Matriks yang bersesuaian dengan refleksi terhadap sumbu x adalah
|
Show
Matriks Refleksi (Pencerminan)Misalkan peta titik A(x, y) oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :
 Contoh 1 Peta titik A(2, 3) oleh pencerminan terhadap garis y = x adalah ...
Contoh 2 Bayangan titik P jika dicerminkan terhadap sumbu x adalah (4, -2 ). Koordinat titik P adalah ...Jawab : \(\begin{bmatrix} {\color{white} -}4\\ -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & {\color{white} -}0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} {\color{white} -}4\\ -2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{white} -}x\\ -y \end{bmatrix}\) Dari persamaan matriks diatas kita peroleh 4 = x → x = 4 -2 = -y → y = 2 Jadi, koordinat titik P adalah (4, 2)Contoh 3 Bayangan garis 2x + y - 3 = 0 jika dicerminkan terhadap pusat O adalah ...Jawab : \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -x\\ -y \end{bmatrix}\) Dari persamaan matriks diatas kita peroleh x' = -x → x = -x' y' = -y → y = -y' Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis 2x + y - 3 = 0 2(-x') + (-y') - 3 = 0 -2x' - y' - 3 = 0 2x' + y' + 3 = 0 Jadi, bayangannya adalah 2x + y + 3 = 0Matriks Rotasi (Perputaran)Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat O sejauh θ adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut
x = r cos α y = r sin α Dari segitiga siku-siku OCA' diperoleh x' = r cos (α + θ ) x' = r (cos α cos θ - sin α sin θ) x' = r cos α cos θ - r sin α sin θ x' = x cos θ - y sin θ y' = r sin (α + θ ) y' = r (sin α cos θ + cos α sin θ) y' = r sin α cos θ + r cos α sin θ y' = y cos θ + x sin θ y' = x sin θ + y cos θ Diperoleh x' = x cos θ - y sin θ y' = x sin θ + y cos θ Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\;\theta & -sin\;\theta \\ sin\;\theta & cos\;\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$ Jadi, matriks yang bersesuaian dengan rotasi terhadap pusat O sebesar θ adalah $$\mathrm{M_{[O,\;\theta ]}}=\begin{bmatrix} cos\;\theta & -sin\;\theta\\ sin\;\theta & cos\;\theta \end{bmatrix}$$ Contoh 4 Titik A(-4, 3) dipetakan oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° searah jarum jam. Peta titik A adalah ...Jawab : Searah jarum jam berarti θ = -90° Ingat :sin (-θ) = - sin θ cos (-θ) = cos θ \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\,(-90^{\circ}) & -sin\,(-90^{\circ})\\ sin\,(-90^{\circ}) & cos\,(-90^{\circ}) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -4\\ 3 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -4\\ 3 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 3\\ 4 \end{bmatrix}\) Jadi, peta titik A adalah A'(3, 4) Contoh 5 Bayangan garis y = 2x + 1 oleh rotasi dengan pusat O sebesar 180° adalah ...Jawab : \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\,180^{\circ} & -sin\,180^{\circ}\\ sin\,180^{\circ} & cos\,180^{\circ} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -x\\ -y \end{bmatrix}\) Dari persamaan matriks diatas diperoleh x' = -x → x = -x' y' = -y → y = -y' Substitusi x = -x' dan y = -y' ke garis y = 2x + 1 -y' = 2(-x') + 1 -y' = -2x' + 1 y' = 2x' - 1 Jadi, bayangannya adalah y = 2x - 1 Misalkan peta titik A(x, y) oleh rotasi dengan pusat P(a, b) sejauh θ adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :
x - a = r cos α y - b = r sin α Dari segitiga siku-siku PCA' diperoleh x' - a = r cos (α + θ) x' - a = r (cos α cos θ - sin α sin θ) x' - a = r cos α cos θ - r sin α sin θ x' - a = (x - a) cos θ - (y - b) sin θ y' - b = r sin (α + θ) y' - b = r (sin α cos θ + cos α sin θ) y' - b = r sin α cos θ + r cos α sin θ y' - b = (y - b) cos θ + (x - a) sin θ y' - b = (x - a) sin θ + (y - b) cos θ Diperoleh x' - a = (x - a) cos θ - (y - b) sin θ y' - b = (x - a) sin θ + (y - b) cos θ Dalam persamaan matriks kita tulis $$\begin{bmatrix} x'-\mathrm{a}\\ y'-b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\;\theta & -sin\;\theta \\ sin\;\theta & cos\;\theta \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-\mathrm{a}\\ y-b \end{bmatrix}$$ Contoh 6 Persamaan bayangan parabola y = x2 + 2x + 1 jika dirotasi dengan pusat P(2, -3) sejauh 270° adalah ... Jawab : \(\begin{bmatrix} x'-2\\ y'+3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} cos\,270^{\circ} & -sin\,270^{\circ}\\ sin\,270^{\circ} & cos\,270^{\circ} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-2\\ y+3 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'-2\\ y'+3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-2\\ y+3 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'-2\\ y'+3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} y+3\\ -x+2 \end{bmatrix}\) Dari persamaan matriks diatas kita peroleh x' - 2 = y + 3 → y = x' - 5 y' + 3 = -x + 2 → x = -y' - 1Substitusi x dan y ke parabola y = x2 + 2x + 1 x' - 5 = (-y' - 1)2 + 2(-y' - 1) + 1 x' - 5 = (y')2 + 2y' + 1 - 2y' - 2 + 1 x' - 5 = (y')2 (y')2 = x' - 5 Jadi, persamaan bayangannya adalah y2 = x - 5 Matriks Dilatasi (Perkalian)Misalkan peta titik A(x, y) oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala k adalah A'(x', y'). Perhatikan gambar berikut :
Contoh 7 Persamaan bayangan lingkaran x2 + y2 = 5 oleh dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 2 adalah ... Jawab : \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2x\\ 2y \end{bmatrix}\) Dari persamaan matriks diatas kita peroleh x' = 2x → x = \(\frac{1}{2}\)x' y' = 2y → y = \(\frac{1}{2}\)y'Substitusi x dan y ke persamaan x2 + y2 = 5 (\(\frac{1}{2}\)x')2 + (\(\frac{1}{2}\)y')2 = 5 \(\frac{1}{4}\)(x')2 + \(\frac{1}{4}\)(y')2 = 5 (kali 4) (x')2 + (y')2 = 20 Jadi, bayangannya adalah x2 + y2 = 20 Contoh 8 Peta titik R(1, 3) oleh dilatasi dengan pusat (-2, 4) dan faktor skala -2 adalah ...Jawab : Titik R : (x, y) = (1, 3) Pusat dilatasi : (a, b) = (-2, 4) Faktor skala : k = -2 Peta titik R : (x', y') = ? Persamaan matriksnya \(\begin{bmatrix} x'-\mathrm{a}\\ y'-b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} k & 0\\ 0 & k \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x-\mathrm{a}\\ y-b \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'+2\\ y'-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 0\\ 0 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1+2\\ 3-4 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'+2\\ y'-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & 0\\ 0 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'+2\\ y'-4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6\\ 2 \end{bmatrix}\) Dari persamaan matriks diatas kita peroleh x' + 2 = -6 → x' = -8 y' - 4 = 2 → y' = 6 Jadi, peta titik R adalah R'(-8, 6) Jika titik A(1, 0) dan B(0, 1) kita tuliskan sebagai matriks kolom, akan kita peroleh matriks identitas, yaitu : $$\mathrm{I}=\begin{bmatrix} {\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\ {\color{Green} 0} & {\color{Red} 1} \end{bmatrix}$$ Hal yang menarik adalah, titik A dan B ini dapat kita gunakan untuk menemukan matriks yang bersesuaian dengan transformasi tertentu, seperti pencerminan ataupun perputaran. Perhatikan gambar berikut :
Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap pusat O adalah A'(-1, 0) dan B'(0, -1). Jika bayangannya ini kita susun menjadi matriks kolom, akan diperoleh matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap pusat O, yaitu : $$\mathrm{M_{O}}=\begin{bmatrix} {\color{Green} -1} & {\color{Red} 0}\\ {\color{Green} 0} & {\color{Red} -1} \end{bmatrix}$$ Bayangan titik A dan B oleh pencerminan terhadap sumbu x adalah A'(1, 0) dan B'(0, -1). $$\mathrm{M_{x}}=\begin{bmatrix} {\color{Green} 1} & {\color{Red} 0}\\ {\color{Green} 0} & {\color{Red} -1} \end{bmatrix}$$Bayangan titik A dan B oleh rotasi dengan pusat O sejauh 90° adalah A'(0, 