Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2+y2+2x-6y-10=0 yang tegak lurus garis x+2y+1=0

Pusat [0, 0] dan jari-jari r :
x2 + y2 = r2 Pusat [a, b] dan jari-jari r :

[x − a]2 + [y − b]2 = r2

Bentuk umum persamaan lingkaran :

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

[a, b] = \[\mathrm{\left [ -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right ]}\]

r2 = \[\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\] + \[\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\]  − C Pusat [0, 0] dan jari-jari r :
x1 x + y1 y = r2 Pusat [a, b] dan jari-jari r :

[x1 − a][x − a] + [y1 − b][y − b] = r2

Pusat [0, 0] dan jari-jari r : y = mx ± r\[\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\] Pusat [a, b] dan jari-jari r : y − b = m[x − a] ± r\[\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\] y = ax + b → m = a ax + by + c = 0 → m = \[\mathrm{-\frac{a}{b}}\]

Garis p sejajar garis q :

mp = mq

Garis p tegak lurus garis q :

mp . mq = −1 Gradien garis yang membentuk sudut θ terhadap sumbu-x positif : m = tan θ d = \[\mathrm{\sqrt{[x_{1}-x_{2}]^{2}+[y_{1}-y_{2}]^{2}}}\] d = \[\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\]

UN 2016

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 − 2x + 6y − 10 = 0 yang sejajar dengan garis 2x − y + 4 = 0 adalah ... A.  2x − y = 14 B.  2x − y = 10 C.  2x − y = 5 D.  2x − y = −5 E.  2x − y = −6

Pembahasan :

Misalkan : m = gradien garis singgung

mg = gradien garis 2x − y + 4 = 0

2x − y + 4 = 0 → mg = 2

Karena garis singgung sejajar garis g, maka

m = mg = 2

m = 2

x2 + y2 − 2x + 6y − 10 = 0

A = −2 ; B = 6 ; C = −10 [a, b] = \[\mathrm{\left [ -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right ]}\] [a, b] = \[\mathrm{\left [ -\frac{[-2]}{2},-\frac{6}{2} \right ]}\]

[a, b] = [1, −3]

r2 = \[\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\] + \[\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\]  − C

r2 = \[\mathrm{\frac{[-2]^{2}}{4}}\] + \[\mathrm{\frac{6^{2}}{4}}\]  − [−10]
r2 = 20
r = \[\sqrt{20}\] Persamaan garis singgung lingkaran : y − b = m[x − a] ± r\[\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\] y + 3 = 2[x − 1] ± \[\sqrt{20}\]\[\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\] y + 3 = 2x − 2 ± 10 y = 2x − 5 ± 10

y = 2x − 5 + 10 → 2x − y = −5

y = 2x − 5 − 10 → 2x − y = 15

Jawaban : D

UN 2015

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 + 2x − 6y − 10 = 0 yang tegak lurus garis x + 2y + 1 = 0 adalah ... A.  y = 2x − 14 B.  y = 2x − 11 C.  y = 2x + 5 D.  y = 2x + 9 E.  y = 2x + 15

Pembahasan :

Misalkan : m = gradien garis singgung

mg = gradien garis x + 2y + 1 = 0

x + 2y + 1 = 0 → mg = \[-\frac{1}{2}\]

Karena garis singgung tegak lurus garis g, maka

m . mg = −1

m . \[-\frac{1}{2}\] = −1

m = 2

x2 + y2 + 2x − 6y − 10 = 0

A = 2 ; B = −6 ; C = −10 [a, b] = \[\mathrm{\left [ -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right ]}\] [a, b] = \[\mathrm{\left [ -\frac{2}{2},-\frac{[-6]}{2} \right ]}\]

[a, b] = [−1, 3]

r2 = \[\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\] + \[\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\]  − C

r2 = \[\mathrm{\frac{2^{2}}{4}}\] + \[\mathrm{\frac{[-6]^{2}}{4}}\]  − [−10]
r2 = 20
r = \[\sqrt{20}\] Persamaan garis singgung lingkaran : y − b = m[x − a] ± r\[\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\] y − 3 = 2[x + 1] ± \[\sqrt{20}\]\[\mathrm{\sqrt{1+2^{2}}}\] y − 3 = 2x + 2 ± 10 y = 2x + 5 ± 10

y = 2x + 5 + 10 → y = 2x + 15

y = 2x + 5 − 10 → y = 2x − 5

Jawaban : E

UN 2015

Persamaan lingkaran yang berpusat di titik [−1, 2] dan menyinggung garis x + y + 7 = 0 adalah ...

