Onde encontramos os poligonos no dia a dia comparação

A palavra Polígono é oriunda do grego e significa: Polígono = Poli (muitos) + gono (ângulos). Matematicamente denominamos polígonos como sendo uma superfície plana limitada por uma linha poligonal fechada. Linha poligonal é uma linha que é formada apenas por segmentos de reta. Os polígonos precisam ser figuras fechadas. O número de lados de um polígono coincide com o número de ângulos.

Observe:

Os polígonos classificam-se em função do número de lados. Abaixo estão os principais polígonos: 

Alguns polígonos possuem nomes bem particulares, veja a seguir:

• um polígono com 9 ângulos → eneágono
• um polígono com 11 ângulos → undecágono
• um polígono com 15 ângulos → pentadecágono
• um polígono com 20 ângulos → icoságono

Os polígonos possuem os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos e diagonais. Dos elementos citados vamos dar ênfase no significado de diagonais e como calcular o número de diagonais de um polígono qualquer.

Polígonos no dia-a-dia e na natureza

É comum o uso de polígonos regulares no cotidiano. As abelhas utilizam-se do hexágono regular nas colméias.

Nas bolas de futebol também aparecem figuras baseadas em polígonos regulares (pentágonos e hexágonos regulares).

Na engenharia, algumas formações poligonais são utilizadas. Por exemplo, na ponte Hercílio Luz (SC) pode-se ver a formação de triângulos e quadriláteros, formados pelas barras de aço que ligam as torres.

Na Calçada dos Gigantes - formação geológica de basalto, localizada no litoral nordeste da Irlanda - torres de rochas prismáticas foram erguidas no passado por atividades vulcânicas.

Referências Bibliográficas:
ANDRINI, Álvaro. VASCONCELOS, Maria José. Novo Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 2002.

Polígono é a região limitada por segmentos de reta, os quais constituem linhas fechadas. Observe:

Alguns polígonos são nomeados de acordo com o número de lados e outros de acordo com algumas características essenciais. Veja:

A: retângulo (polígono com quatro lados, em que os paralelos possuem a mesma medida)

B: triângulo isósceles (polígono de três lados, em que dois possuem a mesma medida)

C: triângulo equilátero (os três lados possuem a mesma medida)

D: hexágono (polígono com seis lados)

E: quadrado (possui os quatro lados com medidas iguais)

F: pentágono (polígono com cinco lados)

Em um polígono podemos identificar os seguintes elementos: vértices, lados, ângulos internos, ângulos externos, diagonais. O triângulo é o único dos polígonos que não possui diagonal.

Os vértices constituem o ponto de encontro de dois segmentos laterais.

Os lados são as linhas poligonais que se encontram dois a dois em cada vértice.

Os ângulos internos e externos são formados pelo encontro de dois lados consecutivos.

As diagonais são segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos. Lembre-se, que o triângulo não possui diagonal.

No polígono acima temos:

Lados: AB, BC, CD, DE, AE

Vértices: A, B, C, D e E

Ângulos internos: a, b, c, d, e

Ângulos externos: a1, b1, c1, d1, e1

Diagonais: AD ou DA, AC ou CA, BE ou EB, BD ou DB, CE ou EC

Por Marcos Noé Graduado em Matemática

Equipe Mund

Publicado por Marcos Noé Pedro da Silva

Polígonos são linhas fechadas formadas apenas por segmentos de reta que não se cruzam. Em outras palavras, são figuras geométricas planas formadas por lados, que, por sua vez, são segmentos de reta.

Para melhor compreensão, são exemplos de polígonos as seguintes figuras:

As figuras a seguir, no entanto, são exemplos de não polígonos:

Na imagem A, a figura não é um polígono porque seus lados não são formados apenas por segmentos de reta. Também não se trata de um polígono a figura da imagem B, pois ela não é fechada. Na imagem C, os segmentos de reta se cruzam, característica que não faz parte dos polígonos.

