Persamaan garis singgung lingkaran x − 3 ² +( y 2 ² 16 yang sejajar garis 4x − 2y − 7 0 adalah

Pengertian lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama atau tetap terhadap titik tertentu. Yang dimaksud titik tertentu adalah pusat lingkaran sedangkan jarak yang tetap adalah jari-jari lingkaran. Beberapa persamaan lingkaran:


Sehingga, untuk menentukan  persamaan lingkaran, langkah yang harus dilakukan adalah:

  1. Menentukan pusat dan jari—jarinya
  2. Menentukan persamaan lingkaran yang sesuai
    (x-a)2 + (y – b)2  = r2 atau x2 + y2 = r2

Persamaan Jarak pada Lingkaran

  1. Jarak titik (x1 , y1) ke titik (x2 , y2)
  1. Jarak titik (x1 , y1) ke garis Ax + By + C = 0

Garis yang memotong lingkaran di satu titik disebut garis singgung. Ada tiga hal yang menentukan, yaitu:

  1. Apabila diketahui titik pada lingkaran
    Terdapat titik (x1 , y1) pada lingkaran, maka persamaan harus diubah sebagai berikut:
    Persamaannya menjadi:

  1. Apabila diketahui titik di luar lingkaran
    1. Tentukan persamaan garis kutub (polar) dari titik A(x1, y1) terhadap lingkaran.
    2. Melalui titik potong antara garis kutub
    3. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong garis kutub (polar) dan
  1. Diketahui Gradien Apabila diketahui titik () dengan gradien m pada lingkaran.

Kedudukan Dua Lingkaran

Apabila jarak antara pusat-pusat lingkaran kita sebut d, untuk r1 dan r2 merupakan jari-jari pada masing-masing kedua lingkaran, maka kedua lingkaran akan:

  1. Saling lepas, sehingga d ˃ r1 + r2
  2. Saling bersinggungan di dalam lingkaran, sehingga d = |r1 – r2|
  3. Saling bersinggungan di luar lingkaran, sehingga d = r1 + r2
  4. Saling berpotongan, sehingga |r1 – r2| < d <  r1 + r2
  5. Lingkaran di dalam lingkaran, sehingga d = ˂ r1 – r2

Soal No.1 (UTBK 2019)

Lingkaran yang berpusat di (a,b), dengan a,b > 3, menyinggung garis 3x + 4y = 12. Jika lingkaran tersebut berjari-jari 12, maka 3a + 4b =….

PEMBAHASAN :

a > 3, b > 3 Jarak P(a,b) ke garis 3x + 4y – 12 = 0 adalah 12 (r = 12)


⇒60 = |3a + 4b – 12| ⇒(3a + 4b – 12 + 60).(3a + 4b -12 – 60) = 0 ⇒(3a + 4b + 48).(3a + 4b – 72) = 0

⇒ 3a + 4b = 72

Jawaban E

Soal No.2 (SBMPTN 2018)

Jika lingkaran x2 + y2 + Ax + Ay + A = 0, dengan A > 0, mempunyai jari-jari 1/2 a, maka nilai A adalah…

PEMBAHASAN : Dari lingkaran

x2 + y2 − ax − ay + a = 0

Didapat:

A = −a


B = −a
C = a

Menentukan a dari rumus jari-jari lingkaran:




               x 4
a2 = 2a2 − 4a
a2 − 4a = 0 a(a − 4) = 0 a = 0 atau a = 4

Jawaban D

Soal No.3 (SBMPTN 2018)

Diketahui dua lingkaran x2 + y2 = 2 dan x2 + y2 = 4. Garis l1 menyinggung lingkaran pertama di titik (1,-1). Garis l2 menyinggung lingkaran kedua dan tegak lurus dengan garis l1. Titik potong garis l1 dan l2 adalah….

  1. (1+
    ,
    – 1)
  2. (1-
    ,
    – 1)
  3. (1+
    ,
    +1)
  4. (1-
    ,
    – 2)
  5. (1+
    ,
    + 2)

PEMBAHASAN :

Lingkaran I

L1 ≡ x2 + y2 = 2


Titik pusatnya P1 (0,0)
dengan r1 =

l1 ≡ x1.x + y1.y = 2 ⇒ 1.x + (-1).y = 2 ⇒ x – y = 2……….persamaan 1

m1 = – (1/-1) = 1


l2 : m1.m2 = -1
1.m2 = -1
m2 = -1
l2 ≡ y = m2.x ± r

⇒ y = -1. x ± 2

⇒ y = -x ± 2

⇒ x + y = 2
……….. persamaan 2 atau

x + y = – 2


Menentukan titik potong l1 dan l2 x – y = 2

x + y = 2

dari kedua persamaan di peroleh

x = 1 +


y =
– 1
(1 +
,
– 1)
Jawaban A

Soal No.4 (Matematika IPA SPMB 2005)

Jika a < 0 dan lingkaran x2 + y2 – ax + 2ay + 1 = 0 mempunyai jari-jari 2, maka koordinat pusat lingkaran tersebut adalah …

  1. (1,-2)
  2. (-1,2)
  3. (-1,-2)

PEMBAHASAN :


Jawaban : D

Soal No.5 (UN 2002)

Titik (a,b) adalah pusat lingkaran x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0. Jadi 2a + b = …

