Lingkaran x2+y2+2x ay 4 = 0 mempunyai jari-jari 3 nilai a yang memenuhi adalah
|
Show
belajar matematika dasar SMA lewat Soal dan Pembahasan Matematika Dasar Lingkaran. Materi lingkaran, mungkin salah satu materi paling umum kita
Penerapan lingkaran dalam kehidupan sehari-hari juga sangat banyak, yang paling sederhana seperti yang kita sebutkan di awal yaitu ban sepeda yang berbentuk lingkaran. Mempelajari dan menggunakan aturan-aturan pada lingkaran tidaklah sulit, jika kita mengikuti step by step pembahasan yang kita diskusikan di bawah ini, maka kita akan dengan mudah memahami pembahasan soal lingkaran dan kita harapkan dapat meningkatkan daya nalar atau cara berpikir kita untuk menyelesaikan soal-masalah yang kita hadapi pada kehidupan sehari-hari.
Kesulitan menganalisa kalimat soal jadi salah satu masalah paling umum dalam diskusi menyelesaikan soal tentang lingkaran. Mudah-mudahan diksusi kita berikut ini menambah pemahaman kita tentang lingkaran.
Bahan latihan soal lingkaran yang kita pilih adalah soal dari soal UTBK SBMPTN (Seleksi Bersama Masuk Perguruan Tinggi Negeri), Soal Ujian Mandiri masuk PTN (SIMAK UI, UTUL UGM, UM UNDIP, dan sebagainya), Soal Ujian Masuk Sekolah Kedinasan atau Soal UN (Ujian Nasional) SMA.
Sebagai catatan, berikut kita tuliskan beberapa aturan dasar pada Lingkaran yang mungkin membantu dalam menyelesaikan masalah tentang lingkaran. Misal Jika diketahui persamaan garis $y=mx+n$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$, maka dengan mensubstitusi $y=mx+n$ ke lingkaran $L$ akan diperoleh persamaan kuadrat. Dari persamaan kuadrat persekutuan tersebut kita bisa peroleh nilai $D=b^{2}-4ac$ Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke titik $\left( x_{2},y_{2} \right)$ adalah: Jarak titik $\left( x_{1},y_{1} \right)$ ke garis $ax+by+c=0$ adalah: Untuk melatih kemampuan kita dalam bermatematik, terkhusus dalam materi pokok lingkaran, soal-soal berikut dapat kita jadikan bahan latihan.
\end{align}$ $\begin{align}
4x^{2}+4y^{2}+4x-12y+1 &= 0 \\
x^{2}+ y^{2}+ x-3y+\dfrac{1}{4} &= 0 \\
\hline
A=1,\ B=-3,\ & C= \dfrac{1}{4}
\end{align}$ $\begin{align}
\text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\
&= \left (-\dfrac{1}{2}(1),-\dfrac{1}{2}(-3) \right ) \\
&= \left (-\dfrac{1}{2} , \dfrac{3}{2} \right ) \\
\hline
r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\
&=\sqrt{\dfrac{1}{4}(1)^{2}+\dfrac{1}{4}(-3)^{2}-\dfrac{1}{4}} \\
&= \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{9}{4} -\dfrac{1}{4}} \\
&= \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2} \end{align}$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ \dfrac{3}{2}\ \text{dan}\ \left( -\dfrac{1}{2}, \dfrac{3}{2} \right)$ 2. Soal SPMB 2005 Kode 280 |*Soal LengkapJika $a \lt 0$ dan lingkaran $x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1=0$ mempunyai jari-jari $2$ maka koordinat pusat lingkaran adalah... $\begin{align}Alternatif Pembahasan: $\begin{align} x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1 &= 0 \\ A=-a,\ B=2a,\ & C= 1 \end{align}$ $\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ r^{2} &= \frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C \\ 2^{2} &= \dfrac{1}{4}(-a)^{2}+\dfrac{1}{4}(2a)^{2}-1 \\ 4 &= \dfrac{1}{4}a^{2} + a^{2} - 1 \\ 4+1 &= \dfrac{5}{4}a^{2} \\ 5 \cdot \dfrac{4}{5} &= a^{2} \\ 4 &= a^{2} \rightarrow a=\pm 2 \end{align}$ Karena $a \lt 0$ maka nilai $a$ yang memenuhi adalah $a=-2$, sehingga berlaku: $\begin{align} x^{2}+y^{2}-ax+2ay+1 &= 0 \\ x^{2}+y^{2}+2x-4y+1 &= 0 \\ A=2,\ B=-4,\ & C= 1 \\ \end{align}$ $\begin{align} \text{Pusat}\ & = \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ & = \left (-\dfrac{1}{2}(2),-\dfrac{1}{2}(-4) \right ) \\ & = \left (-1 , 2 \right ) \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ \left( -1, 2 \right) $ 3. Soal UN Matematika IPA 2006 |*Soal LengkapPersamaan lingkaran dengan pusat $P(3,1)$ dan menyinggung garis $3x+4y+7=0$ adalah... $\begin{align}Alternatif Pembahasan: Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Pada soal sudah diberitahu bahwa pusat $P(3,1)$. Lingkaran menyinggung garis $3x+4y+7=0$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(3,1)$ ke garis $3x+4y+7=0$. $\begin{align} r = d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{(3)(3)+(4)(1)+7}{\sqrt{3^{2}+4^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{20}{\sqrt{25}} \right| = 4 \end{align}$ Persamaan lingkaran dengan pusat $P(3,1)$ dan $r=4$ $\begin{align} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-3)^{2}+(y-1)^{2} &= 4^{2} \\ x^{2}+y^{2}-6x-2y+9+1 &= 16 \\ x^{2}+y^{2}-6x-2y-6 &= 0 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-6x-2y-6=0$ 4. Soal SPMB 2003 |*Soal LengkapDiketahui lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0$ melalui titik $(-2,1)$. Persamaan lingkaran yang sepusat tetapi panjang jari-jarinya dua kali panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah... $\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}-4x+12y-90=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}-4x+12y+9=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}-2x+6y+90=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}-2x-6y-90=0Alternatif Pembahasan: Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Lingkaran $2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30=0$ melalui titik $(-2,1)$ sehingga berlaku: $\begin{align} 2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30 &= 0 \\ 2(-2)^{2}+2(1)^{2}-4(-2)+3(1)p-30 &= 0 \\ 8+2+8+3p-30 &= 0 \\ 3p &= 12 \\ p &= 4 \end{align}$ Untuk $p=4$, maka persamaan lingkaran menjadi $\begin{align} 2x^{2}+2y^{2}-4x+3py-30 &= 0 \\ 2x^{2}+2y^{2}-4x+12y-30 &= 0 \\ x^{2}+ y^{2}-2x+6y-15 &= 0 \end{align}$ $\begin{align} \text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ &= \left(-\dfrac{1}{2}(-2),-\dfrac{1}{2}(6) \right ) \\ &= \left( 1, -3 \right) \\ \hline