Tentukan persamaan garis singgung lingkaran l x2 y2 2x 4y 0 yang ditarik garis dari titik p 0 1

Seperti yang telah diuraikan pada sub bab sebelumnya, salah satu kedudukan garis terhadap lingkaran adalah garis menyinggung lingkaran. Dalam hal ini terdapat beberapa cara menyatakan persamaan garis singgung lingkaran, yaitu:

[1]. Jika diketahui titik singgungnya T[x1 , y1]

Persamaan garis singggung g pada lingkaran [x – a]2 + [y – b]2 = r2 dengan pusat P[a, b] serta melalui titik T[x1 , y1] yang terletak pada lingkaran [seperti pada gambar] dapat dirumuskan sebagai berikut:

1. Persamaan garis singggung lingkaran [x – a]2 + [y – b]2 = r2 yang melalui titik T[x1 , y1] pada lingkaran, dapat dirumuskan sebagai berikut:

[x1 – a][x – a] + [y1 – b][y – b] = r2

2. Persamaan garis singggung lingkaran dengan pusat O[0, 0] dapat diperoleh dengan mengambil a = 0 dan b = 0, sehingga diperoleh :

x1x + y1y = r2

Persamaan garis singggung lingkaran x2 + y2 + Ax + By + C = 0 yang melalui titik T[x1 , y1] pada lingkaran, dapat juga dirumuskan

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:

01. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran [x – 4]2 + [y + 5]2 = 13 jika titik singgungnya di T[6, –2]

Jawab

lingkaran [x – 4]2 + [y + 5]2 = 13 Titiknya T[6, –2]

maka :

[x1 – 4][x – 4] + [y1 + 5][y + 5] = 13

[6 – 4][x – 4] + [–2 + 5][y + 5] = 13 2[x – 4] + 3[y + 5] = 13 2x – 8 + 3y + 15 = 13 2x + 3y + 7 = 13 2x + 3y = 6

02. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 6x – 4y – 21 = 0 jika titik singgungnya di T[2, 5]

Jawab

[2] Jika diketahui gradien garis singgungnya m

Misalkan g1 dan g1 adalah garis singgung lingkaran L ≡ [x – a]2 + [y – b]2 = r2, yang diketahui gradiennya yakni m,

Maka persamaan g1 dan g1 dapat dicari dengan langkah sebagai berikut :

1. Persamaan garis singggung lingkaran [x – a]2 + [y – b]2 = r2 dengan gradien m dapat dirumuskan sebagai berikut:

2. Persamaan garis singggung lingkaran dengan pusat O[0, 0] dapat diperoleh dengan mengambil a = 0 dan b = 0, sehingga diperoleh:

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:

03. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran [x + 1]2 + [y – 3]2 = 5 jika gradien garis singgungnya 2

Jawab

04. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 4x – 10y + 19 = 0 jika gradien garis singgungnya –3

Jawab

05. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran [x – 4]2 + [y – 3]2 = 16 yang sejajar dengan garis 3x – 4y = 7

jawab

[3] Garis singgung lingkaran [x – a]2 + [y – b]2 = r2 yang ditarik dari titik T[x1 , y1] di luar ligkaran

Langkah-langkah penyelesaian:

1. Menentukan persamaan garis polar,yakni

2. Substitusikan persamaan garis polar ke persamaan lingkaran L, sehingga diperoleh dua titik singgung T1 dan T2

3. Menentukan persamaan garis singgung lingkaran dengan T1 dan T2 titik singgungnya

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:

06. Tentukanlah persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 = 25, yang ditarik dari titik T[–1, 7]

Jawab

 
07. Tentukanlah persamaan garis singgung pada suatu lingkaran x2 + y2 + 2x – 19 = 0 yang ditarik dari titik T[1, 6] di luar lingkaran Jawab

 

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah B.

Ingat!

jika garis  menyinggung lingkaran  dapat pula dinyatakan maka persamaan garis singgungnya adalah 

 

Langkah 1 menentukan pusat dan jari-jari dari bentuk  mempunyai pusat di 

 dan jari-jari 

 

maka nilai  

 

Langkah 2 mencari nilai gradien persamaan garis yang diketahui

Ingat!

jika garis  maka nilai . 

Misalkan garis , sehingga , misalkan  adalah garis singgung lingkaran. karena  sejajar , maka: 

 

Langkah 3 subtitusikan nilai  dan gradien  ke persamaan garis singgung

  

Maka, persamaan garis singgung lingkaran adalah 

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.