Yang merupakan kodomain daerah kawan adalah

c. Himpunan pasangan berurutan  Banyaknya fungsi yang mungkin No Jumlah anggota A Jumlah anggota B Banyak pemetaan dari A ke B Banyak pemetaan dari B ke A 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2 2 4 4 4 2 3 9 8 5 3 2 8 9 6 3 3 27 27 7 3 4 81 256 8 4 3 256 81 9 ... ... ... ... 10 x y � � 11 � � �  Istilah dalam fungsi Suatu relasi yang merupakan fungsi memiliki 3 daerah, yaitu:

1. Daerah asal Domain 2. Daerah kawan Kodomain

3. Daerah hasil Range Contoh:

Suatu fungsi “kuadrat dari” memetakan himpunan A ke himpunan B. � = 4,9,16,25 dan = 2,3,4,5,6 akan ditentukan daerah domain asal, daerah kodomain kawan, dan daerah range hasil. Setelah dinyatakan dengan diagram panah, diperoleh bahwa: a. Daerah domain asal � = 4,9,16,25 b. Daerah kodomain kawan = 2,3,4,5,6 c. Daerah range hasil � � = 2,3,4,5  Sifat fungsi Adapaun sifat khusus dari fungsi yaitu, 1. Fungsi Injektif Fungsi Injektif dari A ke B yaitu suatu fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan A ke anggota himpunan B dengan tidak lebih dari 1 dan � ≠ Contoh: 2. Fungsi Surjektif Fungsi Surjektif dari A ke B yaitu suatu fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan A ke anggota himpunan B dengan � ≠ dan anggota B boleh mempunyai pasangan lebih dari 1 Contoh: 3. Fungsi Bijektif Fungsi Bijektif dari A ke B yaitu suatu fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan A ke anggota himpunan B, dg anggota B ttidak memiliki pasangan lebih dari 1, dan � = . Fungsi bijektif biasa disebut korespondensi satu-satu 4. Media, Alat, dan Sumber Pembelajaran a. Media power point

b. Alat dan atau bahan

Laptop, infocus,

c. Sumber belajar

Buku dan LKS

5. Metode Pembelajaran

- Metode pembelajaran ceramah, diskusi, tanya jawab, dan kelompok. - Model pembelajaran kooperative learning

6. Langkah-langkah Pembelajaran

Kegiatan Uraian Kegiatan Waktu Pendahuluan  Guru mengucapkan salam, mempersiapkan kesiapan pembelajaran kemudian berdoa untuk mengawali pembelajaran, menanyakan siswa yang tidak berangkat sekolah presensi  Apersepsi Mengingat definisi dari relasi. Relasi dari A ke B merupakan hubungan antara himpunan A dengan himpunan B tanpa ciri khusus.  Motivasi  Diberikan contoh dan noncontoh fungsi, siswa dipancing untuk mendefinisikan fungsi dengan bahasanya sendiri  Guru menyampaikan tujuan pembelajaran, yaitu: 1. Diberikan suatu fungsi, siswa dapat menyatakan suatu fungsi dengan diagram panah, diagram kartesius, himpunan pasangan berurutann, dan banyaknya fungsi yang mungkin. 2. Diberikan suatu fungsi, siswa dapat menentukan daerah asal, kawan, dan hasil dari suatu fungsi. 10 menit Inti  Eksplorasi 1. Guru membimbing peserta didik untuk memahami fungsi dengan cara membedakan contoh fungsi dan non fungsi. 2. Guru membimbing peserta didik untuk memahami cara menyatakan sebuah fungsi dengan diagram panah, diagram cartesius, dan himpunan pasangan berurutan beserta ciri khusus dalam tiap bentuk pernyataan fungsi. 3. Guru membimbing peserta didik untuk memahami cara menghitung kemungkinan jumlah pemetaan yang mungkin dari suatu fungsi. 4. Guru membimbing peserta didik untuk memahami istilah daerah dalam fungsi yaitu domain, kodomain, dan range.  Elaborasi 60 menit 1. Guru melibatkan peserta didik secara aktif dalam setiap kegiatan pembelajaran. 2. Guru memberikan kesempatan kepada peserta didik untuk mengisi LKS halaman 24 mengenai cara menyatakan fungsi dan menentukan 3 daerah dalam fungsi yaitu daerah domain, kodomain, dan range. 3. Guru memberi kesempatan kepada peserta didik untuk mengomunikasikan secara lisan atau mempresentasikan mengenai hasil pengerjaannya dalam LKS.  Konfirmasi 1. Memberikan umpan balik positif dan penguatan dalam bentuk lisan, tulisan, isyarat maupun hadiah terhadap keberhasilan peserta didik. 2. Memberikan konfirmasi terhadap hasil eksplorasi dan elaborasi peserta didik. 5. Peserta didik aktif bertanya mengenai cara menyatakan fungsi dan menentukan 3 daerah fungsi yaitu daerah domain, kodomain, dan range. 3. Guru menekankan kembali konsep yang belum dipahami oleh peserta didik. Penutup 1. Guru mengajak siswa untuk melakukan refleksi terhadap kegiatan belajar yang sudah dilalui. 2. Guru mengingatkan bahwa pertemuan berikutnya adalah menentukan nilai fungsi 3. Guru menutup kegiatan dengan berdoa 10 menit