1) dan B'(-1, 0). $$\mathrm{M_{[O,90^{\circ}]}}=\begin{bmatrix} {\color{Green} 0} & {\color{Red} -1}\\ {\color{Green} 1} & {\color{Red} 0} \end{bmatrix}$$ Untuk matriks-mariks transformasi lainnya dapat kita peroleh dengan cara yang sama, yaitu transformasikan titik A dan B, kemudian nyatakan bayangannya sebagai matriks kolom.Matriks yang bersesuaian dengan dua transformasi berurutanMisalkan \(\mathrm{M_{1}}=\begin{bmatrix} a & b\\ c & d\end{bmatrix}\) adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T1 dan \(\mathrm{M_{2}}=\begin{bmatrix} e & f\\ g & h\end{bmatrix}\) adalah matriks yang bersesuaian dengan transformasi T2 . Jika A'(x', y') adalah hasil pemetaan titik A(x, y) oleh transformasi T1 dan dilanjutkan transformasi T2 , ditulis T2 o T1 , maka peta titik A dapat dinyatakan dalam persamaan matriks berikut $$\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}$$ dengan matriks transformasinya $$\mathrm{M_{\left [T_{2}\,o\,T_{1} \right ]}}=\begin{bmatrix} e & f\\ g & h \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}$$Catatan : Urutan perkalian matriksnya harus diperhatikan, karena pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif. Contoh 9 Diketahui T1 adalah transformasi pencerminan terhadap sumbu x dan T2 adalah transformasi rotasi dengan pusat O sejauh 90°. Tentukan bayangan titik A(2, 5) oleh transformasi : a. T2 o T1 b. T1 o T2 Jawab : M1 = \(\begin{bmatrix} {\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\ {\color{Red} 0} & {\color{Red} -1} \end{bmatrix}\) dan M2 = \(\begin{bmatrix} {\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\ {\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0} \end{bmatrix}\)a. T2 o T1 (T1 dilanjutkan T2)\(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\ {\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\ {\color{Red} 0} & {\color{Red} -1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix}\)Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T2 o T1 adalah A'(5, 2). b. T1 o T2 (T2 dilanjutkan T1)\(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{Red} 1} & {\color{white} -}{\color{Red} 0}\\ {\color{Red} 0} & {\color{Red} -1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\color{Green} 0} & {\color{Green} -1}\\ {\color{Green} 1} & {\color{white} -}{\color{Green} 0} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{white} -}0 & -1\\ -1 & {\color{white} -}0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -5\\ -2 \end{bmatrix}\)Jadi, bayangan titik A oleh trasformasi T1 o T2 adalah A'(-5, -2). Contoh 10 Persamaan bayangan garis x + y = 1 oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks \(\begin{bmatrix} {\color{white} -}1\; & 0\;\\ -2\; & 1\; \end{bmatrix}\) dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 4 adalah ...Jawab : \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & 0\\ 0 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {\color{white} -}1 & 0\\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{white} -}4 & 0\\ -8 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}\) Jika diagonal matriks transformasinya tidak nol seperti kasus diatas, akan lebih mudah menggunakan sifat invers matriks dalam menentukan x dan y. \(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {\color{white} -}4 & 0\\ -8 & 4 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{4} & 0\\ \frac{1}{2} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x'\\ y' \end{bmatrix}\) \(\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{1}{4}x'\\ \frac{1}{2}x'+\frac{1}{4}y' \end{bmatrix}\) dari persamaan matriks diatas kita peroleh x = \(\frac{1}{4}\)x' y = \(\frac{1}{2}\)x' + \(\frac{1}{4}\)y' Substitusi x dan y ke garis x + y = 1\(\frac{1}{4}\)x' + \(\frac{1}{2}\)x' + \(\frac{1}{4}\)y' = 1 (kali 4) x' + 2x' + y' = 4 3x' + y' = 4 Jadi, bayangannya adalah 3x + y = 4 |
