O paralelepípedo é um sólido geométrico estudado na Geometria Espacial, bastante presente no nosso cotidiano. Caixas, alguns prédios e vários outros objetos possuem formato de paralelepípedo.
Para que um sólido geométrico seja considerado paralelepípedo, ele precisa possuir faces formadas por paralelogramos — faces possuindo formato de retângulos, quadrados ou losangos, por exemplo. Vale dizer também que um paralelepípedo pode ser reto ou oblíquo.
Para calcular o volume de um paralelepípedo, calculamos o produto entre a área da base e a altura, mas existem também fórmulas para o cálculo da área total e da diagonal.
Leia também: Área dos sólidos geométricos — fórmulas e exemplos de cálculo das principais figuras
Resumo sobre paralelepípedo
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O paralelepípedo é um sólido geométrico que possui faces formadas por paralelogramos.
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É composto por 8 vértices, 12 arestas e 6 faces.
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É classificado como reto quando suas arestas são perpendiculares e como oblíquo quando suas arestas não são perpendiculares.
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Para calcular o volume de um paralelepípedo reto ou oblíquo, utilizamos a fórmula:
\[V=A_b\cdot h\]
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Considerando um paralelepípedo reto, com lados da base medindo a e b e altura c, seu volume pode ser calculado por:
\[V=a\cdot b\ \cdot c\]
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O paralelepípedo oblíquo não possui fórmulas específicas para o cálculo da área total e da diagonal, já o paralelepípedo reto, sim.
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A área total do paralelepípedo reto é calculada pela fórmula:
\[A=2ab+2ac+2bc\]
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A diagonal de um paralelepípedo reto é calculada por:
\[d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}\]
Videoaula sobre o paralelepípedo
Elementos e características do paralelepípedo
Os principais elementos de um sólido geométrico são as suas faces, suas arestas e seus vértices. O paralelepípedo é composto por 6 faces, 8 vértices e 12 arestas.
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Os 8 vértices são os pontos A, B, C, D, E, F, G, H.
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As 12 arestas são os segmentos \[\overline{AB},\overline{BC},\overline{CD},\overline{AD},\overline{AE},\overline{EF},\overline{BF},\overline{FG},\overline{GH},\overline{EH},\overline{CG},\overline{DH}\].
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As 6 faces são os paralelogramos ABCD, ABEF, CDHG, ADHE, BCGF, EFGH.
Classificação do paralelepípedo
Os paralelepípedos podem ser classificados de duas maneiras distintas. Há os paralelepípedos retos e os paralelepípedos oblíquos. O paralelepípedo é reto quando a sua aresta lateral forma um ângulo de 90° com a aresta da base e é oblíquo quando existe uma inclinação diferente de 90° entre a aresta da base e a aresta lateral.
O paralelepípedo reto possui fórmulas específicas para o cálculo de volume, área total e diagonal. Vejamos a seguir cada uma delas.
Fórmulas do paralelepípedo
As fórmulas do paralelepípedo servem para calcular o volume, a área total e a diagonal de um paralelepípedo reto. O paralelepípedo oblíquo possui fórmula para o cálculo do volume, porém ele não possui fórmula específica para o cálculo da área e da diagonal, por causa dos formatos que ele pode assumir.
Para calcular o volume de um paralelepípedo qualquer [reto ou oblíquo], utilizamos a fórmula:
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\[A_b\]: área da base
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h: altura do paralelepípedo
Especificamente no paralelepípedo reto, a base é composta por um retângulo. Assim, a área da base é igual ao produto entre as duas dimensões da base. Para calcular o volume, basta multiplicar o valor pela altura. Logo, o volume de um paralelepípedo reto é o produto entre o comprimento, a largura e a altura.
| \[V\ =\ a\ \cdot b\ \cdot c\] |
A área de um sólido geométrico é a soma das áreas das suas faces. Como as faces do paralelepípedo retângulo são todas retângulos, a área de cada face é igual ao produto entre o comprimento e a largura da face. Entretanto, faces paralelas possuem a mesma medida, então para calcular a área de um paralelepípedo reto utilizamos a fórmula:
Conhecemos como diagonal de um paralelepípedo o segmento de reta que liga um vértice ao vértice oposto a ele, como na imagem a seguir:
Para calcular o comprimento da diagonal de um paralelepípedo reto, utilizamos a fórmula:
Leia também: Fórmulas para cálculo do volume dos principais sólidos geométricos
Exercícios resolvidos sobre paralelepípedo
Questão 1
Uma caixa possui formato de um paralelepípedo reto com dimensões de 50 cm de largura, 85 cm de comprimento e 62 cm de altura. A medida da área total dessa caixa é de:
A] 25.240 cm²
B] 26.120 cm²
C] 27.000 cm²
D] 28.150 cm²
E] 28.320 cm²
Resolução:
Alternativa A
Calculando a área total, temos que:
\[A=2\left[50\cdot85+50\cdot62+62\cdot85\right]\]
\[A=2\cdot12.620\]
\[A=25.240\ cm^2\ \ \]
Questão 2
[IFG 2017] A água da piscina de saltos ornamentais do Centro Aquático Maria Lenk, no Parque Olímpico da Barra [Rio 2016], ficou verde. O Comitê Olímpico justificou a coloração devido a 80 litros de peróxido de hidrogênio [água oxigenada] jogados na água, que criou uma reação para o cloro que neutralizou sua habilidade de matar organismos. Para a competição, a água de toda a piscina foi trocada. Suponha que essa piscina tenha o mesmo volume de um paralelepípedo reto com 23 metros de comprimento, 18 metros de largura e 9 metros de profundidade. Qual o volume de água que foi trocado desta piscina, em litros? [Adote 1 m³ = 1000 litros].
