Seis casais estão Numa festa uma pessoa e escolhida ao acaso qual e a probabilidade de ser mulher
Numa sala existem seis casais; entre estas 12 pessoas, duas são selecionadas ao acaso. a) Qual a probabilidade de selecionarmos um homem e sua esposa? solução 12 pessoas (6 casais) Espaço amostral; total de maneiras de se escolherem 2 entre 12 pessoas n(E) = C 12,2 = 12!/ 2!10! = 66 Evento A; total de casais (marido e esposa) n(A) = 6 P(A) = 6/66 P(A) = 1/11 b) Qual a probabilidade de selecionarmos dois homens? solução P(HH) = 6/12 . 5/11 P(HH) = 5/22
Sabe-se que que 132 alunos acertaram o primeiro,´ 86 erraram o segundo, 120 acertaram os dois e 54 acertaram apenas um problema. Qual a probabilidade de que um aluno, escolhido ao acaso a) nao tenha acertado nenhum problema?~ b) tenha acertado apenas o segundo problema? 6) (Problema Classico dos aniversarios)´ ´ Determinar a probabilidade de n pessoas (n 365) escolhidas ao acaso completarem aniversario em n dias diferentes.´ 7) Se P(A) = 1/3 , P(B) = 1/4 , A e B podem ser disjuntos? _ (Sugestao: P(A) = P(A B) + P(A B) e (A B) B)~ _ _ _ 8) Dois homens h e h , e tres mulheres m , m e m , estao num torneio de xadrez.^ ~ 8 Os do mesmo sexo tem igual probabilidade de vencer, mas cada homem tem duas vezes^ mais probabilidades de ganhar do que qualquer mulher. i) Encontre a probabilidade de que uma mulher venca o torneio.¸ ii) Se h e m , sao casados, encontre a probabilidade de que um deles venca.~ ¸ 9) Seis casais estao numa sala.~ i) Se 2 pessoas sao escolhidas aleatoriamente, encontre a probabilidade p de que a)~ sejam casadas, b) uma seja do sexo masculino e outra do feminino. ii) Se 4 pessoas sao escolhidas aleatoriamente, encontre a probabilidade p de que a)~ 2 casais sejam escolhidos, b) nenhum casal seja escolhido, c) exatamente um casal seja escolhido. iii) Se as 12 pessoas estao divididas em 6 pares, encontre a probabilidade p de que~ a) cada par seja um casal, b) cada par contenha uma pessoa do sexo masculino e outra do feminino. 10) Em um congresso cientifico existem 15 matematicos e 12 estatisticos. Qual a´ ´´ probabilidade de se formar uma comissao com 5 membros, na qual figurem 3 matematicos e~ ´ 2 estatisticos?´ 11) A seguinte afirmacao trata da probabilidade de que exatamente um dos eventos A ou B¸~ ocorra. Prove que: P (A B) (A B) = P(A) + P(B) -2.P(A B) _ _ 12) a) Prove que, para dois eventos quaisquer A e B, P(A B) P(A) + P(B) b) Generalize a) para n eventos quaisquer A , A , . . . , A : n P(A A . . . A ) P(A ) + P(A ) + . . . + P(A ) Desigualdade de Boole n n (Sugestao: Usar Inducao Finita)~ ~¸ 13) Uma secretaria ineficiente coloca ao acaso n cartas em n envelopes. Determine a´ probabilidade de ao menos uma carta chegar ao seu destino. 14) Em uma cidade onde se publicam tres jornais A, B e C, constatou-se que entre 1000^ familias, assinam:´ A: 470 ; B: 420 ; C: 315 ; A e B: 110 ; A e C: 220 ; B e C: 140 e 75 assinam os tres. Escolhendo-se ao acaso uma familia, qual a probabilidade de que ela:^ ´ a) nao assine nenhum dos tres jornais?~ ^ b) assine apenas um dos tres jornais?^ c) assine pelo menos dois jornais? 9 Capítulo2 Probabilidade Condicional e Independência 2.1 Definicao¸~ A probabilidade de um evento A geralmente se modifica quando recebemos a informacao adicional da ocorrencia ou nao de um outro evento B relacionado com A. Esta¸~ ~^ probabilidade e definida como probabilidade condicional e e representada por P(A/B).´ ´ Sempre que calculamos P(A), dado B, estaremos essencialmente calculando P(A) em relacao ao espaco amostral reduzido a /B em lugar de faze-lo em relacao ao espaco¸ ¸ ¸ ¸~ ~^ amostral . Definic¸a~o: A Probabilidade Condicional de um evento A dado a ocorrencia de um evento B^ e definida por,´ P(A/B) = onde P(B) 0. P(A B)P(B) Exemplo: Consideremos 250 alunos que cursam o 1o. ano de uma faculdade. Destes alunos 100 sao homens (H) e 150 sao mulheres (M), 110 cursam fisica (F) e 140 cursam quimica~ ~ ´ ´ (Q). A distribuicao dos alunos e a seguinte:¸~ ´ ------------------------------------------------ F Q Total ----------------------------------------------- H 40 60 100 M 70 80 150 ----------------------------------------------- Total 110 140 250 Um aluno e sorteado ao acaso. Qual a probabilidade de que esteja cursando´ quimica, dado que e mulher?