Como fazer raiz quadrada de 0 1111

163 2. Elementos de um Triânguío ........ 163 3. Classificação dos Triângulos............................................................ 167 4. Congruência de Triângulos ................................................................................... .169 5. Teorem as................................................................................................................... 172 6. Relações entre os Elementos do Triângulo ......................................................... 175 UNIDADE XIV Q U A D R ILÁ TE R O S 1. Introdução „ . . . ............................................................................................................ 182 2. Soma dos Ângulos Internos de um Quadrilátero ................................................ 182 3. Classificação Geral dos Quadriláteros.................................................................. 188 UNIDADE XV Â N G U LO S DE UM P O L ÍG O N O QUALQUER 1. Introdução .......v............ ................................................................. 2. Soma das Medidas dos Ângulos Internos ................................. 3. Soma das Medidas dos Ângulos Externos ................................ 4. Valor dos Ângulos Interno e Externo de um Polígono Regular UNIDADE XVI C IR CU N FER ÊNC IA E C ÍRCULO 1 . C ircunferência.................................................................................. 2. Corda e Diâmetro........................................... 3. Círculo ............................................................................................... 4. Posições de um Ponto em Relação a uma Circunferência...... 5. Posições de uma Reta em Relação a uma Circunferência...... 6. Posições Relativas de duas Circunferências .............................. 7. Arcos de uma Circunferência......................................................... 192 192 195 197 201 202 203 204 204 206 209 R E S P O S TA S D O S EXERCÍCIO S PR O PO STO S 223 O Conjunto dos Números Reais 1. Introdução O homem, depois de aprender a contar, deu nomes para os números e, pos­ teriormente, passou a representá-los por algarismos simbólicos. Os números naturais foram, provavelmente, os primeiros números pensa­ dos pelo homem. O conjunto dos números naturais é dado por: B S = '\0, 1, 2, 3, 4, M Um subconjunto muito importante dos números naturais é: ÉÉí* = m 2’ 3’ 4’ ü Os antigos matemáticos, porém, sentiram a necessidade de resolver opera­ ções de subtração tais como 3 - 4 e observaram que o conjunto dos números naturais não possuía elementos que representassem o resultado dessa opera­ ção. Por isso, criaram um conjunto mais amplo, que contém o conjunto dos nú­ meros naturais e também é capaz de expressar o resultado de qualquer opera­ ção de subtração entre os números naturais. Esse conjunto é o conjunto dos números inteiros: Z = fe.:, • - 3 , - 2 , § 1 , 0, 1, 2, 3, Entretanto, o conjunto Z, embora seja capaz de dar respostas a todas as ope­ rações de subtração entre seus elementos, não possui nenhum elemento capaz de representar o resultado de operações de divisão do tipo 5 :4 . Para que operações desse tipo pudessem ser representadas, criou-se um no­ vo conjunto de números, que contém o conjunto Z e tem elementos capazes de representar o resultado de qualquer operação de divisão entre dois números in­ teiros, exceto quando o divisor for zero; 7 Esse conjunto recebe o nome de conjunto dos números racionais: * ["•" f p l » " ’ °’ 'm> T ' e é definido por: Q = | x / x = - jp com p € I e q 6 'M *j Por diagrama, temos: IN G Z C Q y 2. Representação Decimal Observemos os quocientes das seguintes divisões: 4 5 • — = 4 • — = 0,555... [dízima periódica simples] 7 ' 56 I • • — = 3,5 • — = 1,2444... [dízima periódiça composta] 12 7 • = - 4 0,2121... [dízima periódica simples] Esses números são racionais porque podem ser escritos através de uma re­ presentação decimal exata, ou decimal infinita e periódica. 