Polígonos convexos

Um polígono é convexo quando não possui reentrâncias. Em outras palavras, se pudermos construir pelo menos um segmento com as extremidades A e B no interior do polígono e alguma parte desse segmento estiver fora do polígono, então, esse polígono não será convexo.

Observe um polígono não convexo, com os pontos A e B em seu interior e parte do segmento AB em seu exterior:

Sempre que for impossível encontrar parte do segmento AB no exterior do polígono, com os pontos A e B em seu interior, esse polígono será convexo, como o exemplo abaixo:

Elementos do polígono convexo

1 – Lados: cada segmento de reta que forma o polígono é um de seus lados.

2 – Vértices: São os pontos de encontro entre os lados de um polígono.

3 – Ângulos internos: São os ângulos entre dois lados consecutivos no interior do polígono.

4 – Ângulos externos: São os ângulos que estão no exterior do polígono, entre um de seus lados e o prolongamento do lado consecutivo a ele.

5 – Diagonais: segmentos de reta que ligam dois vértices não consecutivos.

Um exemplo de cada um dos elementos de um polígono

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é dada pela seguinte fórmula:

A = (n – 2)180

Nessa fórmula, n é o número de lados do polígono.

A soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°, e o número de diagonais de um polígono convexo é obtido pela fórmula abaixo:

d = n(n – 3)
     2

Polígonos regulares

Quando um polígono convexo possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos com a mesma medida, ele é chamado de regular.

As propriedades dos polígonos regulares são:

1 – Cada ângulo interno de um polígono regular pode ser obtido pela fórmula:

A = (n – 2)180
      n

Nessa fórmula acima, o numerador do segundo membro é a fórmula usada para calcular a soma dos ângulos internos de um polígono convexo, e n é o número de lados do polígono.

2 – Cada ângulo externo de um polígono regular de n lados pode ser obtido pela seguinte fórmula:

S = 360°
      n

Em que n é o número de lados do polígono.

Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas formadas por segmentos de reta. Os polígonos dividem-se em dois grupos, os convexos e os não convexos. Quando um polígono possui todos os seus lados iguais e, consequentemente, todos os ângulos internos iguais, trata-se de um polígono regular. Os polígonos regulares podem ser nomeados de acordo com a quantidade de seus lados.

Veja também: Construção de polígonos circunscritos

Elementos de um polígono

Polígono é a figura plana e fechada formada pela união de um número finito de segmentos de retas. Assim, considere um polígono qualquer:

Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices do polígono e são formados pelo encontros dos segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA, chamados lados do polígono.

Os segmentos AF, AE, AD e BG são as diagonais do polígono. (Perceba que esses são alguns exemplos de diagonais, no polígono anterior temos mais dessas.) Diagonais são segmentos de retas que “ligam” os vértices do polígono.

Nomenclatura de um polígono

Podemos nomear os polígonos de acordo com seu número de lados. Veja na tabela a seguir o nome dos principais polígonos.

Número de lados (n)	Nomenclatura
3	Triângulo
4	Quadrilátero
5	Pentágono
6	Hexágono
7	Heptágono
8	Octógono
9	Eneágono
10	Decágono
11	Undecágono
12	Dodecágono
15	Pentadecágono
20	Icoságono

Note que não é necessário decorar a tabela e sim entendê-la. Com exceção do triângulo e do quadrilátero, a formação da palavra é:

Número de lados + gono

Por exemplo, quando temos o polígono de cinco lados, automaticamente nos lembramos do prefixo penta mais o sufixo gono: pentágono.

Exemplo

Determine o nome do polígono a seguir:

A quantidade de lados do polígono é sete, logo, o polígono é um heptágono.

Classificação dos polígonos

Os polígonos são classificados pela medida de seus ângulos e lados. Um polígono é dito equilátero quando possui lados congruentes, ou seja, todos lados iguais; e será dito equiângulo quando possuir ângulos congruentes, isto é, todos ângulos iguais.

Caso um polígono seja equilátero e equiângulo, então ele será um polígono regular.

