Qual é a classificação quanto aos lados de um triângulo cujos vértices são 0 0 3 2 e 1 4

A classificação de triângulos é bastante útil para o desenvolvimento do estudo e das propriedades específicas dessa figura geométrica, que tem grande importância na geometria plana. Existem duas maneiras de classificar triângulos. Uma delas leva em consideração os ângulos e, nesse caso, um triângulo pode ser acutângulo, quando possui todos os seus ângulos internos agudos; retângulo, quando um dos seus ângulos internos é reto; ou obtusângulo, quando um de seus ângulos internos é obtuso.

A outra classificação baseia-se na comparação entre os lados. Nesse caso, um triângulo pode ser escaleno, quando todos os lados possuem medidas diferentes; isósceles, quando existem dois lados que possuem mesma medida; ou equilátero, quando todos os lados são congruentes.

Leia também: Paralelogramo – polígono que possui lados opostos paralelos

Propriedades dos triângulos

Os triângulos podem ser classificados com base em seus lados ou ângulos.

Um triângulo é um polígono de três lados, três vértices e três ângulos. Normalmente os vértices são representados por letras maiúsculas do nosso alfabeto, e a medida dos lados é representada por letras minúsculas. Já os ângulos são representados por letras do alfabeto grego.

Existem elementos e propriedades comuns a todos os triângulos, que são:

• O triângulo não possui diagonal.
• O triângulo possui três ângulos externos cuja soma é sempre igual a 360º.
• A soma dos ângulos internos (Si) é sempre igual a 180º.
• A soma de dois lados quaisquer é sempre menor que o terceiro lado.
• Todo triângulo possui altura, mediana, mediatriz e bissetriz.
• Todo triângulo possui pontos notáveis importantes: baricentro (encontro das três medianas), circuncentro (encontro das três mediatrizes), incentro (encontro das três bissetrizes) e ortocentro (encontro das três alturas).
• A área de um triângulo qualquer pode ser calculada pela fórmula:

A: área

b: base

h: altura

Existem duas formas de classificar os triângulos, que são independentes entre si. Uma delas leva em consideração os ângulos – nesse caso, um triângulo pode ser obtusângulo, acutângulo ou retângulo. Já a outra maneira de classificar faz a comparação entre o comprimento de cada um dos lados, com isso um triângulo pode ser escaleno, equilátero ou isósceles.

Ao analisar os ângulos internos do triângulo, chegamos a três casos:

Um triângulo é conhecido como acutângulo quando os seus três ângulos são agudos, ou seja, menores que 90º.

Um triângulo é retângulo quando um de seus ângulos é reto, ou seja, igual a 90º. Como a soma dos três ângulos é sempre igual a 180º, os demais ângulos são necessariamente agudos.

O triângulo retângulo é muito importante para a Matemática, pois, com base nele, são desenvolvidas relações de grande importância, como as relações trigonométricas no triângulo retângulo e o teorema de Pitágoras. Para saber mais informações sobre esse tipo de triângulo, acesse o nosso texto: triângulo retângulo.

Um triângulo é obtusângulo quando um de seus ângulos é obtuso, ou seja, maior que 90º. Os demais ângulos são necessariamente agudos.

Veja também: Semelhança de triângulos – comparação entre lados proporcionais e ângulos congruentes

Analisando os lados do triângulo, podemos também separar três casos:

O triângulo é escaleno quando as medidas dos lados são todas diferentes.

O triângulo é isósceles quando possui pelo menos dois lados congruentes, ou seja, com a mesma medida. Devido a essa particularidade, o triângulo isósceles possui propriedades específicas, que não são válidas para triângulos escalenos.

As propriedades específicas do triângulo isósceles são duas, uma em relação ao ângulo e outra em relação à altura.

• Em triângulos isósceles, os ângulos da base são sempre iguais (tratamos como base o lado que possui medida diferente dos demais lados).

• Ao traçar a altura h do triângulo isósceles, ela divide a base em duas partes iguais.

Note que os segmentos AM e BM são congruentes, o que significa que M é o ponto médio da base desse triângulo.

O triângulo é equilátero quando possui os três lados com as mesmas medidas. Como consequência, os três ângulos também possuem a mesma medida, que é de 60º. Existem fórmulas específicas para o cálculo de área e de altura desse triângulo, a s quais são deduzidas a partir dos três lados congruentes.

No triângulo equilátero, as propriedades do triângulo isósceles também são válidas, afinal, ele possui mais de dois lados iguais. Além disso, conhecendo o lado do triângulo equilátero, podemos encontrar a altura e a sua área pelas fórmulas a seguir:

• Altura do triângulo equilátero

• Área do triângulo equilátero

Acesse também: Trapézio – polígono de quatro lados com dois deles paralelos

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Das sentenças abaixo, assinale a que é verdadeira.

A) Um triângulo equilátero pode ser retângulo.

B) Todo triângulo retângulo é escaleno.

C) Todo triângulo equilátero é acutângulo.

D) Todo triângulo obtuso é isósceles.

E) Todo triângulo isósceles é acutângulo.

Resolução

Alternativa C.

Analisando as alternativas, temos que:

A) Um triângulo equilátero possui todos os lados iguais e, consequentemente, todos os ângulos, que medem 60º, o que torna impossível um triângulo equilátero ser retângulo.

B) Pelo argumento da alternativa anterior, sabemos que um triângulo retângulo não pode ser equilátero, resta saber se ele pode ser isósceles. Sabendo que ele possui um ângulo de 90º, se os outros dois ângulos forem de 45º cada, teremos um triângulo retângulo isósceles, logo nem todo triângulo retângulo é escaleno.

C) Sabendo que os ângulos internos de um triângulo equilátero valem 60º, então é verdade que ele é acutângulo.

D) Um triângulo obtuso pode ser isósceles (por exemplo, se os seus ângulos medirem 100º, 40º e 40º) e escaleno também (por exemplo, se apresentar ângulos de 120º, 20º e 40º). Existem várias outras possibilidades para que ele seja escaleno, o que torna a afirmativa falsa.

E) Pela explicação da letra D, sabemos que um triângulo isósceles pode ser obtuso e, pela explicação da letra B, sabemos que ele pode ser retângulo, o que torna essa sentença falsa.

Questão 2 - Assinale a alternativa correta sobre a classificação dos triângulos.

A) Triângulo equilátero é aquele que possui todos os ângulos medindo 90º.

B) Triângulo isósceles é aquele que possui todos os lados diferentes.

C) Triângulo acutângulo é aquele que possui exatamente um ângulo agudo.

D) Triângulo obtusângulo é aquele que possui um ângulo obtuso.

E) Triângulo retângulo é aquele que possui todos os seus ângulos retos.

Resolução

Alternativa D.

a) O triângulo equilátero possui todos os ângulos iguais a 60º, e não a 90º.

b) O triângulo isósceles é aquele que possui pelo menos dois lados iguais.

c) O triângulo acutângulo possui todos os ângulos agudos, e não somente um.

d) Essa alternativa é a verdadeira, pois essa é a definição de um triângulo obtusângulo.

e) O triângulo retângulo possui somente um ângulo reto.

Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

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1 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r Exercícios de Matemática Geometria Analítica Pontos e Plano Cartesiano 1. (Fuvest) Sejam A=(1, 2) e B=(3, 2) dois pontos do plano cartesiano. Nesse plano, o segmento AC é obtido do segmento AB por uma rotação de 60°, no sentido anti-horário, em torno do ponto A. As coordenadas do ponto C são: a) (2, 2+Ë3). b) (1+Ë3, 5/2). c) (2, 1+Ë3). d) (2, 2-Ë3). e) (1+Ë3, 2+Ë3). 2. (Ita) Três pontos de coordenadas, respectivamente, (0,0), (b,2b) e (5b,0), com b>0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do quarto vértice são dadas por: a) (- b, - b) b) b) (2b, - b) c) (4b, - 2b) d) (3b, - 2b) e) (2b, - 2b) 3. (Unesp) Dado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2), B(4, -1) e C(m, 0). Para que AC+CB seja mínimo, o valor de m deve ser: a) 7/3. b) 8/3. c) 10/3. d) 3,5. e) 11/3. 4. (Unicamp) Dados três pontos a, b e c em uma reta, como indica a figura seguinte determine o ponto x da reta, tal que a soma das distâncias de x até a, de x até b e de x até c seja a menor possível. Explique seu raciocínio. 5. (Cesgranrio) A área do triângulo, cujo vértices são (1,2), (3,4) e (4,-1), é igual a: a) 6. b) 8. c) 9. d) 10. e) 12. 6. (Fuvest) Considere, no plano cartesiano, os pontos P=(0,-5) e Q=(0,5). Seja X=(x,y) um ponto qualquer com x>0. a) Quais são os coeficientes angulares das retas PX e QX? b) Calcule, em função de x e y, a tangente do ângulo PXQ. c) Descreva o lugar geométrico dos pontos X=(x,y) tais que x>0 e PXQ=(™/4) radianos. 7. (Cesgranrio) O ponto Q é o simétrico do ponto P(x,y) em relação ao eixo dos y. O ponto R é o simétrico do ponto Q em relação à reta y=1. As coordenadas de R são: a) (x, 1-y) b) (0, 1) c) (-x, 1-y) d) (-x, 2-y) e) (y, -x) 8. (Fei) O ponto A', simétrico do ponto A= (1,1) em relação à reta r: 2x + 2y - 1 = 0 é: a) (1,1) b) (1/2, -3/2) c) (-1/2, -1/2) d) (-1/2, -3/2) e) (1/2, 3/2) 9. (Ufmg) A reta de equação y = 3x + a tem um único ponto em comum com a parábola de equação y=x£+x+2. O valor de a é a) - 2 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 2 2 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 10. (Ufmg) Os pontos P e Q pertencem à reta de equação y=mx, têm abscissas a e a+1, respectivamente. A distância entre P e Q é Ë10. A ordenada do ponto dessa reta que tem abscissa 5 é negativa. Nessas condições, o valor de m é a) - 3 b) - Ë10 c) 3 d) (Ë10)/10 e) Ë10 11. (Unesp) A distância do vértice da parábola y = (x-2) (x-6) à reta y = (4/3)x + 5 é: a) 72/25 b) 29/25 c) 43 d) 43/25 e) 43/5 12. (Unesp) A reta r é perpendicular à reta -3x + 4y - 5 = 0 e passa pelo ponto (1, 2). Determine os pontos de r que distam 5 unidades do ponto (1, 2). 13. (Mackenzie) Um segmento de reta de comprimento 8 movimenta-se no plano mantendo suas extremidades P e Q apoiadas nos eixos 0x e 0y, respectivamente. Entre os pontos do lugar geométrico descrito pelo ponto médio de PQ, o de maior ordenada possui abscissa: a) - 2. b) - 1. c) 0. d) 1. e) 2. 14. (Ufc) Considere o triângulo cujos vértices são os pontos A(2,0); B(0,4) e C(2Ë5, 4+Ë5). Determine o valor numérico da altura relativa ao lado AB, deste triângulo. 15. (Uel) Seja åè uma diagonal do quadrado ABCD. Se A = (-2, 3) e C = (0, 5), a área de ABCD, em unidades de área, é a) 4 b) 4Ë2 c) 8 d) 8Ë2 e) 16 16. (Mackenzie) Supondo ™=3, então os pontos (x,y) do plano tais que x£+y£-16´0, com x+yµ4, definem uma região de área: a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 17. (Unesp) O tetraedro VABC da figura a seguir é regular e sua base encontra-se sobre um plano cartesiano, em relação ao qual seus vértices têm coordenadas A(-1/2, 0), B(1/2, 0) e C(0, Ë3/2). Dando-se à face ABV uma rotação em torno da aresta AB, no sentido indicado pela figura, até fazê-la coincidir com o plano ABC da base, quais as coordenadas do ponto P que o vértice V ocupará após a rotação? 18. (Cesgranrio) A distância entre os pontos M(4,-5) e N(-1,7) do plano x0y vale: a) 14. b) 13. c) 12. d) 9. e) 8. 19. (Puccamp) Sabe-se que os pontos A = (0; 0), B = (1; 4) e C = (3; 6) são vértices consecutivos do paralelogramo ABCD. Nessas condições, o comprimento da æî é a) Ë2 b) Ë3 c) 2Ë2 d) Ë5 e) 5 3 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 20. (Fgv) No plano cartesiano, os vértices de um triângulo são A (5,2), B (1,3) e C (8,-4). a) Obtenha a medida da altura do triângulo, que passa por A. b) Calcule a área do triângulo ABC. 21. (Ita) Seja m Æ |Rø* tal que a reta x-3y-m=0 determina, na circunferência (x-1)£+(y+3)£=25, uma corda de comprimento 6. O valor de m é a) 10 + 4Ë10 b) 2 + Ë3 c) 5 - Ë2 d) 6 + Ë10 e) 3 22. (Uece) Seja (r) a reta que passa pelos pontos P• (-1, 0) e P‚ (0, 3). Considere M (n, q) um ponto de (r). Se a distância do ponto O (0, 0) ao ponto M é 3/Ë10cm, então q - n é igual a: a) 4/5 b) 1 c) 6/5 d) 7/5 23. (Ita) Considere o paralelogramo ABCD onde A=(0,0), B=(-1,2) e C=(-3,-4). Os ângulos internos distintos e o vértice D deste paralelogramo são, respectivamente: a) ™/4, 3™/4 e D = (-2,-5) b) ™/3, 2™/3 e D = (-1,-5) c) ™/3, 2™/3 e D = (-2,-6) d) ™/4, 3™/4 e D = (-2,-6) e) ™/3, 2™/3 e D = (-2,-5) 24. (Mackenzie) Na figura, a área do triângulo assinalado é 6. Então a distância entre as retas paralelas r e s é: a) 2 b) 3/2 c) 6/5 d) 7/5 e) 8/5 25. (Ufmg) Observe a figura. Nessa figura, ABCD é um paralelogramo, as coordenadas do ponto C são (6,10) e os lados AB e AD estão contidos, respectivamente, nas retas de equações y=(x/2)+14 e y=4x-2. Nesse caso, as coordenadas do ponto B são a) (7, 35/2) b) (9, 37/2) c) (8,18) d) (10,19) 26. (Ufrj) Sejam A (1, 0) e B (5, 4Ë3) dois vértices de um triângulo equilátero ABC. O vértice C está no 2Ž quadrante. Determine suas coordenadas. 27. (Ufrj) As coordenadas dos vértices do triângulo isósceles T• são dadas por A=(-1,1), B=(9,1) e C=(4,6). As coordenadas dos vértices do triângulo isósceles T‚ são dadas por D=(4,2), E=(2,8) e F=(6,8). Determine a área do quadrilátero T º T‚. 28. (Ufrj) Sejam M = (1, 2), M‚ = (3, 4) e Mƒ = (1,-1) os pontos médios dos lados de um triângulo. Determine as coordenadas dos vértices desse triângulo. 4 | P r o j e t o M e d i c i n a – w w w . p r o j e t o m e d i c i n a . c o m . b r 29. (Unirio) Considere um triângulo cujos vértices são A (0,0) B (3, 4) e C (6, 0) e responda às perguntas a seguir. a) Qual a soma das medidas dos lados com a medida da altura relativa ao vértice B? b) Qual a classificação deste triângulo quanto às medidas de seus ângulos internos? 30. (Ufrs) Em um sistema de coordenadas polares, P=(3,™/6) e Q=(12,0) são dois vértices adjacentes de um quadrado. O valor numérico da área deste quadrado é a) 81 b) 135 c) 153 d) 153 - 36Ë2 e) 153 - 36Ë3 31. (Unicamp) Uma reta intersecciona nos pontos A (3, 4) e B(-4, 3) uma circunferência centrada na origem.