1. Penilaian Hasil Belajar

Matematika merupakan salah satu disiplin ilmu yang memegang peran penting dalam pemecahan masalah di setiap bidang kehidupan. Kemampuannya menerjemahkan berbagai fenomena kehidupan dalam Bahasa Matematika menjadikannya sebagai ilmu dasar yang harus dikuasai oleh setiap orang.

Hubungan antara satu elemen himpunan tepat dengan satu elemen pada himpunan yang lain disebut fungsi. Dalam fungsi ada yang dikenal dengan grafik. Nah, grafik fungsi inilah yang menggambarkan hubungan matematik antara dua variabel atau lebih. Hal lainnya yang perlu diketahui adalah dalam komponen relasi dan fungsi kita mengenal Domain, Kodomain dan Range. Berikut adalah pemahaman tentang ketiganya, baik Domain, Kodomain maupun Range.

Domain

Definisi dari domain adalah daerah asal atau himpunan yang memuat elemen pertama himpunan pasangan berurut relasi R.

Pada bagian sebelah kiri itulah yang disebut dengan domain. Jadi semua anggota yang termasuk dalam lingkaran yang sebelah kiri itulah yang disebut domain, sehingga domainnya adalah 5,6,7.

[Baca juga: Pernyataan dan Kalimat Terbuka Dalam Matematika]

Kodomain

Kodomain adalah daerah himpunan kawan, atau himpunan yang memuat elemen kedua himpunan pasangan berurut relasi R.

Untuk kodomain yaitu daerah yang sebelah kanan. Semua anggota yang sebelah kanan adalah anggota kodomain yaitu, 4,5,6, dan 7.

Range

Range adalah daerah hasil, atau himpunan semua anggota himpunan B yang memiliki pasangan anggota himpunan A.

Contoh soal :

Misalkan R adalah relasi A {1,2,3,4} ke B {1,3,5}. R merupakan relasi “x kurang dari y” dengan x adalah anggota himpunan A dan y adalah anggota himpunan B. maka tentukanlah domain, kodomain, dan dan range relasi R?

Solusi :

Relasi R dalam bentuk himpunan pasangan berurut :

R = {[1,3],[1,5],[2,3],[2,5],[3,5],[4,5]}

Maka domain [R] atau membuat elemen pertama dari pasangan adalah [1,2,3,4]

Sedangkan untuk kondomainnya yaitu elemen kedua adalah [1,3,5]

Untuk range nya atau anggota himpunan B yang memiliki pasangan himpunan A adalah [3,5]

Sebagaimana di materi dasar fungsi, definisi fungsi adalah istilah relasi khusus dalam ilmu matematika yang memetakan tepat satu-satu elemen himpunan daerah asal [domain] ke elemen himpunan daerah kawan [kodomain]. Fungsi dalam konteks relasi dinotasikan sebagai f : A → B. Berikut akan dijelaskan mengenai nilai fungsi, notasi, domain, kodomain, range, dan grafik fungsi dalam koordinat kartesius.