Em todo polígono regular, o centro tem a mesma distância dos lados, ou seja, é equidistante dos lados. O centro do polígono é também o centro da circunferência inscrita no polígono, ou seja, a circunferência que está “dentro” da circunferência.

Leia mais: Semelhança de polígonos: veja quais são as condições

Soma dos ângulos internos de um polígono

Seja ai um ângulo interno de um polígono regular de n lados, representaremos a soma desses ângulos internos por Si.

Assim, a soma dos ângulos internos é dada por:

Si = (n - 2) · 180°

Para calcular o valor de cada ângulo interno, basta pegar o valor da soma dos ângulos internos e dividir pelo número de lados, ou seja:

ai = Si
       n

Exemplo 1

Determine a soma dos ângulos internos e, em seguida, a medida de cada ângulo interno de um icoságono.

Sabemos que um icoságono possui vinte lados, logo, n = 20. Substituindo nas relações, temos:

Si = (n - 2) · 180°

Si = (20 - 2) · 180°

Si = 18 · 180°

Si = 3240°

Agora, para determinar o valor de cada ângulo interno, basta dividir o valor encontrado pelo número de lados:

ai = 3240°
    20

ai = 162°

Exemplo 2

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 720°, determine o polígono.

Substituindo a informação do enunciado na fórmula, temos:

720° = (n - 2) · 180°

720° = 180n – 360°

180n = 720° + 360°

180n = 1080°

n = 1080°
      180°

n = 6 lados

Assim, o polígono procurado é o hexágono.

Soma dos ângulos externos de um polígono

A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360°.

Se = 360°

ae = Se
         n

ae = 360°
      n

Diagonais dos polígonos

Considere um polígono de n lados. Para determinar o número de diagonais (d), utilizamos a seguinte relação:

d = n · (n - 3)
     2

Exemplo

Determine o número de diagonais de um pentágono e represente-as graficamente.

Sabemos que um pentágono possui cinco lados, assim, n = 5. Substituindo na expressão, temos que:

d = 5 · (5 - 3)
      2

d = 5 · 2
      2

d = 5

Área e perímetro dos polígonos

O perímetro de polígonos é definido pela soma de todos os lados. A área de um polígono é calculada a partir da divisão do polígono em figuras cujo cálculo da área é mais fácil, como o triângulo e o quadrado.

AΔ = base · altura
        2

Aquadrado = base · altura

Exemplo

Determine uma expressão matemática que represente a área de um hexágono regular.

Solução:

Inicialmente, considere um hexágono regular e todos os segmentos de retas que liguem o centro do polígono a cada vértice. Assim:

Perceba que, devido ao fato do hexágono ser regular, ao dividi-lo, encontramos seis triângulos equiláteros, logo, a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero, ou seja:

Ahexágono = 6 · AΔ

Ahexágono = 6 · l2 · √3
                         4

Ahexágono = 3 · l2 · √3
                         2

Ahexágono = 3 · l2·√3
                          2

Leia também: Área do triângulo equilátero

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem) Uma piscina tem o formato de um polígono regular cuja medida do ângulo interno é três vezes e meia a medida do ângulo externo. Qual é a soma dos ângulos internos do polígono cuja forma é igual à dessa piscina?

a) 1800°

b) 1620°

c) 1440°

d) 1260°

e) 1080°

Solução

Como não sabemos a quantidade de lados do polígono, vamos imaginar só um dos vértices desse polígono.

Da imagem podemos ver que:

ai + ae = 180° (I)

Do enunciado temos que:

ai = 3,5 · ae (II)
 

Substituindo a equação (II) na equação (I), teremos que:

3,5 · ae + ae = 180°

4,5 · ae = 180°

ae = 180°
       4,5

ae = 40°

No entanto sabemos que um ângulo interno é a divisão de 360° pelo número de lados do polígono. Assim:

ae = 360°
      n

40° = 360°
        n

40n = 360°

n = 360°
      40°

n = 9

Logo, a soma dos ângulos internos da piscina é:

Si = (n - 2) · 180°

Si = (9 - 2) · 180°

Si = 7 · 180°

Si = 1260° 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática