Persamaan yang mengandung perbandingan antara sudut trigonometri dalam bentuk x adalah

Jakarta -

Persamaan Trigonometri merupakan salah satu materi dalam mata pelajaran matematika yang dipelajari siswa kelas XI SMA/MA/SMK. Agar lebih paham siswa bisa mempelajari contoh soal persamaan trigonometri di bawah ini.


Dalam matematika, Trigonometri dikenal sebagai nilai perbandingan yang dikaitkan dengan sebuah sudut. Perbandingan tersebut meliputi sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen.

Persamaan Trigonometri


Dilansir buku 'Rumus Pocket Matematika SMA Kelas X, XI, XII' oleh Grasindo, persamaan trigonometri dinyatakan sebagai berikut.


1. sin x = sin α maka


x₁ = α + k.360° atau x₂ = (180°- α) + k.360°


2. cos x = cos α maka


x₁ = α + k.360° atau x, = -α + k.360°


3. tan x = tan α maka x = α + k.180°


Keterangan: k adalah bilangan bulat

Rumus Persamaan Trigonometri


1. sin xº = sin p


⇒ x₁ = p + 360.k


⇒ x₂ = (180 - p) + 360.k


2. cos xº = cos p


⇒ x₁ = p + 360.k


⇒ x₂ = -p + 360.k


3. tan xº = tan p


⇒ x₁ = p + 180.k


⇒ x₂ = (180 + p) + 360.k

Contoh Soal Persamaan Trigonometri


Untuk memahami lebih dalam, yuk simak baik-baik contoh soal persamaan trigonometri berikut ini.


1) Himpunan penyelesaian dari persamaan 2 cos 3xº = 1,untuk 0 ≤ x ≤ 180 adalah....


A. {0, 20, 60}


B. {0, 20, 100}


C. {20, 60, 100}


D. {20, 100, 140}


E. {100, 140, 180}


Pembahasan:


2 cos 3xº = 1


⇒ cos 3xº = ½


⇒ cos 3xº = cos 60°


Maka:

3x₁ = 60°+ k.360°


⇒ x₁ = 20°+ k.120°


⇒ x₁ = {20,140}

3x₂ = -60° + k.360°


⇒ x₂ = -20° + k.120°


⇒ x₂ = {100}


Jadi, diperoleh himpunan penyelesaian HP {20, 100, 140}. Jawaban: D.


2) Himpunan penyelesaian dari persamaan cos 2x + 3 sin x + 1 = 0, untuk 0° ≤ x ≤360° adalah....


A. {300°,150°}


B. {60°,120°}


C. {120°,240°}


D. {210°,330°}


E. {240°,300°}

Pembahasan:


cos 2x + 3 sin x + 1 = 0


⇒ 1-2 sin²x +3 sin x + 1 = 0


⇒ -2 sin²x + 3 sin x + 2 = 0


⇒ 2 sin²x - 3 sin x - 2 = 0


⇒ (2 sin x + 1) (sin x − 2) = 0


Pembuat nol:


2 sin x + 1=0 atau sin x - 2 = 0


⇒ sin x = -½ atau sin x = 2


sin x = 2 tidak memenuhi. Jadi, diambil sin x = -½


Selanjutnya, dicari nilai x yang memenuhi sin x = -½


Nilai sinus negatif di kuadran III dan IV sehingga penyelesaiannya:


Kuadran III


sin x = sin(180° + 30°) = sin 210°


Kuadran IV


sin x = sin(360° - 30°) = sin 330°


Jawaban persamaan trigonometri kelas 11: D.

3) Nilai x di antara 0° dan 360° yang memenuhi persamaan √3 cos x + sin x = √2 adalah...