Navigasi Cepat

A1. Notasi Fungsi dan Contohnya

Notasi fungsi dalam konteks secara umum dinotasikan dengan huruf kecil misalnya f[x], g[x], h[x], dan lainnya. Misalnya notasi relasi fungsi f : A → B dapat diubah ke bentuk notasi fungsi umum.

f : A → B f[A] = B B = f[A]

Penggambaran fungsi umumnya digambarkan dalam koordinat kartesius. Berikut dasar notasi fungsi sebagai fungsi yang memetakan sumbu x [domain] ke sumbu y [kodomain] dalam koordinat kartesius di R².

f : x → y f[x] → y y = f[x]

Misalnya diketahui bentuk beberapa persamaan fungsi berikut.

y = 2x + 3 y = 4x + 8 y = 3x - 7 Ketiga fungsi di atas dapat dinotasikan dalam notasi fungsi f[x] = 2x + 3 g[x] = 4x + 8 h[x] = 3x - 7

A2. Nilai Fungsi dan Contohnya

Nilai fungsi adalah nilai yang yang dihasilkan oleh substitusi suatu elemen domain ke dalam fungsinya. Semua nilai fungsi menghasilkan himpunan daerah hasil yang disebut range.

Suatu fungsi f[x] = 2x + 1, tentukan nilai fungsi untuk x = 2 dan x = 3 terhadap fungsi f[x]!

Penyelesaian:

Nilai fungsi f[x] untuk x = 2 Dapat diketahui model fungsi f[x] adalah 2x + 1 f[x] = 2x + 1 f[2] = 2[2] + 1 = 4 + 1 = 5 Nilai fungsi f[x] untuk x = 3 f[x] = 2x + 1 f[3] = 2[3] + 1 = 6 + 1 = 7

Jadi, nilai fungsi f[2] = 5 dan f[3] = 7.

B. Daerah Asal [Domain]

Daerah asal [domain] suatu fungsi adalah himpunan elemen-elemen yang dimasukkan ke dalam model suatu fungsi. Dalam diagram relasi fungsi, domain merupakan himpunan pertama yang berelasi.

Contoh:

1. Suatu fungsi f[x] = 2x mempunyai domain bilangan bulat x < 10 dan x > 0, tulis notasi domain fungsi f[x] dan elemen-elemennya!

Df = {0 < x < 10 | x bilangan bulat} = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

2. Suatu fungsi g[x] = 3x + 3 mempunyai domain bilangan real x ≥ 0, tulis notasi domain fungsi f[x] dan elemen-elemennya!

Dg = {x ≥ 0 | x bilangan real}     = {0, 0.00..., ..., 1, 1.00..., ..., ∞} Banyak bilangan real antara 2 bilangan bulat adalah tidak terhingga, sulit untuk menuliskannya secara langsung.

C. Daerah Kawan [Kodomain]

Daerah kawan suatu fungsi adalah himpunan yang memuat nilai-nilai fungsi yang mungkin. Himpunan kodomain dapat memuat elemen-elemen lain yang tidak termasuk dalam nilai fungsinya. Namun, semua nilai fungsinya [range] harus ada dalam kodomain fungsinya.

Contoh C1: Soal Kodomain Fungsi

Suatu fungsi f[x] = 1, dapat mempunyai kodomain berupa bilangan bulat {1, 2, 3}, karena dapat diketahui range fungsinya adalah {1}

D. Range Fungsi

Range suatu fungsi adalah himpunan daerah hasil yang merupakan himpunan semua nilai fungsi, hasil dari substitusi tiap elemen-elemen domain terhadap model fungsinya.

Contoh D1: Menentukan range fungsi diskrit dan grafiknya

Hitung range fungsi f[x] = x + 1 dengan himpunan domain x = {1, 2, 3, 4} dan plot grafik fungsi tersebut dalam koordinat kartesius!

