Raiz quadrada aproximada exercícios 8 ano
A raiz quadrada aproximada é utilizada quando precisamos calcular a raiz quadrada de um número que não possui raiz exata. Quando isso ocorre, é necessário utilizar uma aproximação, porque a raiz quadrada nesse caso forma uma dízima não periódica. Para descobrir uma aproximação da raiz quadrada, primeiramente encontramos entre quais números naturais a raiz quadrada se situa. Posteriormente, podemos analisar o valor da casa decimal, encontrando o valor que mais se aproxima da raiz quadrada desejada. Show Leia também: Raiz cúbica — o caso de radiciação em que o 3 é o índice do radical Videoaula sobre raiz quadrada aproximadaRaiz quadrada aproximada x Raiz quadrada exataExistem dois casos possíveis para a raiz quadrada de um número natural: o resultado pode ser uma raiz quadrada exata ou não. Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Veja alguns deles a seguir:
Quando o número natural não é um quadrado perfeito, a raiz quadrada desse número é uma dízima não periódica, como a raiz de 3 a seguir: \(\sqrt3=1.73205080756887729362772\ldots\) Quando a raiz quadrada não é um número exato, é possível encontrar uma aproximação para o valor da raiz. Quando a raiz quadrada não é exata, podemos calcular a raiz quadrada aproximada. Para isso, é necessário, inicialmente, encontrar entre quais quadrados perfeitos esse número se situa. Posteriormente, encontramos o intervalo em que a raiz quadrada desse número está. Por fim, determinamos a casa decimal por tentativa. Calcularemos o valor da \(\sqrt{20}\), por aproximação. Resolução: De início, encontraremos entre quais quadrados perfeitos o número 20 está: 16 < 20 < 25 Posteriormente, encontraremos entre quais valores está a raiz quadrada de 20: \(\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}\) \(4<\sqrt{20}<5\) Sabemos que \(\sqrt{20} \) está entre 4 e 5, logo a parte inteira é 4, que é o menor dentre os valores. Encontraremos a primeira casa decimal calculando o quadrado dos valores que estão entre 4,1 e 4,9 e descobrindo entre quais desses números a \(\sqrt{20}\) está. Para isso, calcularemos o quadrado de cada um deles até encontrar um número maior que 20: 4,1² = 16,81 4,2² = 17,64 4,3² = 18,49 4,4² = 19,36 4,5² = 20,25 Note que \(\sqrt{20}\) está entre 4,4 e 4,5. Caso o objetivo seja encontrar uma aproximação com uma casa decimal, dizemos que: \(\sqrt{20}=4,4\) por falta \(\sqrt{20}=4,5 \) por excesso. Podemos também encontrar a próxima casa decimal, agora que encontramos um novo intervalo para \(\sqrt{20}\): \(4,4<\sqrt{20}<4,5\) Testando os valores com duas casas decimais, temos que: 4,41² = 19,4481 4,42² = 19,5364 4,43² = 19,6249 4,44² = 19,7136 4,45² = 19,8025 4,46² = 19,8916 4,47² = 19,9809 4,48² = 20,0704 Agora, reduzimos mais ainda o intervalo, pois sabemos que a \(\sqrt{20}\) está entre 4,47 e 4,48. \(\sqrt{20}\) = 4,47 por falta. \(\sqrt{20}\) = 4,48 por excesso. Podemos repetir esse procedimento para quantas casas decimais quisermos. Calcule \(\sqrt2\). Resolução: 1 < 2 < 4 Temos que: \(\sqrt1<\sqrt2<\sqrt4\) \(1<\sqrt2<2\) Sabemos que \(\sqrt2\) é um número entre 1,1 e 1,9: 1,1² = 1,21 1,2² = 1,44 1,3² = 1,69 1,4² = 1,96 1,5² = 2,25 Portanto, \(\sqrt2\) está entre 1,4 e 1,5. \(\sqrt2\) = 1,4 por falta. \(\sqrt2\) = 1,5 por excesso. Calculando a segunda casa decimal: 1,41² = 1,9881 \(\sqrt2\) = 1,41 por falta. \(\sqrt2\) = 1,42 por excesso. Saiba também: O que é uma função raiz? Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximadaQuestão 1 Calculando o valor aproximado de \(\sqrt{60}\) com duas casas decimais por falta, encontramos: A) 7,71 B) 7,72 C) 7,73 D) 7,74 E) 7,75 Resolução: Alternativa D O número 60 está entre os quadrados perfeitos 49 e 64: \(49<60<64\) \(\sqrt{49}<\sqrt{60}<\sqrt{64}\) \(7<\sqrt{60}<8\) Testando os números entre 7,1 e 7,9: 7,1² = 50,41 7,2² = 51,84 7,3² = 53,29 7,4² = 54,76 7,5² = 56,25 7,6² = 57,76 7,7² = 59,29 7,8² = 60,84 Então, temos que \(7,7<\sqrt{60}<7,8:\): 7,71² = 59,4441 7,72² = 59,5984 7,73² = 59,7529 7,74² = 59,9076 7,75² = 60,0625 A aproximação por falta é, portanto, 7,74. Questão 2 O número 3,87 é a aproximação por falta de: A) \(\sqrt{14}\) B) \(\sqrt{15}\) C) \(\sqrt{15}\) D) \(\sqrt{17}\) Resolução: Alternativa B Calculando o quadrado de 3,87: 3,87² = 14,9769 O número decimal 3,87 é a melhor aproximação por falta para \(\sqrt{15}\). Teste seus conhecimentos com esta lista de exercícios sobre raiz quadrada aproximada e verifique seus acertos por meio da resolução das questões.
Questão 1
A raiz quadrada de 72 está entre: A) 4 e 5 B) 5 e 6 C) 6 e 7 D) 7 e 8 E) 8 e 9
Questão 2
A área de um quadrado é igual à multiplicação dos seus lados, ou seja, A = l². Se determinado quadrado possui área igual a 30 cm², então, utilizando aproximação de duas casas decimais, o valor da medida do lado desse quadrado é igual a: A) 5,46 B) 5,48 C) 5,49 D) 5,51 E) 5,53
Questão 3
Um triângulo retângulo possui catetos medindo 1 cm. Nesse caso, podemos afirmar que o valor aproximado que melhor representa a medida da hipotenusa em centímetros é: A) 1,2 B) 1,3 C) 1,4 D) 1,5 E) 1,6
Questão 4
Durante a resolução de uma equação do 2º grau, um engenheiro constatou que o discriminante dessa equação era um número que não possui raiz quadrada exata. Foi nesse momento então que ele decidiu utilizar uma aproximação para essa raiz. Se o valor do discriminante é 37, então a melhor aproximação para a raiz desse número é: A) 6,0 B) 6,1 C) 6,2 D) 6,3 E) 6,4
Questão 5
O valor que mais se aproxima da expressão \(\sqrt{8^2-6^2}\) é: A) 5,1 B) 5,2 C) 5,3 D) 5,4 E) 5,5
Questão 6
O número 6,48 é a aproximação por falta da raiz quadrada de: A) 40 B) 41 C) 42 D) 43 E) 44
Questão 7
Sobre a \(\sqrt{120}\), podemos afirmar que: I. Essa raiz quadrada é exata. II. Ela está entre os números inteiros 10 e 11. III. Sua aproximação é 10,95. Marque a alternativa correta: A) Todas as afirmativas são verdadeiras. B) Somente a afirmativa I é falsa. C) Somente a afirmativa II é falsa. D) Somente a afirmativa III é falsa.
