BARISAN DAN ARITMETIKA
Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan dengan tanda “,”. Jika pada barisan tanda “,” diganti dengan tanda “+”, maka disebut deret.. Masing-masing bilangan itu disebut suku-suku barisan
Aritmatika atau aritmetika yang kata yang berasal dari bahasa Yunani αριθμός = angka yang dulu biasa disebut Ilmu Hitung merupakan cabang tertua [atau pendahulu] dari matematika yang mempelajari operasi dasar bilangan.
Barisan Aritmetika adalah suatu barisan bilangan dengan pola tertentu berupa penjumlahan yang memiliki beda atau selisih yang sama/tetap.
Rumusan Barisan Aritmatika
Suku-sukunya dinyatakan dengan rumus berikut :
U1, U2, U3, ….Un a, a+ b, a+2b, a + 3b, …., a + [n-1] b
Selisih [beda] dinyatakan dengan b
b = U2 – U1 = U3 – U2 = Un – Un – 1
Suku ke n barisan aritmatika [Un] dinyatakan dengan rumus:
Un = a + [n-1] b
Keterangan :
Un = suku ke n dengan n = 1,2,3, …
a = suku pertama → U1 = a
b = selisih/beda
[1] 3, 7, 11, 15, 19, …
[2] 30, 25, 20, 15, 10,…
Bentuk Barisan Aritmatika
Keterangan:
a = U1 = Suku pertama
b = beda
n = banyak suku
Un= Suku ke-n
Contoh Barisan Aritmatika
- Suku pertama dari barisan aritmatika adalah 3 dan bedanya = 4, suku ke-10 dari barisan aritmatika tersebut adalah …
Penyelesaian:
a = 3
b = 4
- Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut: 5, 8, 11, … Tentukan: Nilai suku ke-15 !
Penyelesaian:
Suku Tengah Barisan Aritmatika
Jika barisan aritmatika mempunyai banyak suku [n] ganjil, dengan suku pertama a, dan suku terakhir Un maka suku tengah Ut dari barisan tersebut adalah sebagai berikut:
Perhatikan bahwa selisih di antara suku-sukunya selalu tetap. Barisan yang demikian itu disebut barisan aritmetika. Selisih itu disebut beda suku atau beda saja dan dilambangkan dengan c. Barisan [l] mempunyai beda, b = 4. Barisan ini disebut barisan aritmetika naik karena nilai suku-sukunya makin besar. Barisan [2] mempunyai beda, b = -5. Barisan ini disebut barisan aritmetika turun karena nilai suku-sukunya makin kecil.
Suatu barisan U1, U2, U3,….disebut barisan aritmetika jika selisih dua suku yang berurutan adalah tetap. Nilai Untuk menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika. perhatikan kembali contoh barisan [l].
3, 7, 11, 15, 19, …
Misalkan U1, U2, U3 , …. adalah barisan aritmetika tersebut maka
U1 = 3 =+ 4 [0]
U2 = 7 = 3 + 4 = 3 + 4 [1]
U3 = 11 = 3 + 4 + 4 = 3 + 4 [2]….
Un = 3 + 4[n-1]
Secara umum, jika suku pertama [U1] = a dan beda suku yang berurutan adalah b maka dari rumus Un = 3 + 4[n – 1] diperoleh 3 adalah a dan 4 adalah b. Oleh sebab itu, suku ke-n dapat dirumuskan
Un = a + b[n-1]
Barisan aritmetika yang mempunyai beda positif disebut barisan aritmetika naik, sedangkan jika bedanya negatif disebut barisan aritmetika turun.
U1, U2, U3, …….Un-1, Un disebut barisan aritmatika, jika U2 – U1 = U3 – U2 = …. = Un – Un-1 = konstanta Un = a + [n-1]b = bn + [a-b] → Fungsi linier dalam n
Contoh Barisan Aritmatika :
Tentukanlah suku ke 15 barisan 2, 6, 10, 14, …
Jawab:
n = 15
b = 6-2 = 10 – 6 = 4
U1 = a = 2
Un = a + [n-1] b
U15 = 2 + [15-1]4
= 2 + 14.4
= 2 + 56 = 58
Diketahui barisan aritmetika 3, 8, 13, …
- Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
- Suku keberapakah yang nilainya 198 ?
Jawab :
Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.
Un = a + [n – 1]b
U10 = 3 + [10 – 1]5
= 3 + 9 x 5
= 3 + 45
= 48
Un = a + [n – 1]b
= 3 + [n – 1]5
= 3 + 5n – 5
= 5n – 2
Misalkan Un = 198, maka berlaku :
Un = 198
5n – 2 = 198
5n = 200
n = 40
Jadi 198 adalah suku ke- 40
Deret Aritmatika
Deret Aritmatika adalah penjumlahan dari suku-suku pada barisan aritmatika.
Rumus Deret Aritmatika
Bentuk umum deret aritmatika :
a + [a + b] + [a+2b] + [a+3b] + … + [a+[n-1]b ]
Jumlah suku hingga suku ke n pada barisan aritmatika dirumuskan dengan:
Sn = [2a + [n-1] b ] atau Sn = [ a + Un ]
Seperti telah dibahas sebelumnya, deret adalah bentuk penjumlahan dari suku-suku pada sebuah barisan. Jika U1, U2, U3, … barisan aritmetika. U1, U2, U3, … adalah deret aritmetika.
Untuk mendapatkan jumlah n suku pertama dari deret aritmetika, perhatikan kembali deret yang dihasilkan barisan [l ].
3 +7 + 1l + 15 + 19 + …
Jika jumlah n suku pertama dinotasikan dengan.Sn maka S dari deret di atas adalah :
Perhatikan jumlah 5 suku pertama, S yang diperoleh. Angka 3 pada perhitungan tersebut berasal dari suku pertama, sedangkan l9 adalah suku ke-5. Oleh karena itu, jumlah suku ke-n adalah
Sisipan pada Barisan Aritmatika
Apabila antara dua suku barisan aritmatika disisipkan k buah bilangan [suku baru] sehingga membentuk barisan aritmatika baru, maka:
Beda barisan aritmatika setelah disispkan k buah suku akan berubah dan dirumuskan:
Keterangan:
b’ = beda barisan aritmatika setelah disisipkan k buah suku
n’ = banyak suku barisan aritmatika baru
n = banyak suku barisan aritmatika lama
k = banyak suku yang disisipkan
Sn’ = jumlah n suku pertama setelah disisipkan k buah suku
Contoh Sisipan Barisan Aritmatika
Antara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan sehingga bersama kedua bilangan semula terjadi deret hitung. Maka jumlah deret hitung yang terjadi adalah …
Penyelesaian:
Diketahui: deret aritmatika mula-mula: 20 + 116
a = 20
Un = 116
n = 2
k = 11 bilangan
banyaknya suku baru : n’ = n + [n-1] k
= 2 + [2-1] 11 = 2 + 11 = 13
Jadi, jumlah deret aritmatika setelah sisipan adalah 884
Contoh Soal Deret Aritmatika
Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35, …
Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?
Jawab:
n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10
Sn = [2a + [n-1] b ]
S10 = [ 2. 5 + [10 -1] 10]
= 5 [ 10 + 9.10]
= 5 . 100 = 500
- Jumlah suku yang pertama dari barisan 20 + 15 + 10 +…… adalah …..
a]. -550
b]. -250
c]. -75
d]. -115
c]. -250
Penyelesaian :
a = 20
b = U2-U1
= 15-20
= -5
Sn = n [a + Un]
Un = a + [n – 1] b
U20 = 20 + [20-1][-5]
= 20 + [19] [-5]
= 20 – 95
= – 75
S20 = . 20 [20 + [-75]]
= 10 [-55]
S20 = – 550
Jawaban : A
2. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika : 3 + 5 + 7 + 9 + ….. adalah …..
a]. 105
b]. 120
c]. 150
d]. 155
e]. 165
Penyelesaian :
a = 3
b = U3 – U2 – 1
= U3 – U2
= 7 – 5
= 2
Sn = n [2a + [n-1]b]
= 10 [2 [5] + [10-1]2]
= 5 [6+9] 2
= 120
Jawaban : B
3. Diketahui barisan aritmatikan dengan U4 = 11 dan U8 = 23. Suku ke 15 dari suku barisan aritmatika itu adalah …..
a]. 345
b]. 44
c]. 49
d]. -40
e]. -44
Penyelesaian :
Un = a + [n-1]b
= a + [4-1]b = 11
= a + 36 = 11
U8 = a + [8-1]b = 23
= a + 7b = 23
Eliminasi a + 3b = 11
a + 7b = 23
-4b = -12
b = = 3
Substansi a + 3b = 11
a + 3 [3] = 11
a + 9 = 11
a = 11 – 9 = 2
U15
Un = a + [n-1] b
U15 = 2 + [15-1] 3
= 2 + [14 x 3] = 44
Jawaban : B
SETELAH MEMBACA MATERI DI ATAS, SILAHKAN KERJAKAN SOAL PADA LKS HALAMAN 15, SOAL NOMOR 1, 2 DAN 3.
JAWABAN DAN ABSENSI KEHADIRAN SILAHKAN ISI LINK DI BAWAH INI:
//forms.gle/4Phj4YcdrFxYLHh18