Se duas grandezas x e y(x) são diretamente proporcionais é possível afirmar sobre a taxa média d
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Uma grandeza é um referencial usado para comparar e definir medidas. As grandezas físicas mais conhecidas e mais usadas no dia a dia são: comprimento/distância, massa, velocidade e tempo. Com duas medidas obtidas a partir de uma grandeza, é possível construir uma razão, que é a divisão entre essas medidas expressa por meio de uma fração. Quando duas razões construídas a partir de grandezas distintas são iguais, dizemos que elas são proporcionais. Show Caso duas grandezas sejam proporcionais, variar a medida de uma delas faz com que a medida observada na segunda também varie. Se essa variação é direta, então essas grandezas são diretamente proporcionais; se essa variação for inversa, então as grandezas serão inversamente proporcionais. Duas grandezas são chamadas de inversamente proporcionais quando um aumento na medida de uma delas faz com que a medida da outra seja reduzida na mesma proporção. Em outras palavras, dadas as grandezas A e B, se houver aumento na medida da grandeza A, ocorre a diminuição da medida da grandeza B, então elas são inversamente proporcionais. Exemplo: um automóvel move-se a 40 km/h e demora cerca de 5 horas para chegar ao seu destino. Se esse automóvel estivesse a 80 km/h, ele demoraria duas horas e meia para chegar ao seu destino. Observe que dobrar a velocidade implica em gastar metade do tempo para chegar, ou seja, um aumento na velocidade faz com que o tempo gasto no percurso diminua. Assim, as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Além disso, a proporção de variação nas medidas das grandezas é a mesma. Regra de trêsA regra de três é uma das ferramentas que podem ser usadas para determinar uma das medidas de uma proporção quando são conhecidas apenas três medidas. Nesse caso, monta-se a proporção usando as medidas disponíveis e aplica-se a propriedade fundamental das proporções. Entretanto, para as grandezas inversamente proporcionais, é preciso dar um passo a mais: antes de aplicar a propriedade fundamental das proporções, é necessário inverter uma das razões. Exemplo: um automóvel desloca-se a 60 km/h e demora 3 horas para chegar a seu destino. Se esse mesmo automóvel estivesse a 90 km/h, quanto tempo levaria para completar esse mesmo percurso? A proporção construída a partir dessa situação é: 60 = 3 Essas grandezas são inversamente proporcionais, pois, aumentando a velocidade, gastaremos menos tempo em um mesmo percurso. Portanto, inverteremos uma das equações: 90 = 3 Agora, basta aplicar a propriedade fundamental das proporções e resolver a equação resultante: 90x = 3·60 80x = 180 x = 180 x = 2 Serão gastas duas horas a 90 km/h. Uma grandeza é um referencial que pode ser usado para comparar medidas diversas. As grandezas físicas mais conhecidas e usadas no dia a dia são o comprimento, ou a distância, a massa (mais conhecida como peso), a velocidade e o volume. É possível construir razões entre as medidas de duas grandezas distintas, e, quando duas dessas razões são iguais, as grandezas são chamadas de proporcionais. Dizemos que elas são diretamente ou inversamente proporcionais de acordo com o comportamento observado em uma delas em relação a uma variação na medida da outra. Grandezas diretamente proporcionaisDuas grandezas são chamadas de diretamente proporcionais quando o aumento na medida de uma delas causa um aumento na medida da outra na mesma proporção, ou quando uma redução na medida de uma das grandezas causa uma redução na medida da outra na mesma proporção. 1º Exemplo: as grandezas velocidade e distância percorrida são diretamente proporcionais. Isso acontece porque aumentar a velocidade de um objeto faz com que a distância percorrida por ele (no mesmo período de tempo) aumente também. Observe que reduzir a velocidade de um objeto faz com que a distância percorrida por ele, em um determinado período de tempo, também reduza. É por isso que velocidade e distância percorrida são grandezas diretamente proporcionais. 2º Exemplo: a quantidade de funcionários em uma fábrica e o número de produtos fabricados. Aumentando o número de funcionários (em condições ideais de produção), aumenta-se também o número de itens produzidos. Grandezas inversamente proporcionaisDuas grandezas são chamadas inversamente proporcionais quando o aumento na medida de uma das grandezas causa uma redução na medida da outra, e vice-versa. Exemplo: as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. Aumentando a velocidade de um objeto, ele gastará menos tempo para percorrer determinado percurso. É importante lembrar que as variações sempre ocorrem na mesma proporção, ou seja, se dobrarmos a velocidade do objeto, o tempo gasto por ele, em um mesmo percurso, cai pela metade. Regra de trêsA regra e três é um meio de usar a propriedade fundamental das proporções para determinar uma das quatro medidas de duas grandezas, quando se conhece as outras três. O modo de encontrar essa medida não é o mesmo para grandezas diretamente proporcionais e inversamente proporcionais. Quando duas grandezas são proporcionais, basta aplicar essa propriedade fundamental sobre uma proporção para encontrar a medida que falta. Exemplo: digamos que um automóvel esteja a 50 km/h e, em determinado período de tempo, percorra 250 km. Quantos quilômetros percorreria se sua velocidade fosse 75 km/h? Montando a proporção e aplicando a propriedade fundamental das proporções, teremos: 250 = 50 50x = 75·250 50x = 18750 x = 18750 x = 375 km. Quando as duas grandezas são inversamente proporcionais, deve-se montar a proporção e inverter uma das razões antes de aplicar a propriedade fundamental das proporções. Exemplo: um veículo, a 120 km/h, gasta 2 horas em determinado percurso. Qual seria sua velocidade se o tempo gasto nesse percurso fosse de 6 horas? Aumentando o tempo gasto na viagem, a velocidade do automóvel diminui, portanto, essas grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção entre elas, teremos: 120 = 2 Antes de aplicar a propriedade fundamental das proporções, é necessário inverter uma das razões. Observe que cada uma delas está relacionada a uma das grandezas. Caso a montagem da proporção seja feita de forma diferente, a solução estará errada. 120 = 6 6x = 2·120 6x = 240 x = 240 x = 40 km/h Os números proporcionais são divididos em diretamente e inversamente proporcionais, e são utilizados em situações envolvendo regra de sociedade, abordando as divisões de lucros, prejuízos, sociedade em investimentos entre outras situações de repartição de capitais. Números diretamente proporcionais Dados os números a, b, c e d, e, f, dizemos que eles são diretamente proporcionais quando a igualdade entre as respectivas razões possuem o mesmo valor. Dessa forma, concluímos que:
Exemplo 1 Após simplificar as frações à forma irredutível, verificamos que a igualdade entre as razões foi comprovada. Dessa forma, dizemos que os números nessa ordem são proporcionais e o coeficiente de proporcionalidade é igual a 1/3. Exemplo 2 Vamos determinar os valores de x e y, considerando que os números 6, 8, 16 são diretamente proporcionais aos números 30, x, y. Os valores de x e y são, respectivamente, 40 e 80. Números inversamente proporcionais Exemplo 3 Para desenvolver as frações acima, devemos conservar o numerador e multiplicar pelo inverso do denominador. Verificada a igualdade, dizemos que os números são inversamente proporcionais. Exemplo 4 Vamos verificar se os números 2, 4, 8 são inversamente proporcionais aos números 20, 10, 5. Para que eles sejam inversamente proporcionais, devemos aplicar a regra do exemplo 3.Os números são inversamente proporcionais, pois possuem o mesmo coeficiente de proporcionalidade. Por Marcos Noé Graduado em Matemática Equipe Brasil Escola Matemática Financeira - Matemática - Brasil Escola |