3. Fração Geratriz de uma Dízima A fração geratriz de uma dízima é a fração da qual provém a dízima. Exemplo: - | - fe 0,555... ^♦fração geratriz 8 re- Conhecendo a dízima, podemos obter a sua fração geratriz; Temos dois casos: 1 ? caso: Dízima periódica simples 1? Exemplo: Ache a fração geratriz da dízima 0,444... Resolução Chamando de x a fração que gera a dízima, tem-se: x = 0,444... . ® js Multiplicando ambos os membros dessa igualdade por 10, obtém-se: 10x = 4,444... © Colocando as igualdades [T ] e [ 2] uma embaixo da outra e efetuando a sub- tração, vem: 10x = 4,444... , x | | 0,444... , j | | f | | 1 0 x 1 x = 4,444... - 0,444... 9x = 4 , 4 Resposta: A fração geratriz e |§ a 2? Exemplo: Determine a fração geratriz de 1,2323... Resolução Fazendo: x = 1,2323... [ J ] , e multiplicando essa igualdade por 100, obtém-se: 100x = 123,23... ¡[2] Lembrete: Se a dízima for simples e o período tiver dois algarismos, devem-se multiplicar ambos os membros da igualdade por 100; 9 Efetuando [g ] — [T ], vem: 100x = x i 123,2323... ■ 1,2323... 0 99x = 122 122 x 1 "99 " I 122 Resposta: A fração geratriz e Exercícios de Aplicação da Teoria 1] Determine a fração geratriz da dízimas: a] 0,333... b] 0,181818... Resolução a] Fazzndo x ■ 0, 333. . . , tmoò' 7flx = 3, 333. . . x f J , 333. . . Q 9 x = 3 ò] Vazando x 0,181818 . . . > ¿eróo* : lOOx.* 18, 1818. . . X = 0, 1818. . . O ' 99x 7S ■Hl * " 99 . Resposta: P . .............^ . JL..'............. 2] Ache a fração geratriz da dízima 1,252525... Resolução lOOx * 125, 2525. . . • x .* 1 , 2 5 2 5 . . . 0 • 99x * /24 _ /24 99 Resposta: 10 ,4 e .. / 24 ■ B B Exercícios Propostos WÊÊHÊtlÊÊÊKÊ- 1] Escreva na forma de dízimas periódicas os números: m mmC]TT m w» 15 d] 99 2] Determine a fração geratriz das seguintes dízimás: a] 0,555... c] 0,123123. b] 0,1111... d] 0,606060. 3] Ache a fração geratriz das dízimas: a; 2,152152... b] 1,888... 4] Calcule y, sabendo que: y = 0,222... 0,666... 2? caso: Dízima periódica composta Exemplo: Ache a fração geratriz de 1,3555... Resolução Fazendo x = 1,3555..., multiplicando essa igualdade por 100 e por 10 e dis­ pondo uma embaixo da outra, obtém-se: 100x = 135,555... 10x = 13,555... |g ] ., 90x = 122 M H B 122 | j. 61 X 1 8 9 0 ■ 4 5 61Resposta: A fração geratriz é Lembrete: Note que para a parte periódi­ ca desaparecer na subtração, a igualdade inicial deve ser multiplicada por 10 e por 100. Exercício de Aplicação da Teoria Ache a fração geratriz das dízimas: a] 0,3777... b] 2,13434... 11 Resolução cl] Hzmdo x = 0,1711. 100x * 37, 777... ' * 10x : h 7 7 7 ,. . 90x * 34 x * - iV]Hztndo x f 2,13434... | üew1.\ I 000x = 2134,3434. . . IQx = 21.3434.. . ;0 990x = 2 7 73 2 113 x = 99 0 Exercícios Propostos 5] Determine a fração geratriz das dízimas: 6] Ache a fração geratriz das dízimas: a; 4,02525... b] 15,11616... 7] Determine y, sabendo que: y = 0,1212... + 1,4666... 4. Raiz Quadrada Consideremos os seguintes dados: Do exposto, concluímos que a raiz quadrada de um número positivo a é um número x cujo quadrado é a. Resposta: m -2#?f3 b] x " 990 a; 0,1444... b] 0,3222... cj 0,51414... d] 0,93232... Quadrado de Raiz quadrada de quadrado de 2 = 4 raiz quadrada de 4 = 2 quadrado de 3 = 9 raiz quadrada Hp q _ q quadrado de x = a raiz quadrada de a = x Vã = x => x2 = a Eü Geometricamente, temos: |B 4 cm 16 cm2 4 cm [lado do quadrado]2 == área => Várea = lado do quadrado 42 = 16 => = 4 Os números 1,4, 9, 16, 25, que têm raízes quadradas inteiras, são deno­ minados quadrados perfeitos. NÚMEROS k 4 9 16 25 etc. • • • • • • • • • • • • REPRESENTAÇÃO • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • if etc. RAIZ INTEIRA 1 2 3 v ' ’ 4 5 etc. O cálculo dá raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito é feita por aproximação. ; V4T M v - 25 < 41 < 36 ;i& V25 < V4T < V36 5 < V4T 9 6 ■ valor aproximado valor aproximado por falta por excesso, O