Jawaban


√3 cos x + sin x = √2


1/2√3 cos x + 1/2 sin x = 1/2 √2


cos 30° cos x + sin 30° sin x = cos 45°


cos (x-30°) = cos 45', maka

(x-30°) = ± 45° + k . 360°

x1 -30° = 45° + k . 360° atau

x1 = 75° + k . 360°


supaya x1 terletak di antara 0° dan 360° maka

x1 = 75° + 0 . 360° = 75°

x2 - 30° = -45° + k . 360°

atau x2 = 15° + k. 360°

ambil k = 1, x2 = -15° + 1 x 360° = 345°


Nah itulah contoh soal persamaan trigonometri lengkap dengan pembahasan. Selamat belajar ya detikers!

Simak Video "Momen Jokowi Bertemu Anak-anak Pandai Matematika di Sumut"



(faz/pay)


Pada artikel ini saya kan menuliskan materi pelajaran untuk tingkat SMA dan boleh kalian download secara gratis.  Saya memberikan materi beserta soal-soal mengenai Rumus-rumus Trigonometri. Materi ini biasanya muncul di kelas XI yaitu di Matematika Minat untuk Kurikulum 2013. Jadi, buat kalian yang ingin mempelajari materi ini silahkan di download langsung di sini.

Semoga ini bisa bermanfaat buat kalian semua, khususnya pelajar tingkat SMA baik kelas X, XI dan kelas XII. Materi ini juga bisa menjadi bahan buat adik-adik yang ingin mengambil dan ingin mengikuti Ujian Masuk PTN atau nama kerennya UTBK dan juga ujian Mandiri atau ujian-ujian masuk PTN lainnya. 

Sekarang kita bahas dulu salah satu materi Trigonometri yaitu Persamaan Trigonometri. Simak dengan baik-baik.

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung perbandingan antara sudut trigonometri dalam bentuk x. Penyelesaian persamaan ini dengan cara mencari seluruh nilai sudut-sudut x, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu.

Penyelesaian persamaan trigonometri dalam bentuk derajat yang berada pada rentang  sampai dengan  atau dalam bentuk radian yang berada pada rentang 0 sampai dengan 2π.

A. Persamaan Trigonometri Sinus 

                                                   

Untuk bentuk persamaan sinus di atas dapat diselesaikan dengan cara:

Contoh 1:

Penyelesaian:

maka:

untuk:

Sekarang kita gunakan rumus yang ke-2:

untuk:

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah : 

Contoh 2:

Penyelesaian:

maka kita gunkan rumus yang pertama yaitu:

untuk:

selanjutnya kita bahas rumus yang ke 2:

untuk:

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah : 

Contoh 3:

Penyelesaian:

dengan menggunakan rumus pertama yaitu:

untuk:

selanjutnya kita gunakan rumus yang ke-2:

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah :

 

B. Persamaan Trigonometri Cosinus 

Untuk bentuk persamaan sinus di atas dapat diselesaikan dengan cara:

Contoh 4:

Penyelesaian:

dengan mengunakan rumus yang pertama:

untuk:

dengan mengunakan rumus yang ke-2:

Dari penyelesaian di atas maka diperoleh Himpunan Penyesaian yaitu: 

Contoh 5:

Penyelesaian:

dengan menggunakan rumus yang pertama diperoleh:

untuk:

dengan menggunakan rumus ke dua:

untuk:

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah :

 

 C. Persamaan Trigonometri Tangen

Untuk bentuk persamaan sinus di atas dapat diselesaikan dengan cara:


dengan menggunakan rumus yang pertama diperoleh:

dengan menggunakan rumus diperoleh:

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah :

 

  Contoh 7:

Penyelesaian:

dengan menggunakan rumus yang pertama diperoleh:

dengan menggunakan rumus diperoleh:

Dari penyelesaian di atas, diperoleh bahwa himpunan penyelesaiannya adalah :

Ingin Pintar dan lulus di SMA PLUS YASOP, SMA DEL dan Matauli. Khusus buat kelas XII yuk persiapkan diri untuk bisa lulus di UTBK 2021. Bimbelnya di star ed aja loh..... Hubungi : 0821-6557-6215