Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2+y2+2x-6y-10=0 yang tegak lurus garis x+2y+1=0

Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
x2 + y2 = r2 Pusat (a, b) dan jari-jari r :

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

Bentuk umum persamaan lingkaran :

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

(a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\)

r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C Pusat (0, 0) dan jari-jari r :
x1 x + y1 y = r2 Pusat (a, b) dan jari-jari r :

(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2

Pusat (0, 0) dan jari-jari r : y = mx ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\) Pusat (a, b) dan jari-jari r : y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\) y = ax + b → m = a ax + by + c = 0 → m = \(\mathrm{-\frac{a}{b}}\)

Garis p sejajar garis q :

mp = mq

Garis p tegak lurus garis q :

mp . mq = −1 Gradien garis yang membentuk sudut θ terhadap sumbu-x positif : m = tan θ d = \(\mathrm{\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}\) d = \(\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\)

UN 2016

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 2x + 6y − 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x − y + 4 = 0 adalah ... A.  2x − y = 14 B.  2x − y = 10 C.  2x − y = 5 D.  2x − y = −5 E.  2x − y = −6

Pembahasan :

Misalkan : m = gradien garis singgung

mg = gradien garis 2x − y + 4 = 0

2x − y + 4 = 0 → mg = 2

Karena garis singgung sejajar garis g, maka

m = mg = 2

m = 2

x2 + y2 − 2x + 6y − 10 = 0

A = −2 ; B = 6 ; C = −10 (a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) (a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{(-2)}{2},-\frac{6}{2} \right )}\)

(a, b) = (1, −3)

r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C

r2 = \(\mathrm{\frac{(-2)^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{6^{2}}{4}}\)  − (−10)
r2 = 20
r = \(\sqrt{20}\) Persamaan garis singgung lingkaran : y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\) y + 3 = 2(x − 1) ± \(\sqrt{20}\)\(\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\) y + 3 = 2x − 2 ± 10 y = 2x − 5 ± 10

y = 2x − 5 + 10 → 2x − y = −5

y = 2x − 5 − 10 → 2x − y = 15

Jawaban : D

UN 2015

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x − 6y − 10 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y + 1 = 0 adalah ... A.  y = 2x − 14 B.  y = 2x − 11 C.  y = 2x + 5 D.  y = 2x + 9 E.  y = 2x + 15

Pembahasan :

Misalkan : m = gradien garis singgung

mg = gradien garis x + 2y + 1 = 0

x + 2y + 1 = 0 → mg = \(-\frac{1}{2}\)

Karena garis singgung tegak lurus garis g, maka

m . mg = −1

m . \(-\frac{1}{2}\) = −1

m = 2

x2 + y2 + 2x − 6y − 10 = 0

A = 2 ; B = −6 ; C = −10 (a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) (a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{2}{2},-\frac{(-6)}{2} \right )}\)

(a, b) = (−1, 3)

r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C

r2 = \(\mathrm{\frac{2^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{(-6)^{2}}{4}}\)  − (−10)
r2 = 20
r = \(\sqrt{20}\) Persamaan garis singgung lingkaran : y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\) y − 3 = 2(x + 1) ± \(\sqrt{20}\)\(\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\) y − 3 = 2x + 2 ± 10 y = 2x + 5 ± 10

y = 2x + 5 + 10 → y = 2x + 15

y = 2x + 5 − 10 → y = 2x − 5

Jawaban : E

UN 2015

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (−1, 2) dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 adalah ...

A.  x2 + y2 + 2x + 4y − 27 = 0

B.  x2 + y2 + 2x − 4y − 27 = 0
C.  x2 + y2 + 2x − 4y − 32 = 0
D.  x2 + y2 − 4x − 2y − 32 = 0
E.  x2 + y2 − 4x + 2y − 7 = 0

Pembahasan :

Jarak titik (x1, x2) ke garis \(\mathrm{ax+by+c=0}\) adalah d = \(\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\) Jari-jari adalah jarak dari titik pusat (−1, 2) ke garis \(\mathrm{x+y+7=0}\). r = \(\mathrm{\left | \frac{1(-1)+1(2)+7}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} \right |}\) = 4√2 Jadi, persamaan lingkaran :

(x + 1)2 + (y − 2)2 = (4√2)2

x2 + 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 32
x2 + y2 + 2x − 4y − 27 = 0

Jawaban : B

UN 2013

Sebuah lingkaran memiliki titik pusat (2, 3) dan berdiameter 8 cm. Persamaan lingkaran tersebut adalah ...

A.  x2 + y2 − 4x − 6y − 3 = 0

B.  x2 + y2 + 4x − 6y − 3 = 0
C.  x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0
D.  x2 + y2 + 4x + 6y + 3 = 0
A.  x2 + y2 + 4x − 6y + 3 = 0

Pembahasan :

d = 8 → r = 4 Persamaan lingkaran dengan pusat (2, 3) dan jari-jari 4 adalah

(x − 2)2 + (y − 3)2 = 42

x2 − 4x + 4 + y2 − 6y + 9 = 16
x2 + y2 − 4x − 6y − 3 = 0

Jawaban : A

UN 2012

Lingkaran L ≡ (x + 1)2 + (y − 3)2  = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ... A.  x = 2 dan x = −4 B.  x = 2 dan x = −2 C.  x = −2 dan x = 4 D.  x = −2 dan x = −4 E.  x = 8 dan x = −10

Pembahasan :

(x + 1)2 + (y − 3)2  = 9
(a, b) = (−1, 3)
r2 = 9 Titik potong lingkaran dengan garis y = 3 adalah

