KOMPAS.com/Gischa Prameswari
Ilustrasi macam-macam pola bilangan dan rumusnya
Oleh: Andri Saputera, Guru SMPN 12 Pekanbaru, Riau
KOMPAS.com - Pola bilangan adalah suatu susunan bilangan yang memiliki aturan dalam penyusunannya dan membentuk suatu pola.
Pola bilangan memiliki berbagai macam dan rumusnya masing-masing. Berikut penjelasannya:
Pola bilangan asli
Pola bilangan asli adalah suatu pola bilangan yang tersusun dari bilangan asli.
Bilangan asli adalah susunan bilangan yang di mulai dari 1 sampai tak hingga dan memiliki pola bilangan yang ditambah dengan bilangan 1. Barisan bilangan asli: 1, 2, 3, 4, 5, …
Sementara untuk rumus pola bilangan, yaitu: n , di mana n bilangan asli.
Pola bilangan ganjil
Pola bilangan ganjil yaitu pola bilangan yang tersusun dari bilangan-bilangan ganjil. Bilangan ganjil memiliki pengertian bilangan yang tidak habis dibagi 2.
Barisan bilangan ganjil: 1, 3, 5, 7, 9, …
Rumus pola bilangan ganjil: 2n – 1, di mana n bilangan asli.
Baca juga: Belajar Pola Bilangan Lewat Loncat Katak
Pola bilangan genap
Pola bilangan genap adalah suatu pola bilangan yang terbentuk dari bilangan genap. Bilangan genap memiliki arti sebuah bilangan yang habis dibagi 2.
Sebelum membahas mengenai pola bilangan, terlebih dahulu akan dimulai dengan membahas sedikit mengenai penalaran. Dalam matematika, penalaran dibagi menjadi penalaran deduktif dan penalaran induktif.
a. Penalaran deduktif
Penalaran deduktif atau berpikir deduktif adalah kemampuan seseorang dalam menarik kesimpulan berdasarkan pernyataan-pernyataan yang bersifat umum. Dasar penalaran deduktif adalah kebenaran suatu pernyataan haruslah berdasarkan pada kebenaran pernyataan lain.
Contoh:
Buktikanlah: Jika � dan � adalah bilangan-bilangan genap, maka � + � adalah bilangan genap.
Bukti:
Untuk membuktikan pernyataan tersebut, maka kita akan menggunakan proses berpikir deduktif. Artinya membuktikan pernyataan tersebut haruslah berdasarkan
kebenaran ataupun definisi yang sudah jelas kebenarannya, tanpa menggunakan contoh.
Misalkan � dan � adalah sebarang bilangan genap, terdapat r dan s sedemikian hingga � = 2� dan � = 2� [definisi bilangan genap].
� + � = 2 × � + 2 × �
� + � = 2 × [� + �] [sifat distributif, sifat tertutup]
Karena � + � adalah suatu bilangan bulat, maka berdasarkan definisi bilangan genap diperoleh bahwa � + � adalah bilangan genap.
b. Penalaran induktif
Penalaran induktif atau berpikir induktif adalah kemampuan seseorang dalam menarik kesimpulan yang bersifat umum melalui pernyataan yang bersifat khusus. Penalaran induktif pada prinsipnya adalah menyelesaikan persoalan matematika tanpa menggunakan rumus [dalil], melainkan dimulai dengan memperhatikan data/soal. Dari data tersebut diproses sehingga berbentuk kerangka/pola dasar tertentu yang kita cari sendiri, sedemikian rupa dapat ditarik sebuah kesimpulan.
Penalaran induktif dapat meliputi pengenalan pola, dugaan, dan pembentukan generalisasi.
c. Pola Bilangan, Barisan dan Deret Bilangan
Berikut akan disajikan beberapa contoh pola bilangan, antara lain sebagai berikut.
1]
Pola persegi panjangPola persegi panjang digambarkan dengan pola seperti berikut ini.
Banyak titik pada pola persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, …. Untuk menentukan rumus suku ke–� dari banyak titik pada pola persegi panjang, maka
Perhatikan tabel di bawah ini untuk membantu kita membuat dugaan rumus suku ke-�.
Suku ke-� Banyak[vertikal]titik Banyak[horizontal]titik Banyakseluruhnyatitik
1 1 2 2
2 2 3 6
3 3 …. 12
4 …. …. 20
� � � + 1 �[� + 1]
Rumus pola bilangan persegi panjang adalah: �� = �[� + 1], � ∈ �������� ����. Catatan: ��= suku ke-n.
Contoh:
Tentukanlah banyak titik pola persegi panjang pada suku ke-15! Penyelesaian:
Banyak titik pada suku ke-15 adalah �15. ��= �[� + 1]
�15= 15[15 + 1] �15= 240.
