Perbedaan metode terbuka dan metode tertutup yang benar adalah
|
Dalam bidang sains dan rekayasa, para ahli ilmu alam dan rekayasawan sering berhadapan dengan persoalan mencari solusi persamaan lazim disebut akar persamaan atau nilai – nilai nol yang berbentuk f(x)=0. Beberapa persamaan sederhana mudah ditemukan akarnya. Misalnya 2x-3=0 akar persamaan dari persamaan tersebut adalah x=3/2. Umumnya persamaan yang akan dipecahkan muncul dalam bentuk nonlinear yang melibatkan bentuk sinus, cosinus, eksponensial, logaritma, dan fungsi transenden yang lainnya. Dalam metode numerik, pencarian akar f(x)=0 dilakukan secara iteratif. Sampai saat ini sudah banyak ditemukan metode pencarian akar. Secara umum, semua metode pencarian akar tersebut dapat dikelompokkan menjadikan dua golongan besar. A. Metode Tertutup Metode yang termasuk ke dalam golongan ini mencari akar di dalam selang(a,b). Selang(a,b) sudah dipastikan berisi minimal satu buah akar, karena itu metode jenis ini selalu berhasil menemukan akar. Dengan kata lain, iteratifnya selalu konvergen (menuju) ke akar, karena itu metode tertutup kadang-kadang dinamakan metode konvergen. Seperti yang telah dijelaskan, metode tertutup memerlukan selang(a,b) yang mengandung akar. Sebagaimana namanya, selang tersebut “mengurung” akar sejati. Tata-ancang yang dipakai adalah mengurangi lebar selang secara sistematis sehingga lebar selang tersebut semakin sempit, dan kerenanya menuju akar yang benar. 1. Metode Bagi Dua Metode ini berlaku ketika kita ingin memecahkan persamaan f(x) = 0 untuk variabel skalar x, di mana f merupakan fungsi kontinu. Metode bagi-dua mensyaratkan dua titik awal a dan b sedemikian sehingga f(a) dan f(b) memiliki tanda berlainan. Ini dinamakan kurung dari sebuah akar. Menurut teorema nilai antara, fungsi f mestilah memiliki paling tidak satu akar dalam selang (a, b). Metode ini kemudian membagi selang menjadi dua dengan menghitung titik tengah c = (a + b) / 2 dari selang tersebut. Kecuali c sendiri merupakan akar persamaan, yang mungkin saja terjadi, tapi cukup jarang, sekarang ada dua kemungkinan: f(a) dan f(c) memiliki tanda berlawanan dan mengapit akar, atau f(c) dan f(b) memiliki tanda berlawanan dan mengapit akar. Kita memilih bagian selang yang mengapit, dan menerapkan langkah bagi-dua serupa terhadapnya. Dengan cara ini selang yang mungkin mengandung nilai nol dari f dikurangi lebarnya sebesar 50% pada setiap langkah. Kita meneruskan langkah ini sampai kita memiliki selang yang dianggap cukup kecil.  contoh soal: 2. Metode Regula-Falsi Seperti metode bagi-dua, metode regula falsi dimulai dengan dua titik awal a0 dan b0 sedemikian sehingga f(a0) dan f(b0) berlawanan tanda. Berdasarkan teorema nilai sementara, ini berarti fungsi f memiliki akar dalam selang [a0, b0]. Metode ini kemudian berlanjut dengan menghasilkan berturut-turut selang [ak, bk] yang semuanya berisi akar f. Pada iterasi ke-k, bilangan dihitung. Seperti yang diterangkan di bawah, ck adalah akar dari garis sekan melalui (ak, f(ak)) dan (bk, f(bk)). Jika f(ak) dan f(ck) memiliki tanda yang sama, maka kita menetapkan ak+1 = ck dan bk+1 = bk. Jika tidak, kita menetapkan ak+1 = ak dan bk+1 = ck. Proses ini diteruskan hingga akar dihampiri dengan cukup baik. Rumus di atas juga digunakan pada metode secant, namun metode sekan selalu mempertahankan dua titik terakhir yang dihitung, sementara metode regula falsi mempertahankan dua titik yang pasti mengapit akar. Di sisi lain, satu-satunya perbedaan antara metode regula falsi dan metode bagi-dua adalah yang terakhir menggunakan ck = (ak + bk) / 2 B. Metode Terbuka Berbeda dengan metode tertutup, metode terbuka tidak memerlukan selang(a,b) yang mengandung akar. Yang diperlukan adalah tebakan awal akar, lalu, dengan prosedut iteratif, kita menggunakan untuk menghitung hampiran akar yang baru. Pada setiap kali iteratif, hampiran akar yang lama dipakai untuk menghitung hampiran akar yang baru. Mungkin saja hampiran akar yang baru mendekati akar sejati(konvergen), atau mungkin juga menjauhinya (divergen). Karena itu, metode terbuka tidak selalu berhasil menemukan akar, kadang-kadang konvergen, kadang kala ia divergen. 