Penyelesaian:

f[x] = x + 1 Df = {1, 2, 3, 4}

# Menghitung Range Fungsi

Menghitung range fungsi dilakukan dengan membuat tabel substitusi elemen x ke model fungsi f[x]

f[x] = x + 1 f[1] = 1 + 1 = 2 f[2] = 2 + 1 = 3 f[3] = 3 + 1 = 4 f[4] = 4 + 1 = 5

Sehingga diperoleh tabel berikut.

Jadi, range fungsi f[x] adalah {2, 3, 4, 5}.

# Membuat Grafik Fungsi

Elemen fungsi f[x] merupakan nilai diskrit [titik-titik nilai] yaitu domain {1, 2, 3, 4} dengan range {2, 3, 4, 5}. Sehingga grafik fungsi yang dihasilkan berupa titik-titik range dalam koordinat kartesius.

Berikut grafik yang dihasilkan tabel di langkah sebelumnya.

Grafik Fungsi f[x] dalam Koordinat Kartesius

Contoh D2: Menentukan range fungsi interval dan grafiknya

Hitung range fungsi g[x] = x² dengan himpunan domain x dengan -3 ≤ x ≤ 3 | x ∈ ℝ, dan plot grafik fungsi tersebut dalam koordinat kartesius!

Penyelesaian:

g[x] = x² Dg = {-3 ≤ x ≤ 3 | x ∈ ℝ} Sehingga, domain fungsi g[x] merupakan interval bilangan real dari -3 hingga 3.

# Menghitung Range Fungsi

Menghitung range fungsi dilakukan dengan membuat tabel substitusi elemen x ke model fungsi f[x]. Domain fungsi merupakan interval bilangan real, sehingga range fungsi yang dihasilkan juga termasuk interval bilangan real.

Untuk mempermudah perhitungan dapat dilakukan pengujian titik-titiknya dalam interval tertentu, misalnya interval 0.5 dari {-3 ≤ x ≤ 3 | x ∈ ℝ} diperoleh -3, -2.5, -2, -1.5, -1, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5 3.

g[x] = x² g[-3] = [-3]² = 9 g[-2.5] = [-2.5]² = 6.25 g[-2] = [-2]² = 4 g[-1.5] = [-1.5]² = 2.25 g[-1] = [-1]¹ = 1 g[-0.5] = [-0.5]² = 0.25 g[0] = [0]² = 0 g[0.5] = [0.5]² = 0.25 g[1] = [1]² = 1 g[1.5] = [1.5]² = 2.25 g[2] = [2]² = 4 g[2.5] = [2.5]² = 6.25 g[3] = [3]² = 9

Sehingga diperoleh tabel berikut.

x	-3	-2.5	-2	-1.5	-1	-0.5	0	0.5	1	1.5	2	2.5	3
g[x]	9	6.25	4	2.25	1	0.25	0	0.25	1	2.25	4	6.25	9

Jadi, range fungsi g[x] adalah {0 ≤ Rg ≤ 9 | Rg ∈ ℝ}.

# Membuat Grafik Fungsi

Elemen fungsi g[x] merupakan interval bilangan real, yaitu domain {-3 ≤ x ≤ 3 | x ∈ ℝ} dengan range {0 ≤ Rg ≤ 9 | Rg ∈ ℝ}. Sehingga grafik fungsi g[x] dapat menghasilkan garis dalam koordinat kartesius.

Berikut grafik yang dihasilkan tabel di langkah sebelumnya.

Grafik Fungsi g[x] dalam Koordinat Kartesius

Sehingga grafik yang dihasilkan fungsi g[x] dengan domain {-3 ≤ x ≤ 3 | x ∈ ℝ} adalah garis kurva.

Tutorial lainnya: Daftar Isi Pelajaran Matematika

Sekian artikel "Notasi Fungsi, Daerah Asal [Domain], Daerah Kawan [Kodomain], dan Range". Nantikan artikel menarik lainnya dan mohon kesediaannya untuk share dan juga menyukai halaman Advernesia. Terima kasih...