Jadi banyak titik pada suku ke-15 adalah 240.
2]
Pola persegiPola persegi digambarkan dengan pola seperti berikut ini.
Pola bilangan persegi terdiri dari 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ....
Melalui proses yang sama seperti menemukan dugaan rumus pola persegi panjang, coba Anda lakukan proses menemukan pola dugaan untuk pola persegi! Apakah rumus yang Anda peroleh adalah �2?
Catatan: ��= suku ke-n.
3]
Pola segitigaPola segitiga digambarkan sebagai berikut.
Pola bilangan segitiga terdiri dari 1, 3, 6, 10, 15, ....
Setelah memperhatikan bilangan yang termasuk pada pola bilangan segitiga, dapatkah Anda membuat dugaan rumus pola bilangan segitiga melalui pola bilangan persegi panjang? Jika Anda belum menemukannya, maka lakukan langkah seperti menemukan rumus persegi panjang yang telah dicontohkan pada bagian 1]. Apakah rumus yang Anda peroleh adalah ��= � �−12
Rumus pola bilangan segitiga adalah: ��= � �−12 n € bilangan asli Catatan: ��= suku ke-n
4]
Pola bilangan FibonacciPola bilangan Fibonacci ditemukan oleh matematikawan Italia yang bernama Leonardo da Pisa. Perhatikan contoh pola bilangan Fibonacci berikut ini: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …. Informasi apa yang dapat Anda peroleh dari bilangan-bilangan tersebut? Informasi yang Anda peroleh dari barisan bilangan tersebut adalah suku ke-3 merupakan hasil penjumlahan dari suku ke-1 dan suku ke-2, suku ke-4 merupakan hasil penjumlahan dari suku ke-2 dan suku ke-3, dan seterusnya. Dengan kata lain pada pola bilangan Fibonacci sebuah suku tertentu merupakan penjumlahan dari dua suku sebelumnya, dapat ditulis dengan:
�� = ��− 1 + ��− 2. Catatan: ��= suku ke-n.
Dapatkah Anda membuat bilangan-bilangan yang mengikuti pola bilangan Fibonacci?
5]
Barisan dan Deret AritmatikaPerhatikan beberapa barisan bilangan berikut ini: [a] 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ….
[c] 11, 14, 17, 20, 23, …. [d] 58, 54, 50, 46, 42, 38, ….
Apabila kita perhatikan, pada barisan-barisan tersebut, selisih dua buah bilangan pada setiap barisan adalah tetap [coba Anda identifikasi hal ini!]. Barisan yang memiliki karakteristik seperti ini dinamakan barisan aritmatika. Selisih antara
dua suku pada barisan aritmatika dinamakanbeda [�].
Sebuah barisan �1, �2, �3, … , ��−1, �� disebut barisan aritmatika jika untuk setiap n berlaku Un – Un-1 = b, � adalah sebuah konstanta. Sebuah barisan dinamakan barisan aritmatika jika dan hanya jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap.
Misalkan kita memiliki suku pertama dari sebuah barisan aritmatika adalah � dan bedanya adalah �, maka akan diperoleh:
�1= �
�2− �1= � ↔ �2= �1+ � = � + �
�3− �2= � ↔ �3= �2+ � = [� + �] + � = � + 2�,
dan seterusnya, sehingga suku-suku barisan aritmatika dapat disusun sebagai berikut: �, � + �, � + 2�, � + 3�, ….
�
1�
2�
3�
4… �
�� � + � � + 2� � + 3� … � + [� − 1]�
Rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmatika adalah:�
�= � + [� − 1]�,
Keterangan:
�
�= suku ke-�
� = suku pertama
� = beda
Perhatikan penjumlahan bilangan-bilangan berikut ini: 1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100 = ….
Berapakah hasil penjumlahan bilangan-bilangan tersebut?
Kita dapat melakukannya seperti salah satu matematikawan Carl Frederich Gauss [1777 – 1855], dengan cara berikut ini:
1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100 = �100 100 + 99 + 98 + … + 4 + 3 + 2 + 1 = �100 + 101 + 101+ 101 + … + 101 + 101 = 2 × �100
100 × 101 = 2 × �100
�
100=
100 ×1012= 5050
Bentuk 1 + 2 + 3 + 4 + … + 98 + 99 + 100 adalah suatu contoh deret aritmatika. Deret aritmatika adalah jumlah suku-suku barisan aritmatika, dapat ditulis dengan: Misalkan ��adalah jumlah n suku pertama pada suatu barisan aritmatika.