r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ &=\sqrt{\dfrac{1}{4}(-2)^{2}+\dfrac{1}{4}(6)^{2}-(-15)} \\ &=\sqrt{1+9+15} = 5 \end{align}$ Persamaan lingkaran dengan $P\left( 1, -3 \right)$ dan $r=2(5)=10$ adalah: $\begin{align} \left( x-a \right)^{2}+\left( y-b \right)^{2} &= r^{2} \\ \left( x-1 \right)^{2}+\left( y+3 \right)^{2} &= 10^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2x+6y+1+9 &= 100 \\ x^{2}+y^{2}-2x+6y-90 &= 0 \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-2x+6y-90=0$ 5. Soal UMPTN 1992 |*Soal LengkapJika titik $(-5,k)$ terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$, nilai $k$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -1\ \text{atau}\ -2 \\ (B)\ & 2\ \text{atau}\ 4 \\ (C)\ & -1\ \text{atau}\ 6 \\ (D)\ & 0\ \text{atau}\ 3 \\ (E)\ & 1\ \text{atau}\ -6Alternatif Pembahasan: Titik $(-5,k)$ terletak pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-5y-21=0$, sehingga berlaku: $\begin{align} x^{2}+y^{2}+2x-5y-21 &= 0 \\ (-5)^{2}+k^{2}+2(-5)-5(k)-21 &= 0 \\ 25+k^{2}-10-5k-21 &= 0 \\ k^{2}-5k-6 &= 0 \\ (k-6)(k+1) &= 0 \\ k=6\ \text{atau}\ k=-1 & \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -1\ \text{atau}\ 6$ 6. Soal UMPTN 2005 Kode 780 |*Soal LengkapJika lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ menyinggung garis $x=2$, maka nilai $c$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -7 \\ (B)\ & -6 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 6 \\ (E)\ & 12Alternatif Pembahasan: Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ titik pusatnya adalah: $\begin{align} \text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ &= \left(-\dfrac{1}{2}(6),-\dfrac{1}{2}(6) \right ) \\ &= \left( -3, -3 \right) \end{align}$ Lingkaran $x^{2}+y^{2}+6x+6y+c=0$ menyinggung garis $x=2$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(-3,-3)$ ke garis $x=2$ yaitu $5$. Jika belum bisa mendapatkan $r=5$ dengan membayangkan posisi lingkaran dengan garis dapat menghitung jarak $P(-3,-3)$ ke garis $x-2=0$ yaitu: $\begin{align} r = d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{(1)(-3)+(0)(-3)-2}{\sqrt{(1)^{2}+(0)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-5}{\sqrt{1}} \right| = 5 \end{align}$ Persamaan lingkaran dengan pusat $P(-3,-3)$ dan $r=5$ $\begin{align} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x+3)^{2}+(y+3)^{2} &= 5^{2} \\ x^{2}+y^{2}+6x+6y+9+9 &= 25 \\ x^{2}+y^{2}+6x+6y-7 &= 0 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -7$ 7. Soal SPMB 2006 Kode 420 |*Soal LengkapJika lingkaran $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ yang berpusat di $(1,-1)$ dan menyinggung garis $y=x$, maka nilai $a+b+c$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 0 \\ (B)\ & 1 \\ (C)\ & 2 \\ (D)\ & 3 \\ (E)\ & 4Alternatif Pembahasan: Untuk menggambar atau membentuk persamaan lingkaran ada dua hal dasar yang harus kita ketahui yaitu titik pusat lingkaran dan jari-jari lingkaran. Pada lingkaran $x^{2}+y^{2}+ax+by+c=0$ titik pusatnya $(1,-1)$, sehingga berlaku: $\begin{align} \text{Pusat}\ &= \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ \left(1,-1 \right ) &= \left(-\dfrac{1}{2}(a),-\dfrac{1}{2}(b) \right ) \\ a &= -2 \\ b &= 2 \end{align}$ Untuk $a=-2$ dan $b=2$ maka persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y+c=0$. Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2x+2y+c=0$ menyinggung garis $y=x$ sehingga jari-jari lingkaran adalah jarak titik $P(1,-1)$ ke garis $x-y=0$, yaitu: $\begin{align} r = d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{(1)(1)+(-1)(-1)+0}{\sqrt{(1)^{2}+(-1)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{2}{\sqrt{2}} \right| = \sqrt{2} \end{align}$ Persamaan lingkaran dengan pusat $P(1,-1)$ dan $r=\sqrt{2}$ $\begin{align} (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &= r^{2} \\ (x-1)^{2}+(y+1)^{2} &= \left( \sqrt{2} \right)^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y+1+1 &= 2 \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y &= 0 \end{align}$ Dari persamaan di atas kita peroleh nilai $c=0$, sehingga $a+b+c=-2+2+0=0$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 0$ 8. Soal UMPTN 1994 |*Soal LengkapLingkaran yang melalui titik-titik $(4,2),\ (1,3)$ dan $(-3,-5)$ berjari-jari... $\begin{align} (A)\ & 8 \\ (B)\ & 7 \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 4Alternatif Pembahasan: Untuk membentuk persamaan lingkaran dari tiga titik yang dilalui lingkaran adalah dengan mensubstitusi nilai $(x,y)$ ke persamaan umum lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C= 0$. Setelah dapat tiga persamaan dengan dua variabel, lalu dilakukan substitusi atau eliminasi. $\begin{align} (4,2)\ & \rightarrow (4)^{2}+(2)^{2}+A(4)+B(2)+C= 0 \\ & \rightarrow 4A +2B +C= -20\ \cdots (pers.1) \\ (1,3)\ & \rightarrow (1)^{2}+(3)^{2}+A(1)+B(3)+C= 0 \\ & \rightarrow A +3B +C= -10\ \cdots\ (pers.2) \\ (-3,-5)\ & \rightarrow (-3)^{2}+(-5)^{2}+A(-3)+B(-5)+C= 0 \\ & \rightarrow -3A -5B +C= -34\ \cdots\ (pers.3) \end{align}$ Pertama, kita pilih mengeliminasi $C$ dari $(pers.1)$ dan $(pers.2)$ $\begin{array}{c|c|cc} 4A +2B +C= -20 & \\ A +3B +C= -10 & (-) \\ \hline 3A-B = -10\ \cdots\ (pers.4) & \end{array} $ Kedua, kita mengeliminasi $C$ dari $(pers.2)$ dan $(pers.3)$ $\begin{array}{c|c|cc} A +3B +C= -10 & \\ -3A -5B +C= -34 & (-) \\ \hline 4A+8B = 24\ & \\ A+2B = 6\ \cdots\ (pers.5) & \end{array} $ Ketiga, kita mengeliminasi $A$ atau $B$ dari $(pers.4)$ dan $(pers.5)$ $\begin{array}{c|c|cc} 3A-B = -10 & (\times 2) \\ A+2B = 6 & (\times 1) \\ \hline 6A-2B = -20 & \\ A+2B = 6 & (+) \\ \hline 7A = -14 & A = -2 & \end{array} $ Keempat, kita substitusi $A=-2$ ke $(pers.4)$ atau $(pers.5)$ $\begin{align} A+2B = 6\ & \rightarrow -2+2B = 6 \\ & \rightarrow 2B = 8 \\ & \rightarrow B = 4 \end{align}$ Kelima, kita substitusi $A=-2$ dan $B=4$ ke $(pers.1)$, $(pers.2)$ atau $(pers.3)$ $\begin{align} 4A +2B +C= -20\ & \rightarrow 4(-2) +2(4) +C= -20 \\ & \rightarrow -8 + 8 +C= -20 \\ & \rightarrow C = -20 \end{align}$ Untuk $A=-2$, $B=4$ dan $C=-20$, kita sudah dapat menentukan persamaan lingkran atau jari-jari lingkaran. $\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ &=\sqrt{\frac{1}{4}(-2)^{2}+\frac{1}{4}(4)^{2}-(-20)} \\ &=\sqrt{1+4+20}=5 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$ 9. Soal UMPTN 2001 Rayon C |*Soal Lengkap]Jika garis $x=2y+5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka panjang ruas garis $AB$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 4 \\ (B)\ & 5 \\ (C)\ & 4\sqrt{2} \\ (D)\ & 2\sqrt{5} \\ (E)\ & 4\sqrt{3}Alternatif Pembahasan: Titik potong lingkaran dan garis dapat kita ketahui dengan mensubsitusi $x=2y+5$ ke persamaan $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$. $\begin{align} x^{2}+y^{2}-4x+8y+10 & = 0 \\ (2y+5)^{2}+y^{2}-4(2y+5)+8y+10 & = 0 \\ 4y^{2}+20y+25+y^{2}-8y-20+8y+10 & = 0 \\ 5y^{2}+20y+15 & = 0 \\ y^{2}+4y+3 & = 0 \\ (y+3)(y+1) & = 0 \end{align}$ $y=-1\ \text{maka}\ x= 2(-1)+5=3$ $y=-3\ \text{maka}\ x= 2(-3)+5=-1$ Kita peroleh titik potong garis dan lingkaran adalah di $A(3,-1)$ dan $B(-1,-3)$, panjang ruas garis $AB$ adalah $\begin{align} d & = \sqrt{(-3+1)^{2}+(-1-3)^{2}} \\ & = \sqrt{4+16} \\ & = 2\sqrt{5} \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2\sqrt{5}$ 10. Soal UMPTN 1999 Rayon C |*Soal LengkapJika garis $g:x-2y=5$ memotong lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ di titik $A$ dan $B$, maka luas segitiga yang dibentuk oleh $A$, $B$ dan pusat lingkaran adalah... $\begin{align} (A)\ & 2\sqrt{10} \\ (B)\ & 4\sqrt{2} \\ (C)\ & 6 \\ (D)\ & 5 \\ (E)\ & 10Alternatif Pembahasan: kita ketahui bahwa jika garis $y=mx+n$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ berpotongan maka titik potong dapat diperoleh dari akar persamaan kuadrat persekutuan antara garis dan lingkaran. Pertama, kita substitusi $x-2y=5$ ke $x^{2}+y^{2}-4x+8y+10=0$ $\begin{align} x^{2}+y^{2}-4x+8y+10 &= 0 \\ (5+2y)^{2}+y^{2}-4(5+2y)+8y+10 &= 0 \\ 4y^{2}+20y+25+y^{2}-20-8y+8y+10 &= 0 \\ 5y^{2}+20y+15 &= 0 \\ y^{2}+4y+3 &= 0 \\ (y+1)(y+3) &= 0 \\ y=-1\ \text{atau}\ y=-3 & \end{align}$ Untuk $y=-1$ kita peroleh $x=5+2y=5+2(-1)=3$, titik potong $(3,-1)$ Untuk $y=-3$ kita peroleh $x=5+2y=5+2(-3)=-1$, titik potong $(-1,-3)$ Jika kita gambarkan, titik potong garis dengan lingkaran dan segitiga yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini:  Dari gambar di atas dapat kita hitung luas segitiga adalah luas setengah persegi dimana panjang sisi persegi adalah: $\begin{align} d &= \sqrt{ \left(x_{2}-x_{1} \right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1} \right)^{2}} \\ &= \sqrt{ \left(3-0 \right)^{2}+\left(-1-0 \right)^{2}} \\ &= \sqrt{ 9+1} = \sqrt{10} \end{align}$ Luas segitiga adalah $\dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{10} = 5$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 5$ 11. Soal SPMB 2005 Kode 580 |*Soal LengkapLingkaran $L$ menyinggung sumbu-$x$, menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=4$ dan melalui titik $(4,6)$. Persamaan lingkaran $L$ adalah... $\begin{align} (A)\ & (x-4)^{2}+(y+6)^{2}=144 \\ (B)\ & (x-3)^{2}+(y-4)^{2}=5 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}-24x+44=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}-8x+6y+56=0Alternatif Pembahasan: Jika kita gambarkan, ilustrasi apa yang disampaikan pada soal kurang lebih seperti berikut ini:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-8x-6y+16=0 $ 12. Soal UM-UGM 2004 Kode 111 |*Soal LengkapDiketahui sebuah lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+2y-24=0$. Jika melalui titik $P(1,6)$ dibuat garis singgung pada $L$ maka jarak dari $P$ ke titik singgung tadi adalah...Alternatif Pembahasan: $\begin{align} x^{2}+y^{2}+2y-24=0 &= 0 \\ A=0,\ B=2,\ C= -24 & \end{align}$ $\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ r^{2} &= \frac{1}{4}(0)^{2}+\frac{1}{4}(2)^{2}-(-24) \\ r^{2} &= 1+24 \\ r &= \sqrt{25}=5 \end{align}$ $\begin{align} \text{Pusat}\ & = \left (-\dfrac{1}{2}A,-\dfrac{1}{2}B \right ) \\ & = \left (-\dfrac{1}{2}(0),-\dfrac{1}{2}(2) \right ) \\ & = \left (0 , -1 \right ) \\ \end{align}$ Jarak titik pusat $O \left (0 , -1 \right )$ ke $P\left (1 , 6 \right )$ adalah: $\begin{align} OP & = \sqrt{\left (0-1 \right )^{2}+\left (-1-6 \right )^{2}} \\ & = \sqrt{1+49} \\ & = \sqrt{50} \\ \end{align}$ Karena garis singgung tegak lurus dengan jari-jari, sehingga berlaku teorema phytagoras antara titik pusat, titik singgung dan titik $P$. Jarak titik singgung ke titik $P\left (1 , 6 \right )$ adalah: $\begin{align} d & = \sqrt{OP^{2}-r^{2}} \\ & = \sqrt{50-5^{2}} \\ & = \sqrt{25}=5 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$ 13. Soal SPMB 2006 Kode 621 |*Soal LengkapLingkaran dengan persamaan $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$, $p \gt 0$ dan yang berjari-jari $2$ akan menyinggung garis $x-y=0$ bila $p$ sama dengan... $\begin{align} (A)\ & 2 \\ (B)\ & 2\sqrt{2} \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 4\sqrt{2} \\ (E)\ & 4Alternatif Pembahasan: Jari-jari lingkaran $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$ adalah $2$, sehingga berlaku: $\begin{align} r &= \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ 2 &=\sqrt{\frac{1}{4}(-2p)^{2}+\frac{1}{4}(0)^{2}-(q)} \\ 2 &=\sqrt{p^{2}-q} \\ 4 &= p^{2}-q \end{align}$ Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2px+q=0$ menyinggung garis $y=x$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol; $\begin{align} x^{2}+(x)^{2}-2px+q &= 0 \\ 2x^{2}-2px+q &= 0 \\ \hline D=b^{2}-4ac &= 0 \\ (-2p)^{2}-4(2)(q) &= 0 \\ 4p^{2}-8q &= 0 \\ p^{2}-2q &= 0 \\ p^{2}-q-q &= 0 \\ 4-q &= 0 \\ q &=4 \end{align}$ Untuk $q=4$ maka kita peroleh nilai $p$ $\begin{align} 4 &= p^{2}-q \\ 4 &= p^{2}-4 \\ 8 &= p^{2} \\ 2\sqrt{2} &= p \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 2\sqrt{2}$ 14. Soal SPMB 2005 Kode 480 |*Soal LengkapJika garis $y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( 2x+5 \right)$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x-k=0$, maka $k=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -5\sqrt{5} \\ (B)\ & -5 \\ (C)\ & \sqrt{5} \\ (D)\ & 5\sqrt{5} \\ (E)\ & 5Alternatif Pembahasan: Lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x-k=0$ menyinggung garis $y=\dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( 2x+5 \right)$ sehingga diskriminan persamaan kuadrat persekutuan adalah nol; $\begin{align} x^{2}+y^{2}-4x-k &= 0 \\ x^{2}+\left( \dfrac{1}{\sqrt{5}}\left( 2x+5 \right) \right)^{2}-4x-k &= 0 \\ x^{2}+\dfrac{1}{5} \left( 2x+5 \right)^{2}-4x-k &= 0 \\ 5x^{2}+ \left( 4x^{2}+20x+25 \right) -20x-5k &= 0 \\ 9x^{2}+25-5k &= 0 \\ \hline D=b^{2}-4ac &= 0 \\ (0)^{2}-4(9)(25-5k) &= 0 \\ 0-900+180k &= 0 \\ 180k &= 900 \\ k &= \dfrac{900}{180}=5 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 5$ 15. Soal SPMB 2006 Kode 320 |*Soal LengkapDiketahui lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $(a,7)$ dengan $a$ bilangan bulat positif. Jika lingkaran tersebut menyinggung parabola $y=(a+2)+bx-x^{2}$ di titik puncak, maka $b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -4 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 4Alternatif Pembahasan: Soal di atas adalah penggabungan materi lingkaran dan fungsi kuadrat, sehingga sedikit catatan tentang fungsi kuadrat mungkin perlu kita tampilkan yaitu: Titik puncak parabola $y=ax^{2}+bx+c$ adalah $\left( -\dfrac{b}{2a}, -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \right)$ Lingkaran berjari-jari $3$ dan berpusat di $(a,7)$ menyinggung puncak parabola $y=(a+2)+bx-x^{2}$, kemungkinannya hanya berada pada satu posisi, ilustrasinya seperti berikut ini: Dari pusat lingkaran $(a,7)$ dan titik puncak parabola $\left( x_{p},y_{p} \right)$ dapat kita simpulan bahwa $x_{p}=a$ dan $y_{p}+3=7\ \rightarrow y_{p}=4$ $\begin{align} x_{p} &= -\dfrac{b}{2a} \\ a &= -\dfrac{b}{2(-1)} \\ 2a &= b \\ \hline y_{p} &= -\dfrac{b^{2}-4ac}{4a} \\ 4 &= -\dfrac{b^{2}-4(-1)(a+2)}{4(-1)} \\ 16 &= b^{2}+4a+8 \\ 0 &= b^{2}+4a-8 \\ 0 &= b^{2}+2(b)-8 \\ 0 &= (b+4)(b-2) \\ & b=-4\ \text{atau}\ b=2 \end{align}$ Karena $a$ bilangan bulat positif sehingga nilai $b$ yang memenuhi adalah $b=2$. $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$ 16. Soal SBMPTN 2016 Kode 322 |*Soal LengkapDiketahui dua buah lingkaran dengan titik pusat yang sama, berturut-turut berjari-jari $R_{1}$ dan $R_{2}$ dengan $R_{1} \gt R_{2}$. Jika panjang tali busur $AB=10$, maka selisih luas lingkaran tersebut adalah...Alternatif Pembahasan: Untuk menghitung Selisih luas lingkaran maka perhitungannya adalah; $\pi R_{1}^{2}-\pi R_{2}^{2} $ $=\pi \left (R_{1}^{2}-R_{2}^{2} \right )$ Sampai pada perhitungan ini kita membutuhkan kuadrat selisih dari jari-jari lingkaran. Dengan memperhatikan gambar diatas, $\bigtriangleup OAB$ adalah segitiga sama kaki. sehingga jika $OC$ merupakan garis tinggi, maka berlaku; $\begin{align} OA^{2} & = AC^{2}+OC^{2} \\ R_{1}^{2} & = 5^{2}+R_{2}^{2} \\ R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 5^{2} \\ R_{1}^{2}-R_{2}^{2} & = 25 \end{align}$ Selisih luas kedua lingkaran adalah $ \pi \left(R_{1}^{2} - R_{2}^{2}\right) = \pi (25)= 25 \pi $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 25 \pi$ 17. Soal SBMPTN 2016 Kode 234 |*Soal LengkapTitik $(0,b)$ adalah titik potong garis singgung persekutuan luar lingkaran luar $x^{2}+y^{2}=16$ dan $(x-8)^{2}+(y-8)^{2}=16$ dengan sumbu $y$. Nilai $b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 4\sqrt{2} \\ (B)\ & 3\sqrt{2} \\ (C)\ & 2\sqrt{2} \\ (D)\ & 2\sqrt{3} \\ (E)\ & \sqrt{3}Alternatif Pembahasan: Apa yang disampaikan pada soal jika kita gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini; $g_{1}$ dan $g_{3}$ adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran, sehingga garis singgung persekutuan luar lingkaran memotong sumbu $y$ di dua titik kemungkinan. Untuk mengetahui koordinat titik $(0,b)$ kita cari tahu persamaan $g_{1}$ atau $g_{3}$, dapat kita ketahui dengan menggunakan persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat $(0,0)$, $r=4$ dan gradien $m$ $y=mx\pm r\sqrt{1+m^{2}}$ $y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$ Untuk mengetahui gradien $g_{1}$ kita hitung dari gradien $g_{2}$ karena $g_{1}$ sejajar dengan $g_{2}$ sehingga gradiennya sama. Gradien $g_{2}$ $\begin{align} m_{2} & = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} \\ m_{2} & = \frac{8-0}{8-2} \\ m_{2} & = 1 \\ m_{1} & = 1 \\ \end{align}$ Persamaan $g_{1}$ adalah $y=mx\pm 4\sqrt{1+m^{2}}$ $y=x\pm 4\sqrt{1+1}$ $y=x\pm 4\sqrt{2}$ Saat garis $g_{1}$ memotong sumbu $y$ sehingga $x=0$ maka $y= 4\sqrt{2}$ atau $y= -4\sqrt{2}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4\sqrt{2}$ 18. Soal SBMPTN 2015 Kode 508 |*Soal LengkapMisalkan titik $A$ dan $B$ pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C(8,1)$. Jika luas segiempat yang melalui $A,B,C,$ dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -1 \\ (B)\ & 0 \\ (C)\ & 1 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3Alternatif Pembahasan: Apa yang disampaikan pada soal jika kita coba gambar, kurang lebih seperti tampak pada gambar berikut ini; Luas $PABC$ adalah $\left [ PACB \right ]=OA\cdot AC$ $OA \cdot AC=12$ Dari persamaan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x-2y+k=0$ kita dapat nilai $r=OA$, $\begin{align} r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ & = \sqrt{\frac{1}{4}(-6)^{2}+\frac{1}{4}(-2)^{2}-k} \\ & = \sqrt{10-k} \end{align}$ Begitu juga dari $\bigtriangleup OAC$ kita dapat nilai $AC$. $\begin{align} OA^{2}+AC^{2} & = OC^{2} \\ r^{2}+AC^{2} & = 5^{2} \\ AC^{2} & = 5^{2}-r^{2} \\ & = 25-\left (10-k \right ) \\ & = 15+k \\ AC & = \sqrt{15+k} \end{align}$ $\begin{align} OA\ \cdot AC & = 12 \\ \sqrt{10-k} \cdot \sqrt{15+k} & = 12 \\ (10-k) \cdot (15+k) & = 144 \\ 150-5k-k^{2} & = 144 \\ k^{2}+5k-6 & = 144 \\ (k+6)(k-1) & = 0 \end{align}$ Nilai $k$ yang memenuhi adalah $k=-6$ atau $k=1$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 1$ 19. Soal SBMPTN 2014 Kode 572/523 |*Soal LengkapPersamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(-2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x+2y+4=0 \\ (B)\ & x+3y+5=0 \\ (C)\ & x+y+3=0 \\ (D)\ & 2x+y+5=0 \\ (E)\ & 3x+y+7=0Alternatif Pembahasan: Dua lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut: Untuk lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ mempunyai ciri-ciri khusus yaitu jika jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $(a,a)$ , $(-a,a)$, $(a,-a)$, dan $(-a,-a)$. Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $(-2,-1)$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran III sehingga titik pusat adalah $(-a,-a)$ dan persamaan lingkarannya adalah $\left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$. karena lingkaran melaui titik $(-2,-1)$ sehingga berlaku: $\begin{align} \left (-2+a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2} & = a^{2} \\ 4-4a+a^{2}+1-2a+a^{2} & = a^{2} \\ a^{2}-6a+5 & = 0 \\ (a-5)(a-1) & = 0 \\ a= 5\ \text{atau}\ a = 1 & \end{align}$ Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah $\begin{align} \left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\ \left (x+5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2} &=5^{2} \\ x^{2}+y^{2}+10x+10y+25 &=0 \end{align}$ Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah $\begin{align} \left (x+a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\ \left (x+1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2} &=1^{2} \\ x^{2}+y^{2}+2x+2y+1 &=0 \end{align}$ Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran. $\begin{array}{c|c|cc} x^{2}+y^{2}+10x+10y+25=0 & \\ x^{2}+y^{2}+2x+2y+1=0 & (-) \\ \hline 8x+8y+24=0 & \\ x+ y+3=0 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x+y+3=0$ 20. Soal SBMPTN 2014 Kode 532 |*Soal LengkapPersamaan garis lurus yang melalui titik potong lingkaran-lingkaran yang melalui titik $(2,-1)$ dan menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ adalah... $\begin{align} (A)\ & x+y+1=0 \\ (B)\ & 2x+ y-3=0 \\ (C)\ & x-y-3=0 \\ (D)\ & x-2y+4=0 \\ (E)\ & 3x+y+5=0Alternatif Pembahasan: Dua lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ jika kita gambarkan kurang lebih seperti gambar berikut: Untuk lingkaran yang menyinggung sumbu $x$ dan sumbu $y$ mempunyai ciri-ciri khusus yaitu jika jari-jari $r=a$ maka titik pusat hanya ada 4 kemungkinan yaitu $(a,a)$ , $(-a,a)$, $(a,-a)$, dan $(-a,-a)$. Pada soal dikatakan lingkaran melalui titik $(2,-1)$ maka lingkaran yang dimaksud berada pada kwadran IV sehingga titik pusat adalah $(a,-a)$ dan persamaan lingkarannya adalah $\left (x-a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2}=a^{2}$. karena lingkaran melaui titik $(2,-1)$ sehingga berlaku: $\begin{align} \left (2-a \right )^{2}+\left (-1+a \right )^{2} & = a^{2} \\ 4-4a+a^{2}+1-2a+a^{2} & = a^{2} \\ a^{2}-6a+5 & = 0 \\ (a-5)(a-1) & = 0 \\ a= 5\ \text{atau}\ a = 1 & \end{align}$ Untuk $a=5$, persamaan lingkaran adalah $\begin{align} \left (x-a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\ \left (x-5 \right )^{2}+\left (y+5 \right )^{2} &=5^{2} \\ x^{2}+y^{2}-10x+10y+25 &=0 \end{align}$ Untuk $a=1$, persamaan lingkaran adalah $\begin{align} \left (x-a \right )^{2}+\left (y+a \right )^{2} &=a^{2} \\ \left (x-1 \right )^{2}+\left (y+1 \right )^{2} &=1^{2} \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y+1 &=0 \end{align}$ Untuk mendapatkan persamaan garis yang melalui titik potong dua lingkaran, bisa dengan mengeliminasi kedua persamaan lingkaran. $\begin{array}{c|c|cc} x^{2}+y^{2}-10x+10y+25=0 & \\ x^{2}+y^{2}-2x+2y+1=0 & (-) \\ \hline -8x+8y+24=0 & \\ -x+ y+3=0 & \\ x- y-3=0 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x-y-3=0$ 21. Soal SBMPTN 2014 Kode 512/514 |*Soal LengkapJika lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $2$ dan menyinggung $x-y=0$, maka nilai $a^{2}+b$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 12 \\ (B)\ & 8 \\ (C)\ & 4 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 0Alternatif Pembahasan: Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ mempunyai jari-jari $r=2$ $\begin{align} r & = \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \\ 2 & = \sqrt{\frac{1}{4}(-2a)^{2}-b} \\ 4 & = a^{2}-b\ \cdots\ (1) \end{align}$ Lingkaran $x^{2}+y^{2}-2ax+b=0$ menyinggung $y=x$ maka Diskriminan Persamaan Kuadrat persekutuan adalah nol. $x^{2}+x^{2}-2ax+b=0$ $2x^{2}-2ax+b=0$ $\begin{align} D & = 0 \\ b^{2}-4ac & = 0 \\ (-2a)^{2}-4(2)(b) & = 0 \\ 4a^{2}-8b & = 0 \\ a^{2}-2b & = 0\ \cdots\ (2) \\ \end{align}$ Jika persamaan $(1)$ dan $(2)$ kita eliminasi maka; $\begin{array}{c|c|cc} a^{2}-b=4 & \\ a^{2}-2b=0 & (-) \\ \hline b =4\ &\ a^{2}-b =4 \\ &\ a^{2}-4 =4 \\ &\ a^{2} =8 \\ a^{2}+b=12 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 12$ 22. Soal UN Matematika IPA 2016 |*Soal Lengkap]Persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah... $\begin{align} (A)\ & 4x-3y=43 \\ (B)\ & 4x+3y=23 \\ (C)\ & 3x-4y=41 \\ (D)\ & 10x+3y=55 \\ (E)\ & 4x-5y=53Alternatif Pembahasan: Persamaan garis singgung Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ di titik $\left ( x_{1},y_{1} \right )$ adalah; $xx_{1}+yy_{1}+\frac{1}{2}Ax+\frac{1}{2}Ax_{1}+\frac{1}{2}By+\frac{1}{2}By_{1}+C=0$ Persamaan garis singgung untuk lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-12=0$ di titik $(7,-5)$ adalah $x(7)+y(-5)+\frac{1}{2}(-6)x+\frac{1}{2}(-6)(7)+\frac{1}{2}(4)y+\frac{1}{2}(4)(-5)-12=0$ $7x-5y-3x-21+2y-10-12=0$ $4x-3y=43$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ 4x-3y=43$ 23. Soal UMB-PT 