Questão 8
Quando a raiz quadrada não é exata, os babilônicos utilizavam a fórmula \(\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}\) para encontrarem uma aproximação do valor dela. Nessas condições, utilizando a = \(\frac{3}{2}\) e \(\frac{3}{4}\), podemos afirmar que: A) \( \sqrt3\approx\frac{7}{2}\) B) \( \sqrt3\approx\frac{2}{7}\) C) \( \sqrt3\approx\frac{7}{4}\) D) \( \sqrt3\approx\frac{4}{7}\)
Questão 9
Utilizando aproximação com uma casa decimal, encontre o valor da expressão: \(\sqrt2+\sqrt3-\sqrt7\) A) 0,5 B) 0,4 C) 0,3 D) 0,2
Questão 10
Um retângulo possui lados medindo \(\sqrt{18}\) cm e \(\sqrt{12}\) cm. Utilizando 2,45 como aproximação para \(\sqrt6\), então a área desse retângulo é de, aproximadamente: A) 44,1 cm² B) 42,8 cm² C) 44,0 cm² D) 45,4 cm² E) 46,7 cm²
Questão 11
Para calcular o volume do cilindro, utilizamos a fórmula V= πr2⋅h. Sabendo que um cilindro tem 12 cm de altura e volume igual a 264π cm³, podemos afirmar que o raio r dele está entre: A) 3 cm e 4 cm B) 4 cm e 5 cm C) 5 cm e 6 cm D) 6 cm e 7 cm E) 7 cm e 8 cm
Questão 12
Analisando os números a seguir, marque a alternativa que contém uma aproximação na raiz. A) \( \sqrt4=2\) B) \( \sqrt{1,21}=1,1\) C) \( \sqrt{15,5}=3,94\) D) \( \sqrt{16}=4\)
Resposta - Questão 1
Alternativa E Sabemos que os quadrados perfeitos mais próximos de 72 são 64 e 81, logo, temos que: \(\sqrt{64}<\sqrt{72}<\sqrt{81}\) \(8<\sqrt{72}<9\) A raiz quadrada de 72 está entre 8 e 9.
Resposta - Questão 2
Alternativa B Por aproximação, sabemos que 30 está entre os quadrados perfeitos 25 e 36, ou seja: \(25<30<36\) Calculando a raiz quadrada, temos que: \(\sqrt{25}<\sqrt{30}<\sqrt{36}\) \(5<\sqrt{30}<6\) Então sabemos que a parte inteira da raiz é 5, agora encontraremos a primeira casa decimal. 5,1² = 26,01 5,2² = 27,04 5,3² = 28,09 5,4² = 29,16 5,5² = 30,25 Note então que 5,5² é maior que 30, logo, a primeira casa decimal é 4, então temos que: \(5,4<\sqrt{30}<5,5\) Faremos: 5,41² = 29,2681 5,42² = 29,3764 5,43² = 29,4849 5,44² = 29,5936 5,45² = 29,7025 5,46² = 29,8116 5,47² = 29,9209 5,48² = 30,0304 Então: \(5,47<\sqrt{30}<5,48\) Note que não há nas alternativas a opção 5,47, então utilizamos a aproximação por excesso: 5,48.
Resposta - Questão 3
Alternativa C Aplicando o teorema de Pitágoras, seja x a medida da hipotenusa, temos que: x² = 1² + 1² x² = 1 + 1 x² = 2 x = \(\sqrt2\) Sabemos que \(\sqrt2\) está entre \(\sqrt1=1 \) e \(\sqrt4=2\). 1,1² = 1,21 1,2² = 1,44 1,3² = 1,69 1,4² = 1,96 1,5² = 2,25 Note que o valor que mais se aproxima de 2 é 1,4², então 2 ≈ 1,4.