�
�= �
1+ �
2+ ⋯ + �
�−1+ �
�, atau
�� = � + [� + �] + [� + 2�] + ⋯ + [� + [� − 1]�].Menemukan rumus umum jumlah suku ke-n adalah sebagai berikut: �� = � + [� + �] + [� + 2�] + ⋯ + [� + [� − 1]]� �� = [� + [� − 1]�] + ⋯ + [� + 2�] +[�+�]+� + 2��=[2�+[�−1]�]+⋯+[2�+[�− 1]�] 2�� = �[2� + [� − 1]�] �� =12�[2� + [� − 1]�] �� = 12�[� + ��] Contoh:
Tentukanlah jumlah semua bilangan asli antara 200 dan 299 yang habis dibagi 6! Penyelesaian:
Sebelum menentukan jumlah semua bilangan asli antara 200 dan 300 yang habis dibagi 6, maka kita akan menentukan terlebih dahulu bilangan asli antara 200 dan 300 yang habis dibagi 6.
Bilangan asli antara 200 dan 300 yang habis dibagi 6 adalah: 204, 210, 216, …, 294.
Berdasarkan barisan tersebut: � = 204
�
�= 294
Sebelum menentukan jumlah, maka tentukan terlebih dahulu banyak suku pada barisan tersebut atau kita akan mencari �.
�� = � + [� − 1]� 294 = 204 + [� − 1]6 90 = [� − 1]6 [� − 1] = 15 � = 16
Jumlah semua bilangan asli antara 200 dan 299 yang habis dibagi 6,
�
�=
12�[� + �
�]
�
16=12 × 16 [204 + 294] �16= 8 × 498�
16= 3.984.
Jadi jumlah semua bilangan asli antara 200 dan 299 yang habis dibagi 6 adalah 3.984.
6]
Barisan dan Deret GeometriPerhatikan beberapa pola barisan berikut ini: [a] 1, 2, 4, 8, 16, ….
[b] 64, -16, 4, -1, …. [c] 5, -15, 45, -225, ….
Jika kita amati, barisan bilangan tersebut tidak memiliki selisih yang tetap seperti pada barisan aritmatika. Barisan-barisan tersebut memiliki hasil bagi tiap suku dengan suku sebelumnya yang tetap [coba Anda buktikan!]. Barisan yang memiliki hasil bagi tiap suku dengan suku sebelumnya selalu tetap maka dinamakan barisan geometri. Konstanta hasil bagi tiap suku dengan suku sebelumnya yang selalu tetap dinamakan rasio [�].
Suatu barisan dinamakan barisan geometri jika dan hanya jika hasil bagi setiap suku dengan suku sebelumnya selalu tetap.
Misalkan kita memiliki sebuah barisan geometri dengan: �1 = �, rasio = �, maka akan kita dapatkan:
�2 �1= � ↔ �2= �1 × � = � × � = �� �3 �2= � ↔ �3= �2 × � = �� × � = ��2 �4 �2= � ↔ �4= �3 × � = ��2 × � = ��3
dan seterusnya, sehingga pola umum dari barisan geometri adalah: �, ��, ��2 , ��3 , … , ���−1
Dari pola tersebut maka �� = � × ��−1.
Setelah mengetahui rumus suku ke-� pada barisan geometri, sekarang bagaimana dengan penjumlahan suku-suku pada barisan geometri atau dapat ditulis sebagai berikut:
� + �� + ��2+ ��3+ … + ��n-1= ….
Misalkan �� adalah jumlah n suku pertama pada suatu barisan geometri. �� = � + �� + ��2+ ��3+ … + ��n-1 � × �� = �� + ��2+ ��3+ … + ���n-1+ ��� -[1 − �]�� = � − ��� �� = �−��1−�� �� = �[1 −�1−��], � ≠ 1 �� = � − ��1 − � , �� 1 Contoh:
Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dengan ukuran panjangnya membentuk deret geometri. Jika panjang bagian tali yang terpendek adalah 3 cm dan panjang bagian tali terpanjang adalah 192 cm, maka panjang tali seluruhnya adalah ….
Penyelesaian:
� = 3, �� = 192, � = 7.
Dari permasalahan tersebut yang belum diketahui adalah rasio, maka sebelum kita menghitung jumlah panjang tali seluruhnya, kita akan menentukan ratio terlebih dahulu.
192 = 3 × �7−1 �6= 64 � = 2, karena � > 1, maka: ��= �[�� − 1� − 1] ��= 3[22 − 17 − 1] ��= 3[128 − 1]1 = 381
Jadi, panjang tali seluruhnya adalah 381 cm.
3. Materi 3 Persamaan Linear, Pertidaksamaan Linear, dan Grafik Fungsi