PEMBAHASAN : Diketahui: A = -2, B = 4

Dari persamaan x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0

Diperoleh: a = -½A = -½ (-2) = 1 b = -½B = -½ (4) = -2 Sehingga, 2a + b = 2(1) + (-2) = 0

Jawaban : A

Soal No.6 (Matematika IPA SNMPTN 2012)

Lingkaran (x + 6)2 + (y + 1)2 = 25 menyinggung garis y = 4 di titik …

  1. (-6,4)
  2. (6,4)
  3. (-1,4)
  4. (1,4)
  5. (5,4)

PEMBAHASAN : Diketahui: y = 4 Untuk mencari x:

(x + 6)2 + (y + 1)2 = 25


(x + 6)2 + (4 + 1)2 = 25
(x +6)2 + 25 = 25
(x + 6)2 = 0 x = -6 Sehingga lingkaran menyinggung garis y = 4 di titik (-6,4)

Jawaban : A

Soal No.7 (UN 1998)

Diketahui lingkaran x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0  melalui titik A(5,-1). Jari-jari lingkaran tersebut sama dengan …

PEMBAHASAN : Diketahui titik A(5,-1) melalui persamaan:

x2 + y2 – 4x + 2y + C = 0

x = 5, y = -1

52 + (-1)2 – 4(5) + 2(-1)  + C = 0

25 + 1 – 20 – 2 + C = 0 C = – 4

Maka persamaannya menjadi  x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0

A = 4, B = 2, C = – 4


Jawaban : B

Soal No.8 (Saintek SBMPTN 2013)

Persamaan lingkaran dengan pusat (-1,1) dan menyinggung garis 3x – 4y + 12 = 0 adalah …

  1. x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0
  2. x2 + y2 + 2x – 2y – 7 = 0
  3. 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 17 = 0
  4. x2 + y2 + 2x – 2y – 2 = 0
  5. 4x2 + 4y2 + 8x – 8y – 1 = 0

PEMBAHASAN :
Diketahui: A = 3, B = – 4, x1 = – 1, y1 = 1, C= 12 Jarak titik (-1, 1) ke garis 3x – 4y + 12 = 0:

Maka persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) → P (-1, 1) dan jari-jari 1 (d = r):

(x – a)2 + (y –b)2 = r2


(x – (–1))2 + (y – 1)2 = 12
(x+1)2 + (y –1)2 = 1
x2 + y2 + 2x – 2y + 1 = 0
Jawaban : A

Soal No.9 (Matematika IPA UM UGM 2010)

Syarat agar garis ɑx + y = 0 menyinggung lingkaran dengan pusat (-1,3) dan jari-jari 1 adalah a = …

PEMBAHASAN : Diketahui: P (-1,3), r = 1, A = a, B = 1


Jawaban : B

Soal No.10 (UN 2013)

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik  (-1,3) dan berdiameter √40 adalah …

  1. x2 + y2 – 6x – 2y = 0
  2. x2 + y2 + 2x – 6y = 0
  3. x2 + y2 – 2x – 2y = 0
  4. x2 + y2 + 2x – 6y = 0
  5. x2 + y2 – 2x – 6y = 0

PEMBAHASAN : Diketahui: a = -1, b = 3, d = √40 r = ½ d = ½ √40 Sehingga persamaan lingkarannya :

(x – a)2 + (y – b)2 = r2


(x – (-1))2 + (y – 3)2 = (½ √40)2   
x2 + 2x + 1 + y2 – 6y + 9 = 10
x2 + y2 + 2x – 6y = 0
Jawaban : E

Soal No.11 (Matematika IPA SPMB 2002)

Lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 dan menyinggung garis 3x – 4y + 7 = 0 mempunyai persamaan …

  1. (x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
  2. (x – 2)2 + (y + 3)2 = 16
  3. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 25
  4. (x + 2)2 + (y – 3)2 = 16
  5. (x – 4)2 + (y + 6)2 = 25

PEMBAHASAN :
Dari persamaan x2 + y2 – 4x + 6y – 17 = 0 diketahui A = – 4, B = 6 Koordinat pusat lingkaran P(- ½A ,-½ B) → P(2,-3) r = jarak pusat lingkaran ke garis 3x – 4y + 7 = 0

Maka persamaan lingkaran yang pusatnya di titik (2,-3) dengan r = 5 adalah

(x – a)2 + (y – b)2 = r2


(x – 2)2 + (y – (- 3))2  = 52
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 25
Jawaban : A

Soal No.12 (EBTANAS 1993)

Lingkaran yang persamaannya x2 + y2 – Ax – 10y + 4 = 0 Menyinggung  sumbu x. nilai A yang memenuhi adalah …

  1. -8 dan 8
  2. -6 dan 6
  3. -5 dan 5
  4. -4 dan 4
  5. -2 dan 2

PEMBAHASAN : Persamaan lingkarannya:

x2 + y2 – Ax – 10y + 4 = 0

Dengan pusat P(- ½A ,-½ B) → P(½A, 5) Diketahui menyinggung sumbu x maka r = 5


Jawaban : D

Soal No.13 (Matematika IPA SPMB 2003)

Jika lingkaran x2 + y2 – 4x – 6y + c = 0 yang berpusat di titik  (2,3) menyinggung garis y = 1 – x, maka nilai c = …

PEMBAHASAN : Diketahui: P(2,3), x + y – 1 = 0

x2 + y2 – 4x – 6y + c = 0



Jawaban : C

Soal No.14 (UMPTN 2001)

Persamaan lingkaran yang berpusat di (1,4) dan menyinggung garis 3x – 4y – 2 = 0 adalah …

  1. x2 + y2 + 3x – 4y – 2 = 0
  2. x2 + y2 + 4x – 6y – 3 = 0
  3. x2 + y2 + 2x + 8y – 8 = 0
  4. x2 + y2 + 2x – 8y + 8 = 0
  5. x2 + y2 + 2x + 8y – 16 = 0

PEMBAHASAN : Diketahui:

Jari-jari adalah jarak pusat lingkaran titik  (x1 , y1) (1,4) ke garis 3x – 4y – 2 = 0


Sehingga persamaan lingkarannya:

(x – 1)2 + (y – 4)2 = 32


x2 + y2 – 2x – 8y + 8 = 0
Jawaban : D

Soal No.15 (Matematika IPA SNMPTN 2009)

Luas daerah yang diarsir pada lingkaran besar adalah 4 kali luas daerah lingkaran kecil.

Jika jari-jari lingkaran besar adalah

, maka keliling lingkaran kecil adalah …

PEMBAHASAN :


Jawaban : B

Soal No.16 (UN 2006)

Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis x – y – 2 = 0 serta menyinggung sumbu x positif dan sumbu y negatif adalah …

  1. x2 + y2 – x + y – 1 = 0
  2. x2 + y2 – x – y – 1 = 0
  3. x2 + y2 + 2x – 2y – 1 = 0
  4. x2 + y2 – 2x + 2y – 1 = 0
  5. x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0

PEMBAHASAN : Kita ilustrasikan dengan gambar di bawah ini:

Diketahui: Pusat lingkaran berada pada x – y – 2 = 0, misalkan P(a,a – 2) r = BC = AB


a2 + 0 = 0 + a2 – 4a + 4 4a = 4 a = 1 Sehingga dengan P(a,a – 2) → P(1,-1) dan r = 1 persamaan lingkarannya:

(x – 1)2 + (y + 1)2 = 12


x2 + y2 – 2x + 2y + 1 = 0
Jawaban :E

Soal No.17 (Matematika IPA SPMB 2002)

Lingkaran L1 ≡ x2 + y2 – 10x + 2y + 17 = 0 dan L2 ≡ x2 + y2 + 8x – 22y – 7 = 0 …

  1. tidak berpotongan
  2. bersinggungan dalam
  3. bersinggungan luar
  4. berpotongan di dua titik
  5. mempunyai jari-jari sama

PEMBAHASAN :


Jawaban : A

Soal No.18 (UN 2007)

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 6x + 4y – 12 = 0 di titik (7,-5) adalah …

  1. 4x – 3y = 43
  2. 4x + 3y = 23
  3. 3x – 4y = 41
  4. 10x + 3y = 55
  5. 4x – 5y = 53

PEMBAHASAN : Diketahui:

x1 = 7, y1 = -5

A = 6,  B = 4 Persamaan untuk garis singgung:

x2 + y2 + Ax + By + C = 0


x1x + y1y + A/2(x + x1) + B/2 (y + y1) + C = 0 7x – 5y – 3 (x + 7) + 2(y – 5) – 12 = 0 7x – 5y – 3x – 21 + 2y – 10 – 12 = 0 4x – 3y = 43

Jawaban : A

Soal No.19 (Matematika IPA SNMPTN 2012)

Lingkaran (x – 3)2 + (y – 4)2 = 25 memotong sumbu x di titik A dan B. Jika P adalah titik pusat lingkaran tersebut, maka cos ∠APB = …

PEMBAHASAN : Diketahui:

(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25

P(3,4) r = 5 Memotong sumbu x di titik A dan B → y = 0

(x – 3)2 + (y – 4)2 = 25


(x – 3)2 + (0 – 4)2 = 25
(x – 3)2 = 9
(x – 3)2 = (±3)2 x = 6 , x = 0


Jawaban : A

Soal No.20 (UN 2012)

Lingkaran  L = (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah …

  1. x = 2 dan x = -4
  2. x = 2 dan x = -2
  3. x = -2 dan x = 4
  4. x = -1 dan x = -4
  5. x = 8 dan x = -10

PEMBAHASAN :

  1. Diketahui garis y = 3
    (x + 1)2 + (y – 3)2 = 9
    (x + 1)2 + (3-3)2 = 9
    (x + 1)2 = 9 x + 1 = ± 3 x = 2 dan x = -4

    Sehingga titik potong yang diperoleh (2,3) dan (-4,3)

  2. Garis singgung lingkaran di titik (2,3) (x + 1)(2 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9 3x + 3 = 9

    x = 2

  3. Garis singgung lingkaran di titik (-4,3) (x + 1)(-4 + 1) + (y – 3)(3 – 3) = 9 -3x – 3 = 9

    x = -4

Jawaban : A

Soal No.21 (Matematika IPA SPMB 2001)

Persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan membagi lingkaran x2 + y2 + 4x + 3 = 0 atas dua bagian yang sama adalah …

  1. y = ½ x+1
  2. y = ½ x-1
  3. y = ½ x+2
  4. y = ½ x-2
  5. y = ½ x

PEMBAHASAN : Persamaan lingkaran

x2 + y2 + 4x + 3 = 0


(x+2)2 + y2 = -3 + 4
(x+2)2 + y2 = 1 Diketahui: P (-2,0), r = 1 Menentukan gradien: x – 2y = 10 → y = ½ x – 5 →m = ½ Maka persamaan garis yang sejajar dengan x – 2y = 10 dan melalui (-2,0) adalah … y – 0 = ½ (x+2) y = ½ x+1

Jawaban : A

Soal No.22 (UN 2007)

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0 yang bergradien 10 adalah …

  1. y = 10x – 10 ± 2 √101
  2. y = 10x – 11 ± 2 √101
  3. y = -10x + 10 ± 2 √101
  4. y = -10x ± 2 √101
  5. y = 10x ± 2 √101

PEMBAHASAN :
Persamaan garis singgung x2 + y2 – 2x + 2y – 2 = 0 Diketahui: Pusat (a,b) → P(1,-1), m = 10


Jawaban : B

Soal No.23 (Matematika IPA SPMB 2004)

Persamaan lingkaran dengan titik pusat berada pada parabola y = x2 dan menyinggung sumbu x adalah …

  1. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 = 0
  2. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y – a2 = 0
  3. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a4 = 0
  4. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y – a4 = 0
  5. x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 + a4 = 0

PEMBAHASAN :
Diketahui: y = x2 menyinggung sumbu x
Kita asumsikan pusat lingkaran di x = a → y = a2, sedangkan lingkaran menyinggung sumbu x → r = y = a2
(x – a) + (y – b)2 = r2
(x – a)2 + (y – a2)2 = (a2)2
x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 + a4 = a4
x2 + y2 – 2ax – 2a2 y + a2 = 0
Jawaban : A

Soal No.24 (UMPTN 2001)

Persamaan garis singgung pada lingkaran  2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 0 yang sejajar dengan garis 5x + 12y – 15 = 0 adalah …

  1. 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 58 = 0
  2. 5x + 2y – 20 = 0 atau 5x + 12y + 20 = 0
  3. 12x + 5y – 20 = 0 atau 12x + 5y + 20 = 0
  4. 12x + 5y = – 20  atau 5x + 12y = 58
  5. 5x + 12y = – 20 atau 5x + 12y = 58

PEMBAHASAN : Diketahui  persamaan Lingkaran:

2x2 + 2y2 – 4x + 8y – 8 = 0, disederhanakan menjadi x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0 dengan P (1, 2), A = -2, B =4


Sehingga persamaan garis singgung lingkaran:

  1. 12y + 24 = – 5x + 5 + 39 → 5x + 12y – 20 = 0
  2. 12y + 24 = – 5x + 5 – 39 → 5x + 12y + 58 = 0

Jawaban : A

Soal No.25 (Matematika IPA SPMB 2005)

Lingkaran L menyinggung sumbu x, menyinggung lingkaran x2 + y2 = 4 dan melalui titik B(4,6). Persamaan L dapat ditulis sebagai …

  1. (x – 4)2 + (y + 6)2 = 144
  2. (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5
  3. x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0
  4. x2 + y2 – 24x + 44 = 0
  5. x2 + y2 – 8x + 6y + 56 = 0

PEMBAHASAN :


Berdasarkan ilustrasi gambar: (OP)2 = a2 + b2 Persamaan (1)

(2 + b)2 = a2 + b2


b2 + 4b + 4 = a2 + b2
4b = a2 – 4

Persamaan (2)
(x – a)2 + (y – b)2 = b2 melalui titik (x,y) ® (4,6)
(4 – a)2 + (6 – b)2 = b2
(4 – a)2 + 36 – 12b = 0 Substitusikan persamaan (1) ke (2)

(4 – a)2 + 36 – 3(4b) = 0


a2 – 8a + 16 + 36 – 3(a2 – 4) = 0
a2 – 8a + 16 + 36 – 3a2 + 12 = 0
2 a2 + 8a – 64 = a2 + 4a – 32 = 0 (a – 4) (a + 8) = 0 a = 4 → a = -8 Untuk a = 4 → b = 3

4b = a2 – 4


4b = 42 – 4 4b = 12 b = 3 Sehingga persamaan Lingkarannya adalah: P(a,b) → (4,3), sedangkan r = b = 3

(x – 4)2 + (y – 3)2 = 32


x2 + y2 – 8x – 6y + 16 = 0
Jawaban : C

Soal No.26 (UN 2004)

Persamaan garis singgung lingkaran (x – 4)2 + (y + 3)2 = 40 yang tegak lurus garis x + 3y + 5 = 0 adalah …

  1. y = 3x + 1 dan y = 3x – 30
  2. y = 3x + 2 dan y = 3x – 32
  3. y = 3x – 2 dan y = 3x + 32
  4. y = 3x + 5 dan y = 3x – 35
  5. y = 3x – 5 dan y = 3x + 35

PEMBAHASAN :


Jawaban : D

Soal No.27 (Matematika IPA UM UGM 2013)

Titik pusat lingkaran yang menyinggung garis y = 2 di (3,2) dan menyinggung garis y = -x√3 + 2  adalah …

  1. (3,√3)
  2. (3,3√3)
  3. (3,2 +√3)
  4. (3,2 + 2√3)
  5. (3,2 + 3√3)

PEMBAHASAN :


Jawaban : E

Soal No.28 (UN 2000)