Resposta - Questão 4
Alternativa B Sabemos que o 37 está entre os quadrados perfeitos 36 e 49. Como a raiz de 36 é 6, temos que: 6,0² = 36,00 6,1² = 37,21 Note que o valor com uma casa decimal que mais se aproxima da raiz de 37 é 6,1. Então temos que: \(\sqrt{37}\cong6,1\)
Resposta - Questão 5
Alternativa D Sabemos que 8² = 64 e que 6² = 36, logo, temos que: \(\sqrt{8^2-6^2}\) \(\sqrt{64-36}\) \(\sqrt{29}\) A raiz quadrada de 29 está entre 5 e 6, pois sabemos que 5² = 25 e 6² = 36. 5,1² = 26,01 5,2² = 27,04 5,3² = 28,09 5,4² = 29,16 Note que o valor que mais se aproxima da raiz de 29 é 5,4.
Resposta - Questão 6
Alternativa C Calculando, 6,48² = 41,9904. Como se trata de uma aproximação por falta, então 6,48 é aproximadamente \( \sqrt{42}\).
Resposta - Questão 7
Alternativa B I. Essa raiz quadrada é exata. (falsa) Essa raiz quadrada não é exata. Para saber seu resultado, utiliza-se raiz quadrada aproximada como estratégia. II. Ela está entre os números inteiros 10 e 11. (verdadeira) Sabemos que 120 está entre 100 e 121, cujas raízes são, respectivamente, 10 e 11, logo, a raiz de 120 está entre 10 e 11. III. Sua aproximação é 10,95. (verdadeira) Com duas casas decimais, a melhor aproximação para \(\sqrt{120}\) é 10,95.
Resposta - Questão 8
Alternativa C Substituindo na fórmula, temos que: \(\sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}\approx\frac{3}{2}+\frac{\frac{3}{4}}{2\cdot\frac{3}{2}}\) \(\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{3}{4}}\approx\frac{3}{2}+\frac{\frac{3}{4}}{3}\) \(\sqrt{\frac{12}{4}}\approx\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{3}\) \(\sqrt3\approx\frac{3}{2}+\frac{3^{:3}}{{12}_{:3}}\) \(\sqrt3\approx\frac{3}{2}+\frac{1}{4}\) \(\sqrt3\approx\frac{6+1}{4}\) \(\sqrt3\approx\frac{7}{4}\)
Resposta - Questão 9
Alternativa A Primeiro encontraremos as aproximações de cada uma das raízes com uma casa decimal: \(\sqrt2\approx1,4\) \(\sqrt3=\ \approx1,7\) \(\sqrt7\approx2,6\) Agora, substituindo na expressão, temos que: \(1,4+1,7-2,6=0,5\)
Resposta - Questão 10
Alternativa A Para calcular a área do retângulo, temos que: \(A=\sqrt{18}\cdot\sqrt{12}\) \(A=\sqrt{3^2\cdot2}\cdot\sqrt{2^2\cdot3}\) \(A=9\sqrt2\cdot2\sqrt3\) \(A=9\cdot2\sqrt{2\cdot3}\) \(A=18\sqrt6\) Utilizando aproximação para 6, temos que: \(A = 18\cdot2,45\) \(A = 44,1 cm²\)
Resposta - Questão 11
Alternativa B Sabemos que V = πr2⋅h e temos que V = 264π e h = 12. Então temos que: \(264\pi=\pi r^2\cdot12\) \(\frac{264\pi}{12\pi}=r^2\) \(22=r^2\) \(r=\sqrt{22}\) Sabemos que os quadrados perfeitos próximos de 22 são 4² = 16 e 5² = 25, logo, o raio está entre 4 cm e 5 cm.
Resposta - Questão 12
Alternativa C Analisando as alternativas, vamos verificar se o quadrado da raiz é igual ao radicando, assim, temos que: A) 2² = 4 (não é uma aproximação) B) 1,1² = 1,21 (não é uma aproximação) D) 3,94² = 15,5236 (é uma aproximação) E) 4² = 16 (não é uma aproximação) Então podemos afirmar que a única raiz quadrada para a qual foi usada uma aproximação é a da alternativa C. |