2013 Kode 172 |*Soal Lengkap]Jika pada lingkaran $L:x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ dibuat garis singgung $g$ di titik $(0,1)$ dan garis singgung $h$ di titik $(0,3)$, maka garis $g$ dan $h$ berpotongan di titik... $\begin{align} (A)\ & (2,4) \\ (B)\ & (2,3) \\ (C)\ & (1,-1) \\ (D)\ & (1,1) \\ (E)\ & (1,2)Alternatif Pembahasan: Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,1)$ adalah: $x(0) +y(1)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(1))+3=0$ $y +x-2y-2+3=0$ $ x-y =-1$ Garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4y+3=0$ di titik $(0,3)$ adalah: $x(0) +y(3)+\frac{1}{2}(2)(x+0)+\frac{1}{2}(-4)(y+(3))+3=0$ $3y +x-2y-6+3=0$ $ x+y =3$ Titik potong garis $g$ dan $h$ adalah: $\begin{array}{c|c|cc} x-y=-1 & \\ x+y =3 & (+) \\ \hline 2x =2 & \\ x =1 & \\ y=2 \end{array} $ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ (1,2)$ 24. Soal SBMPTN 2017 Kode 106 |*Soal Lengkap]Diketahui suatu lingkaran kecil dengan radius $3\sqrt{2}$ melalui pusat suatu lingkaran besar yang mempunyai radius $6$. Ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, seperti pada gambar. Luas daerah irisan kedua lingkaran adalah ...Alternatif Pembahasan: Luas daerah irisan kedua lingkaran jika kita arsir kurang lebih gambarnya menjadi sebagai berikut; Pada soal diberitahu ruas garis yang menghubungkan dua titik potong lingkaran merupakan diameter dari lingkaran kecil, sehingga gambar dapat kita sajikan seperti berikut; Dari gambar diatas luas irisan lingkaran adalah luas daerah biru ditambah luas daerah kuning. Kita dapat menghitung luas daerah biru yang merupakan luas setengah lingkaran kecil karena $AC$ merupakan diameter lingkaran kecil. $\begin{split} L_{Biru} & = \dfrac{1}{2} \pi r^{2} \\ & = \dfrac{1}{2} \pi (3\sqrt{2})^{2} = \dfrac{1}{2} \pi (18)\\ & = 9 \pi \end{split}$ Untuk menghitung luas daerah kuning yang merupakan luas tembereng lingkaran yang besar, dapat digunakan dengan menghitung selisih luas juring $ABC$ dengan luas segitiga $ABC$. Karena $AC$ merupakan diameter sehingga $\measuredangle ABC=90^{\circ}$, sehingga; $\begin{split} L_{Juring\ ABC} & = \frac{90^{\circ}}{360^{\circ}} \pi r^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi (6)^{2} \\ & = \frac{1}{4} \pi 36 = 9 \pi \end{split}$ $\begin{split} L_{ABC} & = \frac{1}{2} 6 \cdot 6 \\ & = 18 \\ \hline L_{Tembereng} & = 9 \pi - 18 \end{split}$ Luas irisan lingkaran adalah $ L_{Biru} +L_{Tembereng}$ yaitu $9 \pi +9 \pi - 18=18 \pi - 18$ $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 18\pi-18$ 25. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapPersamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif adalah... $\begin{align} (A)\ & x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0 \\ (B)\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y+25=0 \\ (C)\ & x^{2}+y^{2}-10x+10y-15=0 \\ (D)\ & x^{2}+y^{2}+5x+10y+15=0 \\ (E)\ & x^{2}+y^{2}+5x-10y+15=0Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
Dari gambar di atas, dapat kita misalkan pusat lingkaran adalah $(-a,a)$ dan jari-jari $a$. Karena garis $2x+3y-5=0$ melalui pusat lingkaran $(-a,a)$ sehingga berlaku: $\begin{align} 2x+3y-5 &= 0 \\ 2(-a)+3(a)-5 &= 0 \\ a &= 5 \\ \hline (x-a)^{2}+(y-b)^{2} &=r^{2} \\ (x+a)^{2}+(y-a)^{2} &=5^{2} \\ (x+5)^{2}+(y-5)^{2} &=5^{2} \\ x^{2}+10x+25+y^{2}-10y+25 &=25 \\ x^{2}+y^{2}+10x-10y+25 &=0 \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}+10x-10y+25=0$ 26. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapSebuah lingkaran memiliki pusat $(a,b)$ dengan jari-jari $12$ dan menyinggung garis $3x+4y=5$. Nilai $3a+4b$ yang mungkin adalah... $\begin{align} (A)\ & -65\ \text{dan}\ 75 \\ (B)\ & -60\ \text{dan}\ 70 \\ (C)\ & -55\ \text{dan}\ 65 \\ (D)\ & -50\ \text{dan}\ 60 \\ (E)\ & -45\ \text{dan}\ 55Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ -55\ \text{dan}\ 65$ 27. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapDiketahui titk $P(4,a)$ dan lingkaran $L:x^{2}+y^{2}-8x-2y+1=0$. Jika titik $P$ berada dalam lingkaran $L$, maka nilai $a$ yang mungkin adalah... $\begin{align} (A)\ & 1 \lt a \lt 3 \\ (B)\ & -3 \lt a \lt 5 \\ (C)\ & -5 \lt a \lt -3 \\ (D)\ & 3 \lt a \lt 5 \\ (E)\ & -5 \lt a \lt 3Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
Dengan menggunakan cara alternatif pertidaksamaan kuadrat, nilai $a$ yang memenuhi adalah $-3 \lt a \lt 5$. $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -3 \lt a \lt 5$ 28. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika garis $y=mx+b$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$, maka nilai $b^{2}-m^{2}+1=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & -3 \\ (B)\ & -2 \\ (C)\ & 0 \\ (D)\ & 2 \\ (E)\ & 3Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ 2$ 29. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapJika lingkaran $x^{2}+y^{2}=1$ menyinggung garis $ax+by=2b$, maka $\dfrac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & \dfrac{1}{4} \\ (B)\ & \dfrac{1}{2} \\ (C)\ & \dfrac{3}{4} \\ (D)\ & 1 \\ (E)\ & 2Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \dfrac{3 }{4}$ 30. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapSalah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+2y=0 $ yang tegak lurus dengan garis $x+2y=5$ adalah... $\begin{align} (A)\ & y=2x-2 \\ (B)\ & y=2x-6 \\ (C)\ & y=2x-8 \\ (D)\ & y=2x-10 \\ (E)\ & y=2x-12 \\Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
