1, y1) pada lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 adalah: x1x + y1y – a(x1 + x) – b(y1 + y) + a2 + b2 – r2 = 0 Misalnya A = –a, B = –b, dan C = a2 + b2 – r2 , persamaannya menjadi : x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0 Maka persamaan garis singgung melalui Q (x1, y1) pada lingkaran x2 + y2 + 2Ax + 2By + C = 0 adalah x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0 Persamaan Garis Singgung Kutub (Polar)Jika melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran ditarik dua buah garis singgung pada lingkaran dengan titik singgungnya B(x2, y2) dan C(x3, y3), maka persamaan garis BC adalah x1x + y1y = r2 disebut garis kutub pada lingkaran dan titik A(x1, y1) disebut titik kutub. Sumber: Dokumentasi penulisPersamaan garis singgung lingkaran melalui titik A(x1, y1) di luar lingkaran dapat ditentukan dengan langkah-langkah : 1) Membuat persamaan garis kutub dari titik A(x1, y1) terhadap lingkaran. 2) Melalui titik potong antara garis kutub lingkaran. 3) Membuat persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub dan lingkaran. Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan LingkaranUntuk lebih memahami materi persamaan lingkaran, mari kita lihat contoh soal dan pembahasan materi persamaan lingkaran berikut: 1. Jika titik (1, 7) terletak pada lingkaran dengan persamaan x2 + y2 + hx – 6y – 12 = 0, maka nilai h (koefisien x) adalah …. Pembahasan: x2 + y2 + hx – 6y – 12 = 0 (1)2 + (7)2 + h(1) – 6(7) – 12 = 0 1 + 49 + h – 42 – 12 = 0 h = 4 Jadi nilai h pada x2 + y2 + hx – 6y – 12 = 0 melalui titik (1, 7) adalah 4. 2. Diketahui lingkaran x2 – 6x + y2 + 4y – 12 = 0. Tentukan persamaan garis singgung yang tegak lurus garis g : 3x – y + 5 = 0, terhadap lingkaran ! Pembahasan: Sumber: Dokumentasi penulisSumber: Dokumentasi penulis3. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0 di titik yang berabsis 4. Pembahasan: Cari titik y terlebih dahulu, dengan mensubsitusi x = 4 x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0 (4)² + y² – 2 (4) – 6y – 15 = 0 y² – 6y – 7 = 0 (y – 7) (y + 1) = 0 y = 7 atau y = -1 Garis singgung lingkaran di titik (4,7) Titik singgung (x1, y1) = (4,7) Persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0 x1 = 4 y1 = 7 A = -2 B = -6 C = -15 Rumus garis singgungnya : x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0 4x + 7y – 2 (4 + x) – 6 (7 + y) – 15 = 0 2x + y – 65 = 0 Garis singgung lingkaran di titik (4,-1) Titik singgung (x1, y1) = (4, -1) Persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0 x1 = 4 y1 = -1 A = -2 B = -6 C = -15 Rumus garis singgungnya : x1x + y1y + A(x1 + x) + B(y1 + y) + C = 0 4x – y – 2 (4 + x) – 6 (-1 + y) – 15 = 0 2x – 7y – 17 = 0 Jadi persamaan garis singgung lingkaran dengan persamaan lingkaran x² + y² – 2x – 6y – 15 = 0 di titik yang berabsis 4 adalah 2x + y – 65 = 0 atau 2x – 7y – 17 = 0. Baca juga: Turunan Fungsi Aljabar Demikianlah penjelasan materi dan contoh soal dan pembahasan mengenai persamaan lingkaran. Semoga materi ini dapat membantu anda dalam belajar mandiri untuk memahami materi persamaan lingkaran. Daftar Pustaka Kanginan, M., Hidayah, N.H, Akhmad. G. 2016. Matematika untuk siswa SMA/MA kelas XI Kelompok Peminatan dan Ilmu-ilmu Alam. Jakarta: Yrama Widya. Mahfudy, Sofyan. 2016. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Mataram : IAIN Mataram. Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika 2 untuk SMA atau MA Kelas XI Program IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pendidikan Nasional. |