Garis singgung lingkaran x2  +  y2 = 25 di titik (-3 ,4) menyinggung lingkaran dengan pusat  (10,5) dan jari-jari r. Nilai r = …

PEMBAHASAN :
Diketahui persamaan garis singgung  x2 + y2  = 25 di titik (-3 ,4)
x1 x  +  y1 y = r2 -3x + 4y = 25 → -3x + 4y – 25 = 0 Jarak titik P(10, 5) ke garis -3x + 4y – 25 = 0

x1 = 10, y1 = 5, C = -25, A = -3, B = 4



Jawaban : C

Soal No.29 (Matematika IPA SPMB 2005)

Diketahui suatu lingkaran dengan titik pusat berada pada kurva dan melalui titik asal O(0,0). Jika absis titik pusat lingkaran tersebut adalah a maka persamaan garis singgung lingkaran melalui O adalah …

  1. y = -x
  2. y = – x√a
  3. y = – ax
  4. y = -2x√2
  5. y = -2ax

PEMBAHASAN :


Jawaban : B

Soal No.30 (UN 2003)

Salah satu garis singgung lingkaran yang bersudut 120° terhadap sumbu x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7,6) dan (1,-2) adalah …

  1. y = -x√3  +  4√3 + 12
  2. y = -x√3 – 4√3 + 8
  3. y = -x√3 + 4√3 – 4
  4. y = -x√3 – 4√3 – 8
  5. y  = -x√3  + 4√3 + 22

PEMBAHASAN :


Jawaban : A

Soal No.31 (SAINTEK SNMPTN 2014)

Misalkan diberikan titik A(1,0) dan B(0,1). Jika P bersifat |PA| : |PB| = √m : √n maka P terletak pada lingkaran dengan persamaan …

  1. (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx – my)
  2. (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx + my)
  3. (n + m)(x2 + y2 – 1) = (nx – my)
  4. (n + m)(x2 + y2 – 1) = (mx – ny)
  5. (n – m)(x2 + y2 – 1) = 2(nx – my)

PEMBAHASAN : Diketahui: A(1,0) dan B(0,1)


((x – 1)2 + y2)(x2 + (y – 1)2 ) = m : n
m(x2 + (y – 1)2) = n ((x – 1)2 + y2)
m(x2 + y2–2y + 1) = n(x2 – 2x +1+ y2)
mx2 + my2 – 2my + m = nx2 – 2nx +n + ny2
2(nx – my) = (n – m)(x2 + y2 + 1)
Jawaban : E

Soal No.32 (EBTANAS 2001)

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran dari titik (0,0) pada lingkaran (x – 3)2 + (y – 4)2 = 5 adalah …

  1. x – y = 0
  2. 11x + y = 0
  3. 2x + 11y = 0
  4. 11x – y = 0
  5. 11x – 2y = 0

PEMBAHASAN : Pada titik (0,0), persamaan garis polar:

(x – a)2 + (y – b)2 = r2 → (x – a)(x1 – a) + (y – b)(y1 – b) = r2

Untuk mencari y:

(x – 3)2 + (y – 4)2 = 5

(x – 3)(0 – 3)+(y – 4)(0 – 4) = 5 (x – 3)( – 3)+(y – 4)( – 4) = 5 – 3x +9 – 4y +16 = 5

3x+ 4y –20 = 0


Jawaban : E

Soal No.33

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran di bawah ini!

  1. x2 + y2 – 3x + 6y – 1 = 0
  2. 2x2 + 2y2 – 6x + 28y – 10 = 0
  3. x2 + y2 + 4ax + 4by – 4ab = 0

PEMBAHASAN :

  1. x2 + y2 – 3x + 6y – 1 = 0 Berdasarkan persamaan tersebut diperoleh:A = – 3 , B = 6 , C = – 1Menentukan pusat lingkaran, sebagai berikut:

    Menentukan jari-jari lingkaran, sebagai berikut:

  2. 2x2 + 2y2 – 6x + 28y – 10 = 0
    Bagi persamaan dengan 2, diperoleh sebagai berikut:x2 + y2 – 3x + 14y – 5  = 0Berdasarkan persamaan tersebut, diperoleh: A = – 3 , B = 14 , C = – 5

  3. x2 + y2 + 4ax + 4by – 4ab = 0 Berdasarkan persamaan tersebut, diperoleh: A = 4a , B = 4b , C = – 4ab Menentukan pusat lingkaran, sebagai berikut:

    Menentukan jari-jari lingkaran, sebagai berikut:

Soal No.34

Tentukan persamaan lingkaran dengan data sebagai berikut:

  1. Berpusat di (3,-5) dan melalui titik (-2,7)
  2. Berpusat di (8,4) dan menyinggung sumbu y
  3. Berpusat di (-2,-3) dan menyinggung garis 3x + 4y – 7 = 0
  4. Pusatnya pada garis y = x – 5 dan menyinggung sumbu x di titik (6,0)

PEMBAHASAN :

  1. Jari-jari lingkaran = r = jarak dari titik (a,b) = (3,-5) ke titik (x,y) = (-2,7)

    Persamaan untuk lingkaran yang berpusat di (a,b) dan jari-jari di r, sebagai berikut:

    (x – a)2 + (y – b)2 = r2

    Berpusat di (3,-5) dan r = 13

    (x – 3)2 + (y – (-5))2 = 132


    x2 – 6x + 9 + y2 + 10 y + 25 = 169
    x2 + y2 – 6x + 10y – 135 = 0
  2. Titik pusat di (8,4) dan menyinggung sumbu y Diketahui: Lingkaran menyinggung sumbu y sehingga jari jari = absis = r = 8 sebagai titik pusat lingkarannya.

