Sendo a(0 0) b(3 0) e c(3 4) vértices de um triângulo classifique-o quanto à medida de seus lados

A classificação de triângulos é um ponto muito relevante no estudo dessa forma geométrica, que possui três vértices, três lados e três ângulos internos e externos. A fim de facilitar o estudo acerca desse polígono, vamos classificá-lo em relação ao tamanho dos lados [equilátero, isósceles e escaleno] e às medidas de seus ângulos internos [retângulo, acutângulo e obtusângulo]. Ao classificá-lo, vamos estudar também algumas propriedades que facilitam as resoluções de problemas.

Os triângulos são polígonos de três vértices que podem ter diferentes classificações.

Classificação dos triângulos quanto aos lados

Podemos classificar um triângulo de acordo com a medida de seus lados. Temos três possíveis combinações em relação ao tamanho dos lados: ou todos os lados são iguais, ou dois lados são iguais e um diferente, ou todos os lados são diferentes.

O triângulo equilátero possui todos os lados congruentes, isto é, todos os lados do triângulo possuem a mesma medida.

O triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes, ou seja, possui dois lados iguais e um diferente.

O triângulo escaleno possui todos os seus lados diferentes, ou seja, cada lado tem uma medida diferente.

Classificação dos triângulos quanto aos ângulos

O triângulo acutângulo possui todos os seus ângulos internos menores que 90°, ou seja, a medida de cada ângulo interno é um ângulo agudo.

O triângulo retângulo apresenta, em um de seus ângulos internos, um ângulo de 90°, ou seja, um ângulo reto. Além disso, é válido destacar que o lado oposto ao ângulo reto é chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos. Nesse triângulo, é válido o teorema de Pitágoras.

O triângulo obtusângulo possui um dos seus ângulos internos com medida maior que 90° e menor que 180°, ou seja, um ângulo obtuso.

Leia também: Área do triângulo: fórmula e exemplos

Propriedade dos triângulos

• Propriedade 1: Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°.

Exemplo

Vamos determinar a medida dos ângulos de um triângulo retângulo com dois ângulos agudos iguais.

Como temos um triângulo retângulo, logo um de seus ângulos é igual a 90°. Como os demais ângulos agudos são iguais, podemos chamá-los de x. Sabemos também que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, assim:

90° + x + x = 180°

2x = 180° – 90°

2x = 90°

x = 45°

• Propriedade 2: Os ângulos internos de um triângulo equilátero são todos iguais a 60°.

Exemplo

Suponha que os valores dos ângulos internos sejam desconhecidos. Assim, chamaremos todos de x, uma vez que o triângulo é equilátero. Como a soma dos ângulos internos é sempre igual a 180°, temos:

x + x + x = 180°

3x = 180°

x = 60°

• Propriedade 3: A altura [segmento de reta perpendicular a um dos lados do triângulo] a mediana [que divide o lado ao meio] e a bissetriz [que divide um ângulo interno ao meio] coincidem-se no triângulo equilátero.
• Propriedade 4: Os ângulos da base de um triângulo isósceles são congruentes.

Veja também: Semelhança de triângulos

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Determine os valores de x e y sabendo que o triângulo é equilátero.

Solução

Como o triângulo é equilátero, todos os seus lados são iguais, assim:

6x – 12 = 30

6x = 30 – 12

6x = 18

x = 3

Por outro lado, temos também que:

12y – 18 = 30

12y = 30 +18

12y = 48

y = 4

Portanto, x = 3 e y = 18.

O triângulo é uma das figuras geométricas mais simples que existem na Geometria. Apesar disso, foi alvo de inúmeros estudos no decorrer do desenvolvimento da Matemática ao redor do mundo. O estudo mais conhecido, talvez, é o Teorema de Pitágoras.

Definição de triângulo

Formalmente falando, um triângulo é um polígono convexo. É a região formada por três semirretas concorrentes entre si, duas a duas a duas, em três pontos diferentes, formando seus três lados.

Outra definição sugere que, dados três pontos, A, B e C, não colineares [não alinhados], a reunião dos segmentos , , e chama-se triângulo ABC.

Elementos de um triângulo

Os elementos principais de um triângulo são: vértices, lado, altura e ângulo.

• Vértices: são os pontos de encontro das retas que formam o triângulo. Na figura, os vértices são os pontos A, B e C.
• Lados: são os segmentos que ligam um ponto a outro. Na figura, os lados são os segmentos a, b e c.
• Ângulo: Cada segmento forma uma “abertura” com outro, essa abertura é chamamos de ângulo interno. Assim, todo triângulo possui três ângulos internos, como visto na figura, representados por , e .
• Altura: A altura de um triângulo é o segmento que liga um ponto a seu segmento oposto [base], formando com ele um ângulo de 90°. Dizemos que a altura de um triângulo é sempre perpendicular à sua base.

Altura h relativa ao lado BC.

Em alguns casos, a altura será da seguinte forma. Veja que, nesse caso, a altura h é relativa ao lado BC, que foi tida como base. Assim, devemos “prolongar” o lado BC e traçar uma perpendicular, partindo do vértice A.

Caso a base escolhida seja o lado AC, teremos como altura, o segmento h, indicado na figura abaixo.

Classificação dos triângulos

Podemos classificar os triângulos de duas formas: quanto aos lados e quanto aos ângulos internos.