1. Metode Iteratif Titik-Tetap Metode ini kadang-kadang dinamakan juga metode lelaran sederhana, metode langsung, atau metode sulih beruntun. Kesederhanaan metode ini karena pembentukan prosedur lelerannya mudah dibentuk. 2. Metode Newton-Raphson Gagasan metode ini adalah sebagai berikut: kita memulai dengan tebakan awal yang cukup dekat terhadap akar yang sebenarnya, kemudian fungsi tersebut dihampiri dengan garis singgungnya (yang dapat dihitung dengan alat-alat kalkulus dan kita dapat menghitung perpotongan garis ini dengan sumbu-x (yang dapat dilakukan dengan mudah menggunakan aljabar dasar). Perpotongan dengan sumbu-x ini biasanya merupakan hampiran yang lebih baik ke akar fungsi daripada tebakan awal, dan metode ini dapat diiterasi. Misalkan ƒ : [a, b] → R adalah fungsi terturunkan yang terdefinisi pada selang [a, b] dengan nilai merupakan bilangan riil R. Rumus untuk menghampiri akar dapat dengan mudah diturunkan. Misalkan kita memiliki hampiran mutakhir xn. Maka kita dapat menurunkan hampiran yang lebih baik, xn+1 dengan merujuk pada diagram di kanan. Kita tahu dari definisi turunan pada suatu titik bahwa itu adalah kemiringan garis singgung pada titik tersebut, yaitu: Di sini, f ‘ melambangkan turunan fungsi f. Maka dengan aljabar sederhana kita mendapatkan Kita memulai proses dengan nilai awal sembarang x0. Metode ini biasanya akan mengerucut pada akar, dengan syarat tebakan awal cukup dekat pada akar tersebut, dan bahwa ƒ’(x0) ≠ 0. Metode Newton Raphson ini memiliki paling tidak dua kelebihan dibanding metode bagi dua, yaitu hanya memerlukan satu titik coba awal dan iterasinya berjalan lebih cepat. Kekurangannya yaitu f(x) harus bisa diturunkan karena nilai f’(x) diperlukan dalam komputasi. Hal lain yang perlu diperhatikan adalah pemilihan titik awal harus disekitar akar yang diingikan karena bisa saja proses menjadi divergen atau berosilasi karena titik awalnya sangat jauh dari akar yang dicari. 3. Metode Secant Metode secant merupakan perbaikan dari metode regula-falsi dan newton raphson dimana kemiringan dua titik dinyatakan secara diskrit, dengan mengambil bentuk garis lurus yang melalui satu titik. y – y0 = m(x − x0 ) atau dimana m diperoleh dari: mn = [F(xn) – F(Xn-1)] / (Xn – Xn-1) Bila y = F(x), yn dan xn diketahui maka titik ke n+1 adalah : yn+1 – yn = mn (xn+1 – xn) Bila titik xn-1 dianggap akar persamaan maka : yn+1=0 sehingga diperoleh : -yn = mn (xn+1 – xn) atau xn+1 = xn – yn (1/mn) Untuk menggunakan metode secant diperlukan dua titik pendekatan x0 dan x1. Kedua titik pendekatan ini diambil pada titik-titik yang dekat agar konvergensinya dapat dijamin. Kelebihan Metode Secant adalah dapat digunakan untuk mencari akar- akar persamaan dari persamaan polinomial kompleks, atau persamaan yang turunan pertamanya sangat sulit didapatkan. Sumber: Munir, Rinaldi.2010.Metode Numerik.Bandung.informatika http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_bagi-dua http://perguruanfarhan.wordpress.com/2012/03/29/mari-memahami-metode-bagi-dua-bisection-method/ http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_regula_falsi http://id.wikipedia.org/wiki/Metode_Newton http://fairuzelsaid.wordpress.com/2010/11/10/metode-iterasi-titik-tetap Buatlah model rantai pasok dan logistic di bidang agribisnis yang lain dengan menjawab terlebih dahulu pertanyaan/instruksi pemandu berikut ini!1.Tent … pada sebuah pertokoan terjadi keributan karena pelanggan merasa dirugikan karena barang yang di beli baru 1 hari pakai rusak apa yang seharusnya karya … sebutkan contoh dari kegunaan, kenyamanan, keluwesan,keamanan, dan keindahan dalam perancangan benda kerajinan 1. Kata automation berasal dari bahasa .... a. Spanyol b. Belanda Inggris 2. Kata teknologi berasal dari bahasa Prancis yaitu .... la teknique b. info … 1. Kata automation berasal dari bahasa .... a Spanyol b Belanda Inggris la teknique information 2. Kata teknologi berasal dari bahasa Prancis yaitu b … Jelaskan faktor terbesar yang dapat mendorong seorang siswa untuk sukses berwirausaha sejak muda Jelaskan cara melatih siswa untuk membangun jaringan usaha 3 faktor yang harus dicantumkan pada desain produk pendahuluan jelaskan karakteristik orang yang cerdas dalam pandangan jelaskan perbedaan antara produksi produk dan produktivitas |