A.  x2 + y2 + 2x + 4y − 27 = 0

B.  x2 + y2 + 2x − 4y − 27 = 0
C.  x2 + y2 + 2x − 4y − 32 = 0
D.  x2 + y2 − 4x − 2y − 32 = 0
E.  x2 + y2 − 4x + 2y − 7 = 0

Pembahasan :

Jarak titik [x1, x2] ke garis \[\mathrm{ax+by+c=0}\] adalah d = \[\mathrm{\left | \frac{ax_{1}+by_{1}+c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \right |}\] Jari-jari adalah jarak dari titik pusat [−1, 2] ke garis \[\mathrm{x+y+7=0}\]. r = \[\mathrm{\left | \frac{1[-1]+1[2]+7}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} \right |}\] = 4√2 Jadi, persamaan lingkaran :

[x + 1]2 + [y − 2]2 = [4√2]2

x2 + 2x + 1 + y2 − 4y + 4 = 32
x2 + y2 + 2x − 4y − 27 = 0

Jawaban : B

UN 2013

Sebuah lingkaran memiliki titik pusat [2, 3] dan berdiameter 8 cm. Persamaan lingkaran tersebut adalah ...

A.  x2 + y2 − 4x − 6y − 3 = 0

B.  x2 + y2 + 4x − 6y − 3 = 0
C.  x2 + y2 − 4x + 6y − 3 = 0
D.  x2 + y2 + 4x + 6y + 3 = 0
A.  x2 + y2 + 4x − 6y + 3 = 0

Pembahasan :

d = 8 → r = 4 Persamaan lingkaran dengan pusat [2, 3] dan jari-jari 4 adalah

[x − 2]2 + [y − 3]2 = 42

x2 − 4x + 4 + y2 − 6y + 9 = 16
x2 + y2 − 4x − 6y − 3 = 0

Jawaban : A

UN 2012

Lingkaran L ≡ [x + 1]2 + [y − 3]2  = 9 memotong garis y = 3. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah ... A.  x = 2 dan x = −4 B.  x = 2 dan x = −2 C.  x = −2 dan x = 4 D.  x = −2 dan x = −4 E.  x = 8 dan x = −10

Pembahasan :

[x + 1]2 + [y − 3]2  = 9
[a, b] = [−1, 3]
r2 = 9 Titik potong lingkaran dengan garis y = 3 adalah

[x + 1]2 + [3 − 3]2  = 9

[x + 1]2 = 9 x + 1 = ±3 x + 1 = 3 atau x + 1 = −3 x = 2 atau x = −4

diperoleh titik potong [−4, 3] dan [2, 3]

PGS di titik [2, 3]

[x1 − a][x − a] + [y1 − b][y − b] = r2

[2 + 1][x + 1] + [3 − 3][x − 3]  = 9 3[x + 1] = 9 x + 1 = 3

x = 2

PGS di titik [−4, 3]

[x1 − a][x − a] + [y1 − b][y − b] = r2

[−4 + 1][x + 1] + [3 − 3][x − 3]  = 9 −3[x + 1] = 9 x + 1 = −3

x = −4

Jawaban : A

UN 2008

Persamaan garis singgung melalui titik A[−2, −1] pada lingkaran x2 + y2 + 12x − 6y + 13 = 0 adalah ... A.  −2x − y − 5 = 0 B.  x − y + 1 = 0 C.  x + 2y + 4 = 0 D.  3x − 2y + 4 = 0 E.  2x − y + 3 = 0

Pembahasan :

Persamaan lingkaran :

x2 + y2 + 12x − 6y + 13 = 0

A = 12 ; B = −6 ; C = 13 [a, b] = \[\mathrm{\left [ -\frac{A}{2},-\frac{B}{2} \right ]}\] [a, b] = \[\mathrm{\left [ -\frac{12}{2},-\frac{[-6]}{2} \right ]}\]

[a, b] = [−6, 3]

r2 = \[\mathrm{\frac{A^{2}}{4}}\] + \[\mathrm{\frac{B^{2}}{4}}\]  − C

r2 = \[\mathrm{\frac{12^{2}}{4}}\] + \[\mathrm{\frac{[-6]^{2}}{4}}\]  − 13
r2 = 32

Melalui titik [x1, y1] = [−2, −1]

Persamaan garis singgung :