    Maka persamaan lingkaran sebagai berikut:

    (x – a)2 + (y – b)2 = r2


    (x – 8)2 + (y – 4)2 = 82
    x2 – 16x + 64 + y2 – 8y + 16 = 64
    x2 + y2 – 16x – 8y + 16 = 0
  3. Berpusat di (-2,-3) dan menyinggung garis 3x + 4y – 7 = 0
    Rumus jari-jari yang menyinggung garis sebagai berikut:

    Maka persamaan yang terbentuk adalah:

    (x – a)2 + (y – b)2 = r2


    (x – (-2))2 + (y – (-3))2 = 52
    (x + 2)2 + (y + 3)2 = 52
    x2 + 4x + y2 + 6y + 9 = 25
    x2 + y2 + 4x + 6y – 16 = 0
  4. Pusatnya pada garis y = x – 5 dan menyinggung sumbu x di titik (6,0)
    y = x – 5 , lingkaran menyinggung sumbu x di titik (6,0) x = 6 → y = 6 – 5 = 1 Maka pusat lingkarannya diperoleh (6,1), jari-jari = r = ordinat titik pusat = 1 Persamaan lingkarannya sebagai berikut:

    (x – a)2 + (y – b)2 = r2


    (x – 6)2 + (y – 1)2 = 12
    x2 – 12x + 36 + y2 – 2y + 1 = 1
    x2 + y2 – 12x – 2y + 36

Soal No.35

Diketahui lingkaran dengan titik pusat di (3,0) dan memiliki diameter 4

, maka persamaan lingkarannya adalah …

  1. x2 + y2 – 8x – 8y + 3 = 0
  2. x2 + y2 – 8x – 8 = 0
  3. x2 + y2 – 8x + 8y – 10 = 0
  4. x2 + y2 + 6x – 9 = 0
  5. x2 + y2 + x + 8 = 0

PEMBAHASAN : Diketahui: Titik pusat (3,0)

Diameter = d = 4


Jari-jari = r = 2

Maka persamaan lingkarannya sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
(x – 4)2 + (y – 0)2 = (2

)2
x2 – 8x + y2 = 8
x2 + y2 – 8x – 8 = 0
Jawaban B

Soal No.36

Persamaan lingkaran dengan pusat P (5,2) dan menyinggung garis 6x + 8y + 4 = 0 adalah …

  1. x2 + y2 + x – 4y + 8 = 0
  2. x2 + y2 – 12x + 7y + 4 = 0
  3. x2 + y2 – 10x – 4y + 4 = 0
  4. x2 + 3y2 + 9x + 4y + 10 = 0
  5. 2x2 + y2 – 10x – 4y – 4 = 0

PEMBAHASAN : Menentukan jari-jari lingkaran: Titik pusat P (5,2) Persamaan garis: 6x + 8y + 4 = 0

Maka persamaan lingkarannya sebagai berikut: (a,b) → (5,2) r = 5

(x – a)2 + (y – b)2 = r2


(x – 5)2 + (y – 2)2 = 52
x2 – 10x + 25 + y2 – 4y + 4 = 25
x2 + y2 – 10x – 4y + 4 = 0
Jawaban C

Soal No.37

Persamaan lingkaran dengan pusat (-2,3) dan menyinggung garis 5x – 12y + 7 = 0 adalah …

  1. x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0
  2. x2 + y2 + 2x + 6y + 2 = 0
  3. x2 + y2 + 4x – y – 4 = 0
  4. x2 + y2 + 5x – 6y + 4 = 0
  5. x2 + y2 + 4x – 6y + 6 = 0

PEMBAHASAN : Titik pusat (-2,3) Persamaan garis 5x – 12y + 7 = 0

Persamaan lingkarannya sebagai berikut:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 a = -2 , b = 3 , r = 3

(x – (-2))2 + (y – 3)2 = 32


x2 + 4x + 4 + y2 – 6y + 9 = 9
x2 + y2 + 4x – 6y + 4 = 0
Jawaban A

Soal No.38

Perhatikan gambar berikut!

Lingkaran memotong sumbu x dititik P dan Q. jika O adalah titik pusat lingkaran, maka cos ∠POQ adalah …

PEMBAHASAN :

Diketahui: Titik pusat (6,8) r = 10 memotong sumbu x → y = 0

(x – a)2 + (y – b)2 = r2


(x – 6)2 + (y – 8)2 = 102
(x – 6)2 + (0 – 8)2 = 102
x2  – 12x + 36 + 64 = 100
(x – 6)2 = 100 – 64
(x – 6)2 = 36 x – 6 = ± 6

x1 dan x2 = 12

P (0,0) dan Q (15,0) → PQ = 12


Jawaban B

Soal No.39

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 20 yang melalui titik (2, -5) adalah …

  1. 3x + 2y = 20
  2. 2x + 5y = 10
  3. 5x – 2y = 20
  4. 2x – 5y = 20
  5. 3x + 2y = 10

PEMBAHASAN :
Persamaan lingkaran: x2 + y2 = 20
Titik singgung: (2, -5) → (x1 , y1)