Classificação quanto aos lados

Quando consideramos os seus lados, um triângulo pode ser:

Escaleno

Um triângulo é escaleno quando nenhum de seus lados é congruente a nenhum outro, ou seja, todos os seus três lados são diferentes.

Isósceles

Um triângulo isósceles é aquele que apresenta sempre dois lados congruentes, ou seja, dois lados são sempre iguais e um é diferente.

O lado diferente é usualmente chamado de base e o ângulo oposto a essa base é chamado de ângulo do vértice. Os ângulos opostos aos lados congruentes, também são congruentes, ou seja, os ângulos da base são sempre iguais.

No triângulo isósceles ABC acima, o lado BC é a base, A é o vértice, e o ângulo β é o ângulo do vértice.

No triângulo isósceles, o segmento da mediana, altura, mediatriz e bissetriz, serão sempre o mesmo, ou seja, coincidem. Mas apenas em relação à base.

Equilátero

Um triângulo equilátero é aquele cujo todos os seus lados são congruentes, ou seja, tem sempre a mesma medida [são iguais].

Sempre que um triângulo for equilátero, os três ângulos também serão congruentes, ou seja, terão a mesma medida. Essa medida é igual a 60°.

No triângulo equiláteros, o segmento que traça a mediana, a altura, a mediatriz e a bissetriz, será sempre o mesmo, ou seja, coincidem, independente do lado tomado como base.

Lembrando que a mediana de um triângulo é o segmento que parte de um vértice e divide o lado oposto a ele em duas partes iguais. A bissetriz é o segmento que parte de um vértice e divide seu ângulo em dois ângulos congruentes. A mediatriz é o segmento perpendicular a um dos lados, passando pelo seu ponto médio. A altura é o segmento que parte de um vértice e forma um ângulo de 90° com o lado oposto a esse vértice.

Classificação quanto aos ângulos

Quanto aos ângulos, um triângulo pode ser:

Acutângulo

Um triângulo será acutângulo se, e somente se, seus três ângulos internos forem agudos, ou seja, menores que 90°.

O triângulo acima é acutângulo, pois todos os seus ângulos são menores que 90°.

Obtusângulo

Um triângulo será obtusângulo se, e somente se, um de seus ângulos internos for obtuso, ou seja, maior que 90°.

O triângulo acima é obtusângulo, pois possui um ângulo maior que 90°.

Retângulo

Um triângulo será retângulo se, e somente se, um de seus ângulos internos for reto, ou seja, exatamente igual a 90°.

O triângulo acima é retângulo, pois possui um ângulo igual a 90°.

Nos triângulos retângulos, seus lados recebem nomes especiais. O lado oposto ao ângulo de 90° é chamado de hipotenusa e os seus outros dois lados são chamados de catetos.

Observações:

Uma classificação não exclui a outra. Um triângulo pode ser, por exemplo, um triângulo equilátero, isósceles ou escaleno também pode ser acutângulo.

Exercícios

1. Se o triângulo ABC é isósceles de base BC, determine x.

Se trata de um triângulo isósceles. Assim, os lados AB e AC são congruentes, ou seja, suas medidas são iguais:

2. O triângulo ABC é equilátero. Determine x e y.

Se trata de um triângulo equilátero. Assim, os lados AB e AC e BC são congruentes, ou seja, suas medidas são iguais, assim, AB = AC = BC.

Fazemos AB = AC para encontrar y:

Fazemos BC = AC para encontrar x:

3. Classifique como verdadeiro ou falso

1. Todo triângulo isósceles é equilátero.
2. Todo triângulo equilátero é isósceles.
3. Um triângulo escaleno pode ser isósceles.
4. Todo triângulo isósceles é triângulo acutângulo.
5. Todo triângulo retângulo é triângulo escaleno.
6. Existe triângulo retângulo e isósceles.
7. Existe triângulo isósceles obtusângulo.
8. Todo triângulo acutângulo ou é isósceles ou é equilátero.

Respostas:

1. FALSO: Nenhum triângulo isósceles é equilátero pois, por definição, um triângulo equilátero possui seus três lados congruentes, enquanto o isósceles possui apenas dois.
2. VERDADEIRO: Se considerarmos dois lados do triângulo equilátero e o terceiro como uma base, este triângulo também será isósceles.
3. FALSO: um triângulo escaleno, por definição possui todos os lados diferentes, logo dois lados nunca poderão ser iguais.
4. FALSO: basta considerar um triângulo isósceles com ângulos da base medindo, cada um, 110°, por exemplo. Este triângulo será isósceles, mas como possui ângulos maiores que 90°, não é acutângulo.
5. FALSO: basta considerar um triângulo onde os dois catetos têm a mesma medida. Quando isso acontece, teremos dois ângulos iguais medindo 45°, cada, o que torna esse triângulo escaleno.
6. VERDADEIRO: considere o exemplo do item e.
7. VERDADEIRO: considere o exemplo do item d.
8. FALSO: um triângulo acutângulo possui os três ângulos agudos. Haverá casos em que os três lados serão todos diferentes, o que seria um triângulo escaleno. Assim, um triângulo acutângulo pode ser ou equilátero ou isósceles, mas também pode ser escaleno.

Referências:

DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Vols: 1 a 3. São Paulo: Ática, 2004.

DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau. Fundamentos de Matemática Elementar. Geometria Plana. Vol: 9. São Paulo: Atual, 1995.

RIBEIRO, Paulo Vinícius. Matemática: Triângulos e pontos notáveis. Vol. 1. São Paulo: Bernoulli.