(x + 1)2 + (3 − 3)2  = 9

(x + 1)2 = 9 x + 1 = ±3 x + 1 = 3 atau x + 1 = −3 x = 2 atau x = −4

diperoleh titik potong (−4, 3) dan (2, 3)

PGS di titik (2, 3)

(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2

(2 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(x − 3)  = 9 3(x + 1) = 9 x + 1 = 3

x = 2

PGS di titik (−4, 3)

(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2

(−4 + 1)(x + 1) + (3 − 3)(x − 3)  = 9 −3(x + 1) = 9 x + 1 = −3

x = −4

Jawaban : A

UN 2008

Persamaan garis singgung melalui titik A(−2, −1) pada lingkaran x2 + y2 + 12x − 6y + 13 = 0 adalah ... A.  −2x − y − 5 = 0 B.  x − y + 1 = 0 C.  x + 2y + 4 = 0 D.  3x − 2y + 4 = 0 E.  2x − y + 3 = 0

Pembahasan :

Persamaan lingkaran :

x2 + y2 + 12x − 6y + 13 = 0

A = 12 ; B = −6 ; C = 13 (a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right )}\) (a, b) = \(\mathrm{\left ( -\frac{12}{2},-\frac{(-6)}{2} \right )}\)

(a, b) = (−6, 3)

r2 = \(\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\)  − C

r2 = \(\mathrm{\frac{12^{2}}{4}}\) + \(\mathrm{\frac{(-6)^{2}}{4}}\)  − 13
r2 = 32

Melalui titik (x1, y1) = (−2, −1)

Persamaan garis singgung :

(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2

(−2 + 6)(x + 6) + (−1 − 3)(y − 3) = 32 4x + 24 − 4y + 12 = 32 4x − 4y + 4 = 0 x − y + 1 = 0

Jawaban : B

UN 2007

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran (x − 2)2 + (y + 1)2  = 13 di titik yang berabsis −1 adalah ... A.  3x − 2y − 3 = 0 B.  3x − 2y − 5 = 0 C.  3x + 2y − 9 = 0 D.  3x + 2y + 9 = 0 E.  3x + 2y + 5 = 0

Pembahasan :

(x − 2)2 + (y + 1)2  = 13
(a, b) = (2, −1)
 r2= 13 Untuk absis −1, maka :

(−1 − 2)2 + (y + 1)2  = 13

9 + (y + 1)2  = 13
(y + 1)2  = 4 y + 1 = ±2 y + 1 = 2 atau y + 1 = −2 y = 1 atau y = −3 diperoleh titik singgung :

(−1, 1) dan (−1, −3)

Persamaan garis singgung di titik (−1, 1) :

(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2

(−1 − 2)(x − 2) + (1 + 1)(y + 1) = 13 −3x + 6 + 2y + 2 = 13 −3x + 2y − 5 = 0

3x − 2y + 5 = 0

Persamaan garis singgung di titik (−1, −3) :

(x1 − a)(x − a) + (y1 − b)(y − b) = r2

(−1 − 2)(x − 2) + (−3 + 1)(y + 1) = 13 −3x + 6 − 2y − 2 = 13 −3x − 2y − 9 = 0

3x + 2y + 9 = 0

Jawaban : D

UN 2006 Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x − 4y − 4 = 0, serta menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y negatif adalah ...

A.  x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0

B.  x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 0
C.  x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0
D.  x2 + y2 − 4x − 4y + 4 = 0
E.  x2 + y2 − 2x − 2y + 4 = 0

Pembahasan :

Misalkan pusat lingkaran adalah (a, b). (a, b) terletak pada garis 2x − 4y − 4 = 0, akibatnya 2a − 4b − 4 = 0   ..................(1) Lingkaran menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif, akibatnya a = b dengan a, b < 0. Karena a = b maka persamaan (1) menjadi 2a − 4a − 4 = 0 -2a = 4 a = -2 Diperoleh pusat lingkaran : (a, b) = (−2, −2) dengan jari-jari : r = |a| = |b| = 2 Persamaan lingkaran :

(x + 2)2 + (y + 2)2  = 22

x2 + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4
x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0

Jawaban : A

UN 2003

Salah satu garis singgung yang bersudut 120° terhadap sumbu-x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik (7, 6) dan (1, −2) adalah ... A.  y = −x√ 3 + 4√ 3 + 12 B.  y = −x√ 3 − 4√ 3 + 8 C.  y = −x√ 3 + 4√ 3 − 4 D.  y = −x√ 3 − 4√ 3 − 8 E.  y = −x√ 3 + 4√ 3 + 22

Pembahasan :

Diameter lingkaran adalah jarak dari titik (7, 6) ke titik (1, −2), yaitu : d = \(\sqrt{(7-1)^{2}+(6-(-2))^{2}}\) = 10 r = \(\frac{1}{2}\)d = 5

r = 5

Pusat lingkaran adalah titik tengah diameter, yaitu : (a, b) = \(\left ( \frac{7+1}{2},\,\frac{6+(-2)}{2} \right )\) = (4, 2)

(a, b) = (4, 2)

Garis singgung membentuk sudut 120° terhadap sumbu-x positif, sehingga : m = tan 120°

m = −√3

Persamaan garis singgung lingkaran : y − b = m(x − a) ± r\(\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\) y − 2 = −√3(x − 4) ± 5\(\mathrm{\sqrt{1+(-\sqrt{3})^{2}}}\) y − 2 = −√3x + 4√3 ± 10 y = −√3x + 4√3 ± 12

y = −√3x + 4√3 + 12

y = −√3x + 4√3 − 12

Jawaban : A