Maka persamaan garis singgung lingkarannya sebagai berikut:
x . x1 + y . y1 = 20 2x – 5y = 20

Jawaban D

Soal No.40

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x – 10y + 16 = 0 di titik (5,3) adalah …

  1. 3x + 2y – 10 = 0
  2. 3x – 5y + 9 = 0
  3. 5x + 2y + 9 = 0
  4. x – 3y – 10 = 0
  5. 3x – 2y – 9 = 0

PEMBAHASAN : Persamaan garis singgung lingkaran:

x2 + y2 + Ax + By + C  = 0


x.x1 + y.y1 + ½ A (x + x1 ) + ½ B (y + y1 ) + C = 0

Maka persamaannya menjadi:
x2 + y2 – 4x – 10y + 16 = 0 di titik (5,3) → (x1 , y1 )
x.x1 + y.y1 + ½ A (x + x1 ) + ½ B (y + y1 ) + C = 0 5x + 3y + ½ . – 4(x + 5) + ½ . – 10(y + 3) + 16 = 0 5x + 3y – 2(x + 5) – 5(y + 3) + 16 = 0 5x + 3y – 2x – 10 – 5y – 15 + 16 = 0 3x – 2y – 9 = 0

Jawaban E

Soal No.41

Persamaan salah satu garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 16 yang melalui titik P(0,8) adalah …

  1. 14 x – 2y = 16
  2.  x + 2y = 16
  3. x – 2y = 12
  4. 4 x +
    y = 14
  5. – 24 x – 2y = 10

PEMBAHASAN :
Persamaan: x2 + y2 = 16 Titik yang dilalui: P(0,8)

x.x1 + y.y1 = 16


0.x1 + 8.y1 = 16
y1 = 2

Menentukan x1 dengan persamaan x1 2 + y1 2 = 16
Substitusikan y1 = 2
x1 2 + y1 2 = 16
x1 2 + 2 = 16
x1 2  = 14
x1 =

Maka persamaan garis singgung lingkaran, sebagai berikut:
±

x + 2y = 16
Jawaban B

Soal No.42

Lingkaran (x + 2)2 + (y – 3)2 = 61 menyinggung garis x = 3 di titik …

  1. (2,-3)
  2. (3,1)
  3. (-5,2)
  4. (3,9)
  5. (4,1)

PEMBAHASAN :
(x + 2)2 + (y – 3)2 = 61 → x = 3 Maka:

(3 + 2)2 + (y – 3)2 = 61


25 + (y – 3)2 = 61
(y – 3)2 = 36 y – 3 = 6 y = 9 Maka titik singgungnya adalah (3,9)

Jawaban D

Soal No.43

Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 36 tegak lurus dengan garis y + 2x – 3 = 0 adalah …

PEMBAHASAN :
x2 + y2 = 36 → r =

= 6 y + 2x – 3 = 0 y = -2x + 3

m1 = – 2


m1 x m2 = -1
-2 x m2 = -1
m2 = ½

Jawaban B

Soal No.44

Persamaan garis singgung kurva  yang sejajar dengan garis lurus 2x – y + 5 = 0 adalah …

  1. y = x ± 3
  2. y = 2x ± 2
  3. y = -2x ± 3
  4. y = 2x ± 3
  5. y = 2x ± 2

PEMBAHASAN :


Jawaban D

Soal No.45

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x + 6y – 14 = 0 yang tegak lurus garis y = 5 – 3x adalah …

  1. y – 3x = ± 3
    – 1
  2. 3y + x  = ± 2
    – 100
  3. 3y – x = ± 3
    – 11
  4. 2y – 3x = ± 3
  5. y – 5x  = ± 3
    – 15

PEMBAHASAN :
x2 + y2 – 4x + 6y – 14 = 0

Menentukan titik pusat dan jari-jari, sebagai berikut:

Titik pusat = (2, -3)


Jari-jari = r = 3

Menentukan gradien garis y = 5 – 3x
Berlaku untuk persamaan garis yang tegak lurus m1 x m2 = – 1
y = 5 – 3x → m1 = – 3
m1 x m2 = – 1
-3 x m2 = -1
m2 = 1/3

Maka persamaan garis singgungnya, sebagai berikut: Titik pusat (2,-3) → (a,b) , r = 3 , m = 1/3


3y + 9 = x –  2 ± 3

3y – x  = ± 3
– 11
Jawaban C

Soal No.46

Jika suatu lingkaran memiliki titik pusat yang berada pada kurva y = – x dan melalui titik asal O (0,0). Sedangkan absis titik pusat lingkaran tersebut adalah p, maka persamaan garis singgung lingkaran yang melalui O adalah …

  1. y = 2x
  2. y = x
  3. y = – 3x
  4. y = ½ x
  5. y = -x

PEMBAHASAN :
Titik pusat pada kurva y = – x , maka:

  • Absis titik pusat x = p
  • Ordinat titik pusat y = – x → y = – p

Titik pusat (p, – p) → (x,y) Titik yang dilalui (0,0) → (a,b)

Menentukan gradien garis, sebagai berikut:

Gradien pada garis lurus dengan koordinat titik pusat (p,-p)


m1 . m2 = – 1
-1 . m2 = – 1
m2 = 1

Maka persamaan garis singgungnya yaitu: y = mx y = x

Jawaban B

Soal No.47

Perhatikan gambar berikut ini!