[x1 − a][x − a] + [y1 − b][y − b] = r2

[−2 + 6][x + 6] + [−1 − 3][y − 3] = 32 4x + 24 − 4y + 12 = 32 4x − 4y + 4 = 0 x − y + 1 = 0

Jawaban : B

UN 2007

Salah satu persamaan garis singgung lingkaran [x − 2]2 + [y + 1]2  = 13 di titik yang berabsis −1 adalah ... A.  3x − 2y − 3 = 0 B.  3x − 2y − 5 = 0 C.  3x + 2y − 9 = 0 D.  3x + 2y + 9 = 0 E.  3x + 2y + 5 = 0

Pembahasan :

[x − 2]2 + [y + 1]2  = 13
[a, b] = [2, −1]
 r2= 13 Untuk absis −1, maka :

[−1 − 2]2 + [y + 1]2  = 13

9 + [y + 1]2  = 13
[y + 1]2  = 4 y + 1 = ±2 y + 1 = 2 atau y + 1 = −2 y = 1 atau y = −3 diperoleh titik singgung :

[−1, 1] dan [−1, −3]

Persamaan garis singgung di titik [−1, 1] :

[x1 − a][x − a] + [y1 − b][y − b] = r2

[−1 − 2][x − 2] + [1 + 1][y + 1] = 13 −3x + 6 + 2y + 2 = 13 −3x + 2y − 5 = 0

3x − 2y + 5 = 0

Persamaan garis singgung di titik [−1, −3] :

[x1 − a][x − a] + [y1 − b][y − b] = r2

[−1 − 2][x − 2] + [−3 + 1][y + 1] = 13 −3x + 6 − 2y − 2 = 13 −3x − 2y − 9 = 0

3x + 2y + 9 = 0

Jawaban : D

UN 2006 Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis 2x − 4y − 4 = 0, serta menyinggung sumbu-x negatif dan sumbu-y negatif adalah ...

A.  x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0

B.  x2 + y2 + 4x + 4y + 8 = 0
C.  x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0
D.  x2 + y2 − 4x − 4y + 4 = 0
E.  x2 + y2 − 2x − 2y + 4 = 0

Pembahasan :

Misalkan pusat lingkaran adalah [a, b]. [a, b] terletak pada garis 2x − 4y − 4 = 0, akibatnya 2a − 4b − 4 = 0   ..................[1] Lingkaran menyinggung sumbu x negatif dan sumbu y negatif, akibatnya a = b dengan a, b < 0. Karena a = b maka persamaan [1] menjadi 2a − 4a − 4 = 0 -2a = 4 a = -2 Diperoleh pusat lingkaran : [a, b] = [−2, −2] dengan jari-jari : r = |a| = |b| = 2 Persamaan lingkaran :

[x + 2]2 + [y + 2]2  = 22

x2 + 4x + 4 + y2 + 4y + 4 = 4
x2 + y2 + 4x + 4y + 4 = 0

Jawaban : A

UN 2003

Salah satu garis singgung yang bersudut 120° terhadap sumbu-x positif pada lingkaran dengan ujung diameter titik [7, 6] dan [1, −2] adalah ... A.  y = −x√ 3 + 4√ 3 + 12 B.  y = −x√ 3 − 4√ 3 + 8 C.  y = −x√ 3 + 4√ 3 − 4 D.  y = −x√ 3 − 4√ 3 − 8 E.  y = −x√ 3 + 4√ 3 + 22

Pembahasan :

Diameter lingkaran adalah jarak dari titik [7, 6] ke titik [1, −2], yaitu : d = \[\sqrt{[7-1]^{2}+[6-[-2]]^{2}}\] = 10 r = \[\frac{1}{2}\]d = 5

r = 5

Pusat lingkaran adalah titik tengah diameter, yaitu : [a, b] = \[\left [ \frac{7+1}{2},\,\frac{6+[-2]}{2} \right ]\] = [4, 2]

[a, b] = [4, 2]

Garis singgung membentuk sudut 120° terhadap sumbu-x positif, sehingga : m = tan 120°

m = −√3

Persamaan garis singgung lingkaran : y − b = m[x − a] ± r\[\mathrm{\sqrt{1+m^{2}}}\] y − 2 = −√3[x − 4] ± 5\[\mathrm{\sqrt{1+[-\sqrt{3}]^{2}}}\] y − 2 = −√3x + 4√3 ± 10 y = −√3x + 4√3 ± 12

y = −√3x + 4√3 + 12

y = −√3x + 4√3 − 12

Jawaban : A