Karena garis singgung lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+2y=0 $ tegak lurus dengan garis $x+2y=5$ ($m=-\dfrac{1}{2}$), maka gradien garis singgung lingkaran adalah $m_{1} \cdot \left( -\dfrac{1}{2} \right) =-1\ \Leftrightarrow m_{1}=2$. $\begin{align} x^{2}+y^{2}-4x+2y &= 0 \\ x^{2}-4x+y^{2}+2y &= 0 \\ (x-2)^{2}-4+(y+1)^{2}-1 &= 0 \\ (x-2)^{2} +(y+1)^{2} &= 5 \end{align}$ Persamaan garis singgung lingkaran dengan $m=2$ adalah: $\begin{align} y-b & = m(x-a)\pm r\sqrt{m^{2}+1} \\ y+1 & = 2(x-2)\pm \sqrt{5} \sqrt{2^{2}+1} \\ y+1 & = 2 x-4 \pm 5 \\ y & = 2 x-5 \pm 5 \\ \hline y & = 2 x-5 - 5 \\ y & = 2 x-5 + 5 \\ \end{align}$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ y=2x-10$ 31. Soal UTBK-SBMPTN 2019 |*Soal LengkapSebuah lingkaran memiliki pusat $(a,b)$ dengan $a,b \gt 3$, menyinggung garis $3x+4y=12$. Jika lingkaran tersebut berjari-jari $12$, maka $3a+4b=\cdots$ $\begin{align} (A)\ & 24 \\ (B)\ & 36 \\ (C)\ & 48 \\ (D)\ & 60 \\ (E)\ & 72Alternatif Pembahasan: Catatan calon guru tentang Lingkaran yang mungkin kita butuhkan adalah:
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(E)\ 72$ 32. Soal UM UGM 2014 Kode 531/532 |*Soal LengkapJika garis $y=mx+k$ menyinggung lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+24=0$ di titik $(8,-4)$, maka nilai $m+k$ adalah... $\begin{align} (A)\ & -26 \\ (B)\ & -25 \\ (C)\ & -24 \\ (D)\ & -23 \\ (E)\ & -22Alternatif Pembahasan: Lingkaran $x^{2}+y^{2}-10x+6y+24=0$ bersinggungan dengan garis $y=mx+k$ di titik $(8,-4)$ maka jari-jari lingkaran merupakan jarak titik pusat $(5,-3)$ ke garis $y=mx+k$, sehingga berlaku: $\begin{align} \sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} & = \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ \sqrt{\frac{1}{4}(-10)^{2}+\frac{1}{4}(6)^{2}-24} & = \left| \dfrac{(m)(5)+(-1)(-3)+k}{\sqrt{(m)^{2}+(-1)^{2}}} \right| \\ \sqrt{25+9-24} & = \left| \dfrac{5m+3+k}{\sqrt{(m^{2}+1}} \right| \\ \sqrt{10} & = \left| \dfrac{5m+3+k}{\sqrt{(m^{2}+1}} \right| \\ \sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3+k \end{align}$ Garis $y=mx+k$ melalui titik $(8,-4)$ sehingga $-4=8m+k$ atau $k=-4-8m$, $\begin{align} \sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3+k\\ \sqrt{10m^{2}+10} & = 5m+3-4-8m\\ \sqrt{10m^{2}+10} & = -1-3m\\ 10m^{2}+10 & = \left( -1-3m \right)^{2}\\ 10m^{2}+10 & = 9m^{2}+6m+1 \\ m^{2}-6m+9 & = 0 \\ \left( m-3 \right)^{2} & = 0 \\ m & = 3 \end{align}$ Untuk $m=3$ kita peroleh $k=-4-8m=-4-8(3)=-28$, sehingga nilai $m+k=3-28=-25$ $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ -25$ 33. Soal UM UGM 2019 Kode 624 |*Soal LengkapBilangan $A \gt 0$ sehingga lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ mempunyai jari-jari $A+1$ adalah...Alternatif Pembahasan: Lingkaran $x^{2}+y^{2}+2x-4Ay+40=0$ jari-jarinya adalah $A+1$ sehingga dapat kita tuliskan: $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(B)\ 4$ 34. Soal UM-UGM 2018 Kode 576 |*Soal LengkapDiberikan lingkaran pada bidang koordinat yang memotong sumbu-$x$ di $\left( 1,0 \right)$ dan $\left( 3,0 \right)$. Jika lingkaran tersebut menyingung sumbu-$y$, maka titik singgung yang mungkin adalah...Alternatif Pembahasan: Lingkaran $x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0$ melalui titik $\left( 1,0 \right)$, $\left( 3,0 \right)$ dan menyinggung sumby-$y$ kita misalkan di titik $\left( 0,p \right)$, sehingga dapat kita tuliskan:
Dengan proses eliminasi atau substitusi pada persamaan $ A +C =-1$, dan $3A +C =-9$ kita peroleh: $\begin{array}{c|c|cc} A+C=-1 & \\ 3A+C=-9 & (-) \\ \hline 2A = -8\ & \\ A = -4 & C=3 \end{array} $ Untuk $A=-4$ dan $C=3$ kita peroleh lingkaran $x^{2}+y^{2}-4x+By+3=0$. Lingkaran menyinggung sumbu-$y$ di $\left( 0,p \right)$ sehingga pusatnya adalah $\left( 2,p \right)$ dan $r= 2$. Jika kita gambarkan keadaan lingkarannya seperti berikut ini: Dari pusat lingkaran $\left( 2,p \right)$ maka $-\frac{1}{2}B=p$ atau $B=-2p$, dan untuk jari-jari $r= 2$ sehingga dapat kita tuliskan: titik potong terhadap sumbu-$y$ adalah $\left( 0, \sqrt{3} \right)$ dan $\left( 0, -\sqrt{3} \right)$
$ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ \left( 0,\sqrt{3} \right)$ 35. Soal UM-UGM 2018 Kode 276 |*Soal LengkapDiberikan garis $y=\dfrac{x}{3}$ dan $y=3x$. Persamaan lingkaran yang menyinggung dua garis tersebut, berpusat di $\left( -a,-a \right)$, $a \gt 0$, dan berjari-jari $\dfrac{6}{\sqrt{10}}$ adalah...Alternatif Pembahasan: Lingkaran yang menyinggung garis $y=\dfrac{x}{3}$ dan $y=3x$ memiliki jari-jari $r=\dfrac{6}{\sqrt{10}}$ sehingga jarak titik pusat $\left( -a,-a \right)$ ke garis $ y=3x$ adalah $\dfrac{6}{\sqrt{10}}$. $\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(-3)(-a)+(1)(-a)+(0)}{\sqrt{(-3)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ \dfrac{6}{\sqrt{10}} &= \left| \dfrac{3a-a}{\sqrt{10}} \right| \\ \dfrac{6}{\sqrt{10}} &= \left| \dfrac{2a}{\sqrt{10}} \right| \\ a &= \pm 3 \end{align}$ Nilai $a \gt 0$, nilai $a=3$ sehingga pusat lingkaran adalah $\left( -3,-3 \right)$ dan dengan $r=\dfrac{6}{\sqrt{10}}$ persamaan lingkaran adalah: Jika kita gambarkan keadaan lingkaran dan garisnya seperti berikut ini: $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ x^{2}+y^{2}+6x+6y+\frac{72}{5}=0$ 36. Soal UM-UGM 2017 Kode 714 |*Soal LengkapTitik pusat lingkaran $L$ terletak di kuadran I dan terletak pada garis $y=2x+1$. Jika lingkaran $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $\left( 0,11 \right)$ maka persamaan lingkaran L adalah...Alternatif Pembahasan: Lingkaran L yang menyinggung sumbu-$y$ di titik $\left( 0,11 \right)$ sehingga titik pusatnya dapat kita misalkan adalah $\left( p,11 \right)$ dan jari-jari $r=p$. Karena titik pusat berada di garis $y=2x+1$ maka berlaku $11=2p+1$ atau $p=5$. Dengan titik pusat lingkaran L adalah $\left( 5,11 \right)$ dan jari-jari $r=5$ persamaan lingkaran adalah: Jika kita gambarkan keadaan lingkaran dan garisnya seperti berikut ini: $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-10x-22y+121=0$ 37. Soal UM-UGM 2017 Kode 738 |*Soal LengkapSebuah lingkaran dengan pusat $P \left( 2,3 \right)$ dan menyinggung garis $4x+3y -7 = 0$, maka persamaan lingkaran ialah...Alternatif Pembahasan: Lingkaran yang berpusat di $P \left( 2,3 \right)$ dan meyinggung garis garis $4x+3y -7 = 0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $P \left( 2,3 \right)$ ke garis $4x+3y -7 = 0$. $\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(4)(2)+(3)(3)+(-7)}{\sqrt{(4)^{2}+(3)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{10}{\sqrt{16+9}} \right|= \left| \dfrac{10}{5} \right|= 2 \end{align}$ Lingkaran pusatnya $P \left( 2,3 \right)$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah: Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini: $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(A)\ \left( x-2 \right)^{2}+\left( y-3 \right)^{2} = 4$ 38. Soal UM-UGM 2016 Kode 582 |*Soal LengkapDiketahui $\left( 1,p \right)$ berada pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-2y=0$. Persamaan lingkaran dengan pusat $\left( 1,p \right)$ dan menyinggung garis $px+y=4$ adalah...Alternatif Pembahasan: Titik $\left( 1,p \right)$ berada pada lingkaran $x^{2}+y^{2}-2y=0$ sehingga dapat kita tuliskan $\begin{align} x^{2}+y^{2}-2y &= 0 \\ 1^{2}+p^{2}-2p &= 0 \\ p^{2}-2p+1 &= 0 \\ p^{2}-2p+1 &= 0 \\ \left( p-1 \right)\left( p-1 \right) &= 0 \\ p=1 & \end{align}$ Untuk $p=1$ kita peroleh pusat lingkaran $\left( 1,1 \right)$ yang menyinggung garis $x+y=4$ jari-jarinya adalah jarak titik pusat $ \left( 1,1 \right)$ ke garis $x+y = 4$. $\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(1)(1)+(1)(1)+(-4)}{\sqrt{(1)^{2}+(1)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-2}{\sqrt{1+1}} \right|= \dfrac{2}{\sqrt{2}} \end{align}$ Lingkaran pusatnya $\left( 1,1 \right)$ dan $r=\dfrac{2}{\sqrt{2}}$, maka persamaanya adalah: Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini: $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}-2x-2y=0$ 39. Soal UM UNDIP 2019 Kode 324 |*Soal LengkapPersamaan lingkaran lingkaran yang berpusat di titik $P\left( -2,3 \right)$ dan menyinggung garis $4x-3y +2 = 0$ mempunyai persamaan...Alternatif Pembahasan: Lingkaran yang berpusat di $P \left( -2,3 \right)$ dan meyinggung garis garis $4x-3y +2 = 0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $P \left( -2,3 \right)$ ke garis $4x-3y +2 = 0$. $\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(4)(-2)+(-3)(3)+(2)}{\sqrt{(4)^{2}+(-3)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{-15}{\sqrt{16+9}} \right|= \left| \dfrac{-15}{5} \right|= 3 \end{align}$ Lingkaran pusatnya $P \left( 2,3 \right)$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah: Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini: $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ x^{2}+y^{2}+4x-6y+4=0$ 40. Soal UM UNDIP 2018 Kode 730 |*Soal LengkapLingkaran yang sepusat dengan lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-13=0$ dan menyinggung garis $3x+4y+9=0$ mempunyai persamaan...Alternatif Pembahasan: Pusat lingkaran $x^{2}+y^{2}-6x+4y-13=0$ adalah $\left( -\frac{1}{2}A, -\frac{1}{2}B \right)= \left( 3,-2 \right)$. Lingkaran dengan titik pusat $\left( 3,-2 \right)$ dan menyinggung garis garis $3x+4y+9=0$, maka jari-jari lingkaran dapat kita tentukan dengan menghitung jarak titik pusat $\left( 3,-2 \right)$ ke garis $3x+4y+9=0$. $\begin{align} d &= \left| \dfrac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right| \\ r &= \left| \dfrac{(3)(3)+(4)(-2)+(9)}{\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}}} \right| \\ &= \left| \dfrac{10}{\sqrt{9+16}} \right|= \left| \dfrac{10}{5} \right|= 2 \end{align}$ Lingkaran pusatnya $\left( 3,-2 \right)$ dan $r=2$, maka persamaanya adalah: Jika kita gambarkan Lingkaran yang menyinggung garis, seperti berikut ini: $ \therefore $ Pilihan yang sesuai adalah $(D)\ x^{2}+y^{2}-6x+4y+9=0$ 41. Soal UM UGM 2019 Kode 923/924 |*Soal LengkapDiberikan lingkaran pada bidang koordinat dengan titik pusat $\left(a,b \right)$ dan memotong sumbu-$X$ di titik $\left( 3,0 \right)$ dan $\left( 9,0 \right)$. Jika garis yang melalui titik $\left( 0,3 \right)$ menyinggung lingkaran di titik $\left( 3,0 \right)$, maka nilai dari $a^{2}-b^{2}$ adalah...Alternatif Pembahasan: Jika kita gambarkan lingkaran dan garis yang disebutkan oleh soal, seperti berikut ini: Persamaan garis yang melalui titik $A\left( 0,3 \right)$ dan $B\left( 3,0 \right)$ adalah garis $AB$ yaitu: Garis $AB$ menyinggung lingkaran dan $BP$ merupakan jari-jari lingkaran sehingga $AB \perp BP$ dan kita peroleh: Jari-jari lingkaran $BP$ dan $PC$, sehingga berlaku: $\therefore$ Pilihan yang sesuai $(C)\ 27$ 42. Soal SBMPTN 2016 Kode 249 |*Soal LengkapDiketahui persegi dengan panjang sisi $12$ dan setengah lingkaran dengan diameter pada alas, seperti pada gambar. Garis $CE$ menyinggung lingkaran di titik $F$. Panjang garis $CE$ adalah...Alternatif Pembahasan: Dari informasi pada soal, jika kita misalkan $EA=x$ maka kita peroleh $ED=12-x$ dan unsur lain dapat kita gambarkan seperti berikut ini: Dari gambar di atas kita peroleh bahwa $\bigtriangleup OBC$ kongruen dengan $\bigtriangleup OCF$ sehingga dengan $BC=12$ kita peroleh $CF=12$. Begitu juga dengan $\bigtriangleup AOE$ kongruen dengan $\bigtriangleup OEF$ sehingga sehingga dengan $AE=x$ kita peroleh $EF=x$ Dari segitiga siku-siku $ECD$ kita peroleh: $\begin{align} EC^{2} & = ED^{2}+CD^{2} \\ \left( EF+FC \right)^{2} & = ED^{2}+CD^{2} \\ \left( x+12 \right)^{2} & = \left( 12-x \right)^{2}+12^{2} \\ x^{2}+24x+144 & = x^{2}-24x+144+144 \\ 24x & = -24x+144 \\ 24x+24x & = 144 \\ 48x & = 144\ \\ x & = \dfrac{144}{48}=3 \end{align}$ Untuk $x=3$ kita peroleh $EC=x+12=3+12=15$. $\therefore$ Pilihan yang sesuai adalah $(C)\ 15$ Jika engkau tidak sanggup menahan lelahnya belajar, Maka engkau harus menanggung pahitnya kebodohan ___pythagoras Beberapa pembahasan soal Matematika Dasar Lingkaran di atas adalah coretan kreatif siswa pada:
Untuk segala sesuatu hal yang perlu kita diskusikan terkait Bank Soal dan Pembahasan Matematika Dasar SMA Lingkaran silahkan disampaikan 🙏 CMIIW😊. Jangan Lupa Untuk Berbagi 🙏 Share is Caring 👀 dan JADIKAN HARI INI LUAR BIASA! - WITH GOD ALL THINGS ARE POSSIBLE😊 |