Berdasarkan gambar di atas CD adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran A dan B. Maka panjang garis singgung CD adalah …

PEMBAHASAN :

Panjang OD = Panjang AB = 10 m Pada ΔOCD siku-siku di C, maka:


Jawaban A

Soal No.48

Terdapat dua buah lingkaran dengan A pusat lingkaran yang berjari-jari 3 cm, B pusat lingkaran yang berjari-jari 6 cm, dan AB = 15 cm. Jika DE adalah garis singgung persekutuan yang memotong AB serta D dan E  adalah titik-titik singgungnya. Maka Panjang DE = …

PEMBAHASAN :



Jawaban C

Soal No.49

Perhatikan gambar berikut ini!

Pada gambar terdapat dua setengah lingkaran yang sama dan sebuah lingkaran yang saling bersinggungan. Lingkaran-lingkaran tersebut terdapat di dalam  sebuah persegi panjang. Maka panjang jari-jarinya adalah …

PEMBAHASAN :


Jawaban A

Soal No.50

Tentukan nilai A agar lingkaran x2 + y2 – Ax – 12y + 6 = 0 dan garis y = 0.

  1. Bersinggungan
  2. Berpotongan di dua titik

PEMBAHASAN :
x2 + y2 + Ax + By + C = 0
x2 + y2 – 8x – By + 6 = 0 y = 0

x2 + 02 – Ax – 12.0 + 6 = 0


x2 – Ax + 6 = 0

  1. Bersinggungan D = 0

    D = b2 – 4ac


    x2 – Ax + 6 = 0 a = 1 , b = – A , c = 6

    (-A)2 – 4. 1 . 6 = 0


    A2 – 24 = 0
    A2 = 24
    A = ± 2

    Nilai A yang memenuhi 2
    atau – 2
  2. Berpotongan di dua titik D > 0

    D = b2 – 4ac


    x2 – Ax + 6 = 0 a = 1 , b = – A , c = 6

    (-A)2 – 4. 1 . 6 > 0


    A2 – 24 > 0
    A2 > 24
    A > ± 2

Soal No.51

Tentukan batasan a agar garis y = ax + 4 dan lingkaran x2 + y2 = 2

  1. Bersinggungan
  2. Berpotongan
  3. Tidak berpotongan

PEMBAHASAN : Persamaan 1: y = ax + 4

Persamaan 2: x2 + y2 = 2

Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2, sebagai berikut:

x2 + (ax + 4)2 = 2


x2 + a2x2 + 8ax + 16 = 2
(1 + a2)x2 + 8ax + 14 = 0

  1. Bersinggungan
    (1 + a2)x2 + 8ax + 14 = 0
    a = 1 + a2 b = 8a c = 14 D = 0

    D = b2 – 4ac


    (8a)2 – 4. (1 + a2) .(14) = 0
    64a2 – 56 –  56a2 = 0
    8a2 – 56 = 0
    8a2 = 56
    a2 = 7
    Maka nilai a yang memenuhi: a = –
    atau a =
  2. Berpotongan D ≥ 0

    D = b2 – 4ac


    (8a)2 – 4. (1 + a2) .(14) ≥ 0
    64a2 – 56 –  56a2 ≥ 0
    8a2 – 56 ≥ 0
    8a2 ≥ 56
    a2 ≥ 7
    a ≥ ±


    Maka nilai a yang memenuhi: a ≤ –
    atau a ≥ 
  3. Tidak berpotongan D < 0

    D = b2 – 4ac


    (8a)2 – 4. (1 + a2) .(14) < 0
    64a2 – 56 –  56a2 < 0
    8a2 – 56 < 0
    8a2 < 56
    a2 < 7
    a < ±


    Maka nilai yang memenuhi: –
    < a <

Soal No.52

Tentukan hubungan kedua lingkaran di bawah ini:

  1. L1 : x2 + y2 – 8x + 2y + 15 = 0 dan L2 : x2 + y2 + 12x – 20y – 8 = 0
  2. L1 : x2 + y2 – 10x + 9 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 8y – 20 = 0
  3. L1 : x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0 dan L2 : x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0
  4. L1 : x2 + y2 – 24x – 6y + 32 = 0 dan L2 : x2 + y2 + 8x – 10y + 16 = 0

PEMBAHASAN :

  1. L1 : x2 + y2 – 8x + 2y + 15 = 0
    L2 : x2 + y2 + 12x – 20y – 8 = 0 Titik pusat lingkaran:

    Jari jari lingkaran:

    Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:

    Maka hubungan kedua lingkaran tersebut adalah:


    L1 dan L2 saling lepas
  2. L1 : x2 + y2 – 10x + 9 = 0
    L2 : x2 + y2 – 8y – 20 = 0 Titik pusat lingkaran:

    Jari jari lingkaran:

    Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:


    Hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2 berpotongan
  3. L1 : x2 + y2 + 6x + 10y – 15 = 0
    L2 : x2 + y2 – 4x – 8y – 5 = 0 Titik pusat lingkaran:

    Jari jari lingkaran:

    Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:


    Hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2 berpotongan
  4. L1 : x2 + y2 – 24x – 6y + 32 = 0
    L2 : x2 + y2 + 8x – 10y + 16 = 0 Titik pusat lingkaran:

    Jari jari lingkaran:

    Jarak titik pusat lingkaran 1 dan lingkaran 2:


    Maka hubungan kedua lingkaran: L1 dan L2  bersinggungan di luar