A] 3,726 milhões.
B] 4,140 milhões.
C] 2,070 milhões.
D] 1,620 milhões.
E] 2,125 milhões.
Resolução:
Alternativa A
Para calcular o volume, multiplicaremos as três dimensões:
\[V=18\cdot9\cdot23\]
\[V=3726\ m³\]
Como o volume é dado em litros, multiplicaremos por 1000:
\[V\ =\ 3726\ \cdot1000\ =\ 3\ 726\ 000\ litros\]
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática
As figuras geométricas podem ser planas ou espaciais dependendo da quantidade de dimensões necessárias para a sua construção. Por exemplo, um plano é necessário e suficiente para a construção de um quadrado. Por outro lado, é impossível construir um cubo sobre o plano, uma vez que o cubo possui três dimensões.
Sendo assim, compreender a maior das diferenças entre figuras planas e espaciais depende de entender bem as dimensões do espaço e as figuras que podem ser construídas em cada uma delas.
Leia também: Quais são os sólidos de Platão?
Dimensões do espaço
O ponto é uma figura geométrica que não possui dimensão nem formato. Podemos dizer que o número de dimensões necessárias para desenhar um ponto é zero.
Por sua vez, a reta é uma figura geométrica que apresenta apenas uma dimensão. É por esse motivo que ela tem comprimento infinito, mas não possui largura ou profundidade. As retas também podem ser consideradas como “espaço de uma dimensão”, ou seja, é possível construir, dentro de uma reta, figuras geométricas que possuem uma dimensão ou menos. Essas figuras são: ponto, segmentos de reta, semirretas e a própria reta. Exceto pelo ponto, que possui dimensão zero, todas essas figuras são unidimensionais.
O plano é uma figura geométrica que possui duas dimensões. É por isso que ele tem comprimento e largura infinitos, mas possui profundidade nula. Os planos são considerados o “espaço de duas dimensões”. Sendo assim, é possível construir qualquer figura geométrica que possua duas ou menos dimensões dentro de um plano. São exemplos dessas figuras: ponto, retas, semirretas, segmentos de retas, triângulos, quadriláteros, círculos, curvas etc.
Qualquer figura que pode ser construída dentro de um plano, mas não pode ser construída em uma reta, é uma figura plana. Por essa razão, figuras bidimensionais são denominadas de figuras planas.
O espaço é uma figura geométrica que possui três dimensões e, por isso, apresenta comprimento, largura e profundidade infinitos. Sendo assim, o espaço é um “espaço de três dimensões”, ou seja, qualquer figura que possua três dimensões ou menos pode ser construída dentro dele.
As figuras que precisam do espaço tridimensional para serem construídas são chamadas de tridimensionais ou espaciais. São exemplos de figuras espaciais: pirâmide, prisma, cubo, esfera, cilindro etc.
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Quais as diferenças entre figuras planas e espaciais?
A partir dessa discussão sobre dimensões, fica explícita a maior diferença entre figuras planas e figuras espaciais, também chamadas de sólidos geométricos: as figuras planas são bidimensionais, ou seja, é necessário e suficiente que elas sejam construídas em um plano. Uma figura plana até pode ser construída dentro do espaço, mas dentro desse mesmo espaço sempre será possível determinar um único plano que contém essa figura.
Já as figuras espaciais, ou sólidos geométricos, precisam de uma dimensão a mais para serem construídas, ou seja, são necessariamente figuras tridimensionais.
As figuras planas têm comprimento e largura, mas não possuem profundidade. Já as figuras espaciais apresentam comprimento, largura e profundidade.
A figura a seguir mostra alguns exemplos de figuras planas:
A figura a seguir mostra a tentativa de construir uma figura tridimensional dentro de um plano. Note que é impossível, pois a maior parte dessa figura é relativa à profundidade inexistente no plano.
Por fim, observe um exemplo de figura tridimensional, também conhecida como sólido geométrico:
Como as figuras planas não possuem profundidade, pode-se calcular apenas sua área e perímetro. No caso das figuras espaciais, é possível calcular área e volume.