Barisan dan deret aritmatika dalam ilmu bidang matematika merupakan jenis barisan serta deret bilangan yang di mana bilangan berikutnya adalah penambahan bilangan dari sebelumnya dengan suatu bilangan beda tertentu.
Sebagai contoh 3, 5, 7, 9, 11, 13, ….. Barisan aritmetika ini bisa juga dinyatakan dengan penggunaan rumus sebagai berikut:
a, a + b, a + 2b, a + 3b, …. Informasi selengkapnya mengenai barisan dan deret simak pembahasan berikut ini.
Baris Aritmatika
Pengertian Barisan
Barisan merupakan sautu urutan dari suatu anggota-anggota himpunan yang dilandasi dengan suatu aturan tertentu.
Dalam masing-masing angota himpunannya akan diurutkan pada urutan atau suku pertama, kedua, dan seterusnya.
Untuk menyatakan suatu urutan atau suku ke-n dari suatu barisan bisa kita notasikan dengan lambang: Un .
Barisan juga dapat diartikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya merupakan himpunan bilangan asli. Sehingga, Un = f[n]
Contoh persoalan:
Misalnya: Un = [2n + 1], maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah U4 = [2[4] + 1] = 9.
Barisan merupakan himpunan yang anggotanya adalah hasil pemetaan dari bilangan asli.
Contoh barisan ialah sebagai berikut:
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
- 2, 5, 8, 11, 14, 17
- 13, 11, 9, 7, 5, 3
- 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
- 2, 4, 8, 16, 32, 64
Pengertian Baris Aritmatika
Baris aritmatika merupakan suatu baris di mana nilai pada masing-masing sukunya diperoleh dari suku sebelumnya lewat penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b.
Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan tersebut selalu sama yakni b.
Maka:
Un – U[n-1] = b
Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:
b = [9 – 7] = [7 – 5] = [5 – 3] = [3 – 1] = 2
Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari sebuah barisan aritmatika, bisa kita ketahui dengan cara mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan [b].
Adapaun rumusnya seperti yang tertera di bawah ini:
Un = Uk + [n – k]b
Jika yang diketahui merupakan nilai suku pertama Uk = a serta selisih antar sukunya [b], maka nilai k = 1 dan juga nilai Un = adalah
Un = a + [n – 1]b
Suku Tengah Barisan Aritmatika
Apabila terdapat barisan aritmatika yang memiliki banyak suku [n] ganjil, suku pertama a, dan juga suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut ialah sebagai berikut.
Ut = 1/2[a + Un]
dengan t = 1/2[n+1]
Rumus Suku ke-n Barisan Aritmatika
Un = a + [n – 1]b
Keterangan:
Un= suku ke-n a= suku pertama b= bedan= banyak suku
Sisipan pada Barisan Aritmatika
Apabila diantara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah suku sehingga akan terbentuk barisan aritmatika baru. Maka perbedaab barisan aritmatika sesudah disisipkan k buah suku akan berubah.
Beda dari barisan aritmatika ini sesudah disisipkan k buah suku ialah sebagai berikut.
b’ = b/[k + 1]
Keterangan:
b’= beda barisan aritmatika sesudah disisipkan k buah suku
k= banyak suku yang disisipkan
Banyak suku dari barisan aritmatika yang disisipkan k buah suku juga akan mengalami perubahan, menjadi seperti berikut.
n’ = n + [n – 1]k
Keterangan:
n’= merupakan banyak suku barisan aritmatika baru.
n= merupakan banyak suku barisan aritmatika lama.
Deret Aritmatika
Pengertian Deret
Deret merupakan suatu penjumlahan dari anggota-anggota sebuah barisan.
Contoh deret:
- 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9
- 2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17
- 13 + 11 + 9 + 7 + 5 + 3
Pengertian Deret Aritmatika
Deret aritmatika merupakan suatu penjumlahan antar suku-suku dari sebuah barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama hingga suku ke-n barisan aritmatika tersebut bisa dihitung sebagai:
Sn = U1 + U2 + U3 + …. + U[n-1]
atau sebagai =
Sn = a + [a + b] + [a + 2b] + …. + [a + [n – 2]b] + [a + [n – 1]b]
Jika, hanya diketahui nilai a merupakan suku pertama serta nilainya merupakan suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya yakni:
Sn = n/2[a + Un]
Persamaan tersebut bisa kita balim untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:
Sn = U1 + U2 + U3 + …. + U[n-1]
S[n-1] = U1 + U2 + U3 + …. + U[n-1]
Sn – S[n-1] = Un
Sehingga akan kita dapatkan rumus akhir sebagai berikut:
Un = Sn – S[n-1]
Deret aritmatika merupakan suatu jumlah dari suku-suku barisan aritmatika. Deret aritmatika untuk n suku pertama dinotasikan dengan huruf Sn serta mempunyai rumus sebagai berikut.
Sn = n/2[a + un] ataupunSn = n/2[2a + [n – 1]b]
Keterangan:
Sn= jumlah n suku pertama a= suku pertamaUn= suku ke-n atau suku terakhir
b= bedan= banyak suku
Geometri
Barisan geometri merupakan suatu barisan dengan pembanding antara dua suku berurutan yang selalu bersifat tetap.
Pembanding dari dua suku berurutan tersebut dinamakan sebagai rasio, yang biasa dinotasikan dengan penggunaan huruf r.
Adapun rumus umum untuk rasio pada geometri, yaitu:
Rumus Suku ke-n pada Barisan Geometri
Un = arn – 1
Keterangan:
Un merupakan suku ke-n. a merupakan suku pertama. r merupakan rasio.
n merupakan banyak suku.
Suku Tengah Barisan Geometri
Apabila suatu barisan geometri memiliki banyak suku [n] ganjil, suku pertama a, serta suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut ialah sebagai berikut.
Rumus suku tengah barisan geometri:
Sisipan pada Barisan Geometri
Apabila diantara dua suku barisan geometri disisipkan k buah suku sehingga akan terbentuk barisan geometri baru sehingga rasio barisan geometri sesudah disisipkan k buah suku akan mengalami perubahan.
Rasio dari barisan geometri sesudah disisipkan k buah suku ialah seperti berikut ini:
Keterangan:
r’ merupakan rasio barisan geometri setelah disisipkan k buah suku.
k merupakan banyak suku yang disisipkan.
Banyak suku dari barisan geometri yang disisipkan k buah suku juga akan mengalami perubahan, menjadi seperti yang ada di bawah ini:
n’ = n + [n – 1]k
Keterangan:
n’ merupakan banyak suku barisan geometri baru.
n merupakan banyak suku barisan geometri lama.
Deret Geometri
Deret geometri merupakan jumlah dari suku-suku barisan geometri. Deret geometri bagi n suku pertama dinotasikan dengan penggunaan huruf Sn serta mempuyai rumus seperti berikut ini:
Keterangan:
Sn merupakan jumlah n suku pertama. a merupakan suku pertama. r merupakan rasio.
n merupakan banyak suku.
Deret Geometri Tak Berhingga
Barisan geometri dengan rasio antara -1 serta 1 disebut sebagai barisan geometri yang konvergen.
Deret geometri dari barisan geometri yang konvergen serta banyak suku tak berhingga bisa kita hitung dengan menggunakan rumus yang ada di bawah ini:
Keterangan:
a merupakan suku pertama.
r merupakan rasio dengan syarat -1< r