´ ´ Sol: Sejam os eventos Q: o aluno cursa quimica e M: o aluno e mulher´ ´ Desejamos saber P(Q/M) = ? Pelo quadro vemos que esta probabilidade e P(Q/M) = .´ 80150 Pela definicao, P(Q/M) = ¸~ P(Q M)P(M) Dai,´ P(Q/M) = = . 80 250 150 250 80 150 10 NOTA: Note que a probabilidade condicional definida acima satisfaz os axiomas da definicao de probabilidade, i.e,¸~ ´ i') 0 P(B/A) 1 ii') P( /A) = 1 iii') P( E /A) = P(E /A) se E , E , . . . forem eventos mutuamente exclusivos. i=1 i i i=1 2.2 Propriedades 1- P( /A) = 0 2- P(B/A) = 1 - P(B/A) _ 3- i) P(E E /A) = P(E /A) + P(E /A) - P(E E /A) ii) se E E = entao P(E E /A) = P(E /A) + P(E /A)~ 4- Tambem podemos generalizar a propriedade 3) de probabilidade condicional para n´ eventos E , E , . . ., E . n 2.3 Teoremas LEI DA MULTIPLICAC¸A~O DE PROBABILIDADE: P(A B) = P(B).P(A/B) Tambem, de P(B/A) = entao P(A B) = P(A).P(B/A)´ ~P(A B)P(A) Exemplo: Em um lote de 12 pecas, 4 sao defeituosas. Duas pecas sao retiradas uma apos a¸ ¸~ ~ ´ outra sem reposicao. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?¸~ Sol: Sejam os eventos A: a 1a. peca e boa e B: a 2a. peca e boa¸ ¸´ ´ P(A B) = P(A).P(B/A) = . = 8 7 1412 11 33 NOTA: Com 3 eventos A, B e C temos, i) P(A/B C) = P(A B C)P(B C) ii) P(A B C)=P(A).P(B/A).P(C/A B) 11 GENERALIZAC¸A~O DA LEI DE MULTIPLICAC¸A~O DE PROBABILIDADE: P( A ) = P(A ).P(A /A ).P(A /A A ) . . . P(A /A A . . . A ) n i=1 i n n-1 TEOREMA DA PROBABILIDADE TOTAL: "Sejam A , A , . . ., A eventos que formam uma particao do espaco amostral. Seja¸~ n B um evento desse espaco. Entao¸ ~ P(B) = P(A ).P(B/A ) n i=1 i i prova: Os eventos (B A ) e (B A ) , i j , i=1, . . , n e j=1, . . . , n sao mutuamente~ i j exclusivos, pois (B A ) (B A ) = B (A A ) = B = i j i j Alem disso, B = (B A ) (B A ) . . . (B A ) ´ n Dai,´ P(B) = P (B A ) (B A ) . . . (B A ) = P(B A ) = n i n n i=1 i=1 P(A ).P(B/A )i i Exemplo: Uma urna contem 3 bolas brancas e 2 amarelas. Uma segunda urna contem 4´ ´ bolas brancas e 2 amarelas. Escolhe-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se, tambem ao´ acaso uma bola. Qual a probabilidade que seja branca? Sol: Sejam os eventos: I = {a bola provem da urna I}´ II = {a bola provem da urna II}´ que formam uma particao do espaco amostral.¸ ¸~ Consideremos tambem o evento B = {a bola selecionada e branca}´ ´ 12 Queremos P(B) = ? Sabemos que P(I) = P(B/I) = 1 3 2 5 P(II) = P(B/II) = 1 4 2 6 Pelo Teorema da Probabilidade Total, P(B) = P(I).P(B/I) + P(II).P(B/II) Logo, P(B) = . + . = 1 3 1 2 19 2 5 2 3 30 TEOREMA DE BAYES: "Sejam A , A , . . ., A eventos que formam uma particao de .¸~ n Seja B um evento . Suponhamos conhecidas P(A ) e P(B/A ), i=1, 2, . . .,n. i i Entao~ P(A /B) = , j=1, . . .,nj P(A ).P(B/A ) P(A ).P(B/A ) j j n i=1 i i prova: Por definicao P(A /B) = j=1, . . . , n¸~ j P(A B) P(B) j Mas, P(A B) = P(B/A ).P(A )j j j Pelo Teorema da Probabilidade Total: P(B) = P(A ).P(B/A ) n i=1 i i Dai,´ P(A /B) = , j=1, . . .,nj P(A ).P(B/A ) P(A ).P(B/A ) j j n i=1 i i 13 Exemplo: Uma urna A contem 3 moedas de ouro e 2 de pratas. Uma segunda urna B´ contem 4 moedas de ouro e 1 de prata. Seleciona-se, ao acaso, uma urna e dela retira-se´ uma moeda. Dado que a moeda e de ouro, qual a probabilidade que a urna A tenha sido a´ escolhida? Sol: Sejam os eventos A = {a moeda provem da urna A}´ B = {a moeda provem da urna B}´ que formam uma particao do espaco amostral.¸ ¸~ Consideremos tambem, o